WEBVTT

00:00:01.010 --> 00:00:04.520
Välkommen till videon om 
att använda rotformeln.

00:00:04.520 --> 00:00:06.730
Så, rotformeln, låter som något

00:00:06.730 --> 00:00:07.810
väldigt komplicerat.

00:00:07.810 --> 00:00:09.930
Och när du väl ser rotformeln,

00:00:09.930 --> 00:00:11.590
känner du nog att det 
inte bara låter

00:00:11.590 --> 00:00:13.110
komplicerat, utan är komplicerat.

00:00:13.110 --> 00:00:14.930
Men förhoppningsvis inser du,
under denna

00:00:14.930 --> 00:00:16.580
video, att det inte är så svårt att använda.

00:00:16.580 --> 00:00:19.040
Och i en framtida video ska jag visa dig

00:00:19.040 --> 00:00:21.300
hur den är härledd.

00:00:21.300 --> 00:00:24.810
Så, du har redan lärt dig att faktorisera

00:00:24.810 --> 00:00:25.810
andragradsekvationer.

00:00:25.810 --> 00:00:30.910
Du har lärt dig, om x i kvadrat
minus x

00:00:30.910 --> 00:00:40.340
minus 6 är 0.

00:00:40.340 --> 00:00:42.970
Om vi har den här ekvationen.
X^2 - x - 6 = 0

00:00:42.970 --> 00:00:48.720
kan du faktorisera det som
x - 3

00:00:48.720 --> 00:00:52.210
och x + 2 lika med 0.

00:00:52.210 --> 00:00:54.955
Vilket betyder att antingen x-3 = 0

00:00:54.955 --> 00:00:57.073
eller x+2 = 0.

00:00:57.073 --> 00:01:03.512
Så x-3 = 0
eller x+2 = 0.

00:01:03.512 --> 00:01:08.500
Så, x = 3 eller x = -2.

00:01:08.500 --> 00:01:17.980
En grafisk representation av
detta vore, om vi har

00:01:17.980 --> 00:01:26.150
funktionen f(x) = x^2 - x - 6.

00:01:26.150 --> 00:01:28.760
Här är axeln som representerar f(x)

00:01:28.760 --> 00:01:32.670
Du är kanske mer bekant med namnet y-axel,
men för detta syftet,

00:01:32.670 --> 00:01:34.780
för denna typ av problem,
spelar det ingen roll.

00:01:34.780 --> 00:01:36.270
Och detta är x-axeln.

00:01:36.270 --> 00:01:40.430
Om vi ritar upp ekvationen,
x^2 - x - 6

00:01:40.430 --> 00:01:42.380
skulle det se ut ungefär så här.

00:01:42.380 --> 00:01:50.130
Detta är f(x) = -6.

00:01:50.130 --> 00:01:52.900
Och grafen ser ut ungefär så här.

00:01:52.900 --> 00:01:57.150
Och grafen ser ut ungefär så här.

00:02:00.030 --> 00:02:03.150
Jag vet att den går genom -6,
eftersom när x = 0

00:02:03.150 --> 00:02:05.110
är f(x) = -6.

00:02:05.110 --> 00:02:07.800
Så jag vet att den går genom den punkten.

00:02:07.800 --> 00:02:11.520
Och jag vet att när f(x) = 0,

00:02:11.520 --> 00:02:14.960
f(x) är lika med 0 på x-axeln, eller hur?

00:02:14.960 --> 00:02:16.600
Här är 1.

00:02:16.600 --> 00:02:17.870
Detta är 0.

00:02:17.870 --> 00:02:19.160
Detta är -1.

00:02:19.160 --> 00:02:21.510
Så här är där f(x) = 0,

00:02:21.510 --> 00:02:23.420
längs den här x-axeln.

00:02:23.420 --> 00:02:29.210
Och vi vet att f(x) är lika med 0 
i x = 3 och

00:02:29.210 --> 00:02:32.330
i x = -2.

00:02:32.330 --> 00:02:34.360
Det är faktiskt vad vi löst ut här.

00:02:34.360 --> 00:02:36.440
När vi gjorde faktoriseringsproblem
förstod vi kanske inte

00:02:36.440 --> 00:02:38.940
grafiskt vad vi gjorde.

00:02:38.940 --> 00:02:42.070
Men om vi säger att f(x) är lika
med den här funktionen,

00:02:42.070 --> 00:02:43.270
sätter vi den lika med 0.

00:02:43.270 --> 00:02:44.820
Så den här funktionen,

00:02:44.820 --> 00:02:48.220
när är den lika med 0?

00:02:48.220 --> 00:02:49.390
När är den lika med 0?

00:02:49.390 --> 00:02:51.720
Jo, den är lika med 0 i dessa punkter.

00:02:51.720 --> 00:02:55.360
Eftersom detta är där f(x) är lika med 0.

00:02:55.360 --> 00:02:57.490
Vad vi gjorde när vi löste detta genom

00:02:57.490 --> 00:03:01.970
faktorisering, var att vi tog reda på
vilka x-värden som gav f(x) = 0,

00:03:01.970 --> 00:03:04.160
vilket är dessa två punkter.

00:03:04.160 --> 00:03:06.740
Och, för lite terminologi,
dessa nollor kallas

00:03:06.740 --> 00:03:09.860
också för rötterna till f(x).

00:03:12.110 --> 00:03:14.720
Låt oss repetera det lite.

00:03:14.810 --> 00:03:18.150
Om jag till exempel har funktionen

00:03:18.150 --> 00:03:29.550
f(x) = x^2 + 4x + 4,
och frågade, vilka är nollorna

00:03:29.550 --> 00:03:31.770
eller rötterna till f(x).

00:03:31.770 --> 00:03:33.970
Det är samma sak som att fråga,

00:03:33.970 --> 00:03:36.300
var skär f(x) x-axeln?

00:03:36.300 --> 00:03:38.210
Funktionen skär x-axeln när f(x)

00:03:38.210 --> 00:03:39.440
är lika med 0, eller hur?

00:03:39.440 --> 00:03:42.120
Tänk på grafen jag ritade.

00:03:42.120 --> 00:03:45.720
Säg att om f(x) är lika med noll, kan vi

00:03:45.720 --> 00:03:51.860
säga, 0 = x^2 + 4x + 4.

00:03:51.860 --> 00:03:53.940
Och vi vet, genom att faktorisera, att det

00:03:53.940 --> 00:03:57.080
blir (x + 2)*(x + 2).

00:03:57.080 --> 00:04:07.090
Så ser vi att detta är lika med noll vid x = -2.

00:04:07.090 --> 00:04:10.170
x är lika med minus 2.

00:04:13.740 --> 00:04:18.070


00:04:18.270 --> 00:04:22.380
Så, nu vi vet vi hur vi hittar nollorna när

00:04:22.380 --> 00:04:24.560
ekvationen är lätt att faktorisera.

00:04:24.560 --> 00:04:27.500
Men låt oss titta på ett läge där ekvationen

00:04:27.500 --> 00:04:28.850
inte är lika lätt att faktorisera.

00:04:28.850 --> 00:04:32.120


00:04:32.340 --> 00:04:45.380
Låt säga att vi har f(x) = -10x^2 - 9x + 1

00:04:45.380 --> 00:04:47.580
Även om jag delar med 10 kommer

00:04:47.580 --> 00:04:48.650
jag få ett par bråk här.

00:04:48.650 --> 00:04:53.130
Och det är svårt att se hur man faktoriserar
den här andragradsekvationen.

00:04:53.130 --> 00:04:54.860
Detta är en andragradsekvation,

00:04:54.860 --> 00:04:57.580
eller polynom av andra graden.

00:04:57.580 --> 00:04:59.600
Vi vill försöka lösa detta.

00:04:59.600 --> 00:05:02.420
Vi vill hitta när det är lika med noll.

00:05:02.420 --> 00:05:07.130
-10x^2 - 9x + 1

00:05:07.130 --> 00:05:09.090
Vi vill hitta vilka värden på x som får

00:05:09.090 --> 00:05:11.260
den här ekvationen lika med noll.

00:05:11.260 --> 00:05:13.730
Här kan vi använda ett verktyg som
kallas rotformeln.

00:05:13.730 --> 00:05:15.625
Och jag ska nu ge er en av de få
saker inom matematik

00:05:15.625 --> 00:05:18.030
som är bra att memorera.

00:05:18.030 --> 00:05:21.330
Rotformeln säger att rötterna till en
andragradsekvation

00:05:21.330 --> 00:05:24.810
är lika med, låt säga att ekvationen är

00:05:24.810 --> 00:05:31.900
Ax^2 + Bx + C = 0

00:05:31.900 --> 00:05:35.790
I vårt exempel, är A=-10

00:05:35.790 --> 00:05:39.940
B = -9, och C = 1

00:05:39.940 --> 00:05:48.040
Formeln är: rötterna x är lika med
-B plus minus

00:05:48.040 --> 00:05:58.060
kvadratroten ur B^2 minus 4 
gånger A gånger C,

00:05:58.060 --> 00:06:00.230
allt delat med 2A.

00:06:00.230 --> 00:06:02.843
Jag vet att det ser komplicerat ut,
men ju mer du använder det

00:06:02.843 --> 00:06:04.400
kommer du inse att den inte är så dum.

00:06:04.400 --> 00:06:07.720
Och detta är bra att memorera.

00:06:07.720 --> 00:06:10.730
Så, låt oss använda rotformeln på
ekvationen

00:06:10.730 --> 00:06:12.670
vi skrev ner innan.

00:06:12.670 --> 00:06:15.260
Jag sa att A är koefficient

00:06:15.260 --> 00:06:18.610
till x-termen, eller hur?

00:06:18.610 --> 00:06:20.300
A är koefficient till x^2-termen,

00:06:20.300 --> 00:06:23.570
B är koefficient till x-termen, och
C är en konstant.

00:06:23.570 --> 00:06:25.100
Låt oss applicera rotformeln.

00:06:25.100 --> 00:06:26.250
Vad är B?

00:06:26.250 --> 00:06:28.700
B är -9

00:06:28.700 --> 00:06:29.970
Vi ser det här,

00:06:29.970 --> 00:06:33.980
B är -9, A är -10

00:06:33.980 --> 00:06:34.970
C är 1

00:06:34.970 --> 00:06:36.090
Eller hur?

00:06:36.090 --> 00:06:42.350
Så, om B är -9, får vi minus -9

00:06:42.350 --> 00:06:49.260
plus minus roten ur -9^2

00:06:49.260 --> 00:06:49.810


00:06:49.810 --> 00:06:53.140
Det är 81.

00:06:53.600 --> 00:06:59.760
Minus 4*A, A är -10

00:06:59.760 --> 00:07:03.240
-10 gånger C, C är 1

00:07:03.240 --> 00:07:05.110
Det är lite rörigt,
men jag hoppas

00:07:05.110 --> 00:07:06.470
att ni förstår.

00:07:06.470 --> 00:07:09.560
Och allt det delat på 2A.

00:07:09.560 --> 00:07:14.050
A är -10, så 2 gånger A är -20.

00:07:14.050 --> 00:07:14.990
Låt oss förenkla detta.

00:07:14.990 --> 00:07:19.410
Minus gånger -9, det är 9.

00:07:19.410 --> 00:07:26.460
Plus minus roten ur 81

00:07:26.460 --> 00:07:30.660
Vi har -4 gånger -10

00:07:30.660 --> 00:07:31.870
Det står -10 här.

00:07:31.870 --> 00:07:33.280
Jag vet att det är rörigt, ursäkta det.

00:07:33.280 --> 00:07:34.380
Detta gånger 1.

00:07:34.380 --> 00:07:39.410
Så -4 gånger -10 är 40

00:07:39.410 --> 00:07:41.040
Positiva 40.

00:07:41.040 --> 00:07:46.070
Och sedan allt det delat med -20.

00:07:46.070 --> 00:07:48.300
Ja, 81 + 40 är 121.

00:07:48.300 --> 00:07:52.330
Och här 9 plus minus

00:07:52.330 --> 00:07:58.290
roten ur 121 delat med -20.

00:07:58.290 --> 00:08:01.620
Roten ur 121 är 11.

00:08:01.620 --> 00:08:03.170
Vi flyttar oss hit bort.

00:08:03.170 --> 00:08:06.184
Hoppas ni inte tappar lösningsgången.

00:08:06.184 --> 00:08:13.720
Så, 9 plus minus 11, delat med -20.

00:08:13.720 --> 00:08:19.090
Om vi tar 9 PLUS 11 delat med -20, 
det blir

00:08:19.090 --> 00:08:22.540
9 + 11 är 20, så detta är 
20 delat med -20.

00:08:22.540 --> 00:08:23.730
Vilket är lika med -1

00:08:23.730 --> 00:08:24.900
Så det är en rot.

00:08:24.900 --> 00:08:28.260
Roten till 9+.

00:08:28.260 --> 00:08:33.790
Och den andra roten är 9 MINUS 11,
delat med -20

00:08:33.790 --> 00:08:37.720
vilket blir -2 / -20.

00:08:37.720 --> 00:08:40.700
Vilket är 1 / 10.

00:08:40.700 --> 00:08:42.690
Där har vi vår andra rot.

00:08:42.690 --> 00:08:48.950
Så, om vi ska rita upp denna ekvationen,
skulle vi se att

00:08:48.950 --> 00:08:52.640
den skär x-axeln.

00:08:52.640 --> 00:08:57.770
Eller, f(x) = 0 vid punkterna där x = -1

00:08:57.770 --> 00:09:01.690
och x = 1/10

00:09:01.690 --> 00:09:04.080
Jag kommer göra fler exempel i del 2

00:09:04.080 --> 00:09:06.100
för jag tror jag kan ha förvirrat er

00:09:06.100 --> 00:09:08.120
med detta exemplet.

00:09:08.120 --> 00:09:11.680
Så, vi ses i del två 
om att använda rotformeln.

00:09:11.680 --> 00:09:12.150


00:09:12.150 --> 00:09:14.083