Vítejte u prezentace o 45-45-90 trojúhelnících. Napíšu to. Jakto, že to peru...oh, už. 45-45-90 trojúhelníky. Nebo bychom mohli říct 45-45-90 pravoúhlé trojúhelníky, ale to by mohla být nadbytečná informace, poněvadž víme, že každý úhel o velikosti 90 stupňů je pravý. A jak si jistě umíte představit, 45-45-90 jsou úhly tohoto trojúhelníku. Takže proč jsou tyto trojúhelníky zvláštní? Jestli jste viděli předchozí prezentaci, tak v ní jsem vysvětloval teorii, která říká, že když jsou dva úhly u základy trojúhelníku stejné - a toto jsou, hádám, jenom úhly u základny, ale mohli byste to nakreslit i takhle a v tomto případě možná není úplně zřejmé, že toto jsou úhly u základy, ale pořád by to byla pravda. Když jsou tyto dva úhly stejné, tak strany, které spolu nesdílí - takže v tomto případě tato strana a tato strana nebo v tomto případě tato strana a tato strana - tak ty dvě strany budou také stejné. Takže zajímavé na 45-45-90 trojúhelníku je, že je to pravoúhlý trojúhelník, který má tuto vlastnost. A jak poznáme, že je to jediný pravoúhlý trojúhelník, který má tuto vlastnost? Můžete si představit, že jsem vám řekl, že tohle je pravoúhlý trojúhelník. Tady je 90 stupňů, takže tohle je přepona. To je ta strana naproti úhlu 90 stupňů- A kdybych vám řekl, že se tyto dva úhly rovnají, jak velké musí být? Kdybychom tyto dva úhly pojmenovaly X... Víme, že všechny úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180 stupňů. Takže bychom řekli X plus X plus 90 se rovná 180. Nebo 2 krát X plus 90 se rovná 180. Nebo 2 krát X se rovná 90. Nebo X rovná se 45 stupňů. Takže jediný pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou zbylé dva stejné, je 45-45-90 trojúhelník. Takže co je zajímavého na 45-45-90 trojúhelníku? Kromě toho, co jsem vám teď řekl...překreslím to. Překreslím to takhle. Takže již víme, že toto je úhel 90 stupňů, tohle je úhel 45 stupňů a tohle je úhel 45 stupňů. A podle toho, co jsem vám právě řekl, také víme, že strany, které nesdílí úhly 45 stupňů, jsou stejné. Takže tahle strana se rovná této straně. A když se na to díváme z pohledu Pythagorovy věty, tak nám to říká, že ty strany, z nichž ani jedna není přepona, jsou stejné. Toto je přepona. Této straně budeme říkat A a této straně B. Z Pythagorovy věty víme - řekněme, že přepona je C - Pythagorova věta nám říká, že A na druhou plus B na druhou rovná se C na druhou. Ano? Víme, že A se rovná B, protože toto je 45-45-90 trojúhelník. Takže bychom mohli místo B dosadit A nebo místo A dosadit B. Pojďme prostě dosadit B místo A. Takže bychom mohli říct, že B na druhou plus B na druhou rovná se C na druhou. Nebo 2 krát B na druhou se rovná C na druhou. Nebo B na druhou se rovná C na druhou/2. Nebo B se rovná druhé odmocnině z C/2, což se rovná C/druhá odmocnina ze 2, - protože jsme právě odmocnili čitatele i jmenovatele. () A i když je tohle prezentace o trojúhelnících, sdělím vám jednu extra inforamaci o něčem, čemu se říká usměrňování jmenovatelů. Takže tohle je naprosto správně. Právě jsme vypočítali B - a také víme, že A se rovná B - ale B se rovná C děleno odmocnina ze 2. A ukazuje se, že většinou v matematice - a nikdy jsem nepochopil, proč to tak je - lidé nemají rádi druhé odmocniny ze 2 ve jmenovateli. Nebo obecně nemají rádi neracionální čísla ve jmenovateli. Neracionální čísla jsou čísla, která mají desetinná místa, která se nikdy neopakují a nikdy nekončí. Takže způsob, jakým se zbavíte neracionálního čísla ve jmenovateli, se nazývá usměrňování jmenovatelů. () A způsob, jakým usměrníte jmenovatele - pojďme si teď vzít náš příklad. Kdybychom měli C/druhá odmocnina ze 2, prostě bychom vynásobili čitatele i jmenovatele tím samým číslem, ano? Protože když násobíte čitatele i jmenovatele stejným číslem, tak to je to samé, jako byste ho násobili jedničkou. Druhá odmocnina ze 2/ druhá odmocnina ze 2 je 1. A důvod, proč to děláme, je, protože druhá odmocnina ze 2 krát druhá odmocnina ze dvou... - co je druhá odmocnina ze 2 krát druhá odmocnina ze 2? Správně, je to 2. Ano? Právě jsme řekli, že něco krát něco je 2... Druhá odmocnina ze 2 krát druhá odmocnina ze 2 bude 2. A pak je v čitateli C krát druhá odmocnina ze 2. Takže si všimněte, že (C krát druhá odmocnina ze 2)/2 je to samé jako C/druhá odmocnina ze 2. A je důležité si to uvědomit, protože někdy, když píšete standardizovaný test nebo píšete test v hodině, tak můžete dostat odpověď, která vypadá takto, která má druhou odmocninu ze dvou nebo ze 3 nebo z čehokoliv ve jmenovateli, a nemusíte hned vidět svou odpověď, jestli je to test, kdy můžete vybírat z několika možností. V tom případě musíte usměrnit jmenovatele. Takže vynásobte čitatele i jmenovatele druhou odmocninou ze 2 a dostanete druhou odmocninu ze 2/2. Ale zpět k úloze. Takže co jsme se naučili? Tohle se rovná B, správně? Takže se ukázalo, že B se rovná C krát druhá odmocnina ze 2/2. Napíšu to. Víme, že A se rovná B, ano? A to se rovná druhá odmocnina ze 2/2 krát C. Nyní byste si tohle mohli chtít zapamatovat, ačkoliv si to můžete odvodit, když použijete Pythagorovu větu. Pamatujte si, že strany, z nichž ani jedna není přepona, jsou v 45-45-90 trojúhelníku stejné. Ale to je velmi dobré vědět, protože kdybyste psali SAT (americké testy odpovídající našim přijímacím zkouškám na VŠ) a potřebovali byste velmi rychle vyřešit úlohu, a kdybyste si tohle pamatovali a někdo vám zadal přeponu, tak můžete velmi rychle vypočítat zbývající strany. Nebo když vám někdo zadá jednu ze stran, tak můžete velmi rychle vypočítat přeponu. Pojďme to vyzkoušet. Všechno vymažu. Právě jsme se naučili, že A se rovná B a to se rovná druhé odmocnině ze 2/2 krát C Takže kdybych vám zadal trojúhelník a řekl bych vám, že tenhle úhel je 90 stupňů, tenhle úhel je 45 stupňů a tahle strana je, řekněme, 8. Chci přijít na to, jak dlouhá je tato strana. Nejprve pojďmě vypočítat, jak je dlouhá přepona. Přepona je strana naproti pravému úhlu. Takže se snažíme vypočítat přeponu. Pojďme jí říkat C. A také víme, že tohle je 45-45-90 trojúhelník, ano? Protože tento úhel je 45, takže tenhle taky musí být 45, protože 45 plus 45 plus 90 se rovná 180. Takže tohle 45-45-90 trojúhelník a víme, že tahle strana by mohla být A nebo B - víme, že 8 se rovná (druhé odmocnině ze 2/2) krát C. C se snažíme vypočítat. Takže když obě strany této rovnice vynásobíme 2 krát druhou odmocninou ze 2 - násobím ji převrácenou hodnotou koeficientu C, protože druhá odmocnina ze 2 se zkrátí s touto druhou odmocninou ze 2, tahle 2 se zkrátí s touto 2. Dostaneme, že C se rovná 2 krát 8, což je 16, lomeno druhá odmocnina ze 2. A to by bylo správně, ale jak jsem vám právě ukázal, lidé nemají rádi odmociny ve jmenovateli. Takže bychom mohli říct, že C se rovná (16/druhá odmocnina ze 2) krát (druhá odmocnina ze 2/druhá odmocnina ze 2). Takže se to rovná 16 krát druhá odmocnina ze dvou/2, což je to samé jako 8 krát druhá odmocnina ze 2. Takže C je v tomto případě 8 odmocnin ze 2. A také víme (vzhledem k tomu, že tohle je 45-45-90 trojúhelník), že tahle strana je 8. Doufám, že to dává smysl. V další prezentaci vám ukážu jiný typ trojúhelníku. () Vlastně bych mohl začít několika dalšími úlohami na toto téma, protože mám pocit, že jsem to možná trochu uspěchal. Ale stejně...Uvidíme se brzy u další prezentace. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...