1
00:00:01,010 --> 00:00:04,520
Välkommen till videon om 
att använda rotformeln.

2
00:00:04,520 --> 00:00:06,730
Så, rotformeln, låter som något

3
00:00:06,730 --> 00:00:07,810
väldigt komplicerat.

4
00:00:07,810 --> 00:00:09,930
Och när du väl ser rotformeln,

5
00:00:09,930 --> 00:00:11,590
känner du nog att det 
inte bara låter

6
00:00:11,590 --> 00:00:13,110
komplicerat, utan är komplicerat.

7
00:00:13,110 --> 00:00:14,930
Men förhoppningsvis inser du,
under denna

8
00:00:14,930 --> 00:00:16,580
video, att det inte är så svårt att använda.

9
00:00:16,580 --> 00:00:19,040
Och i en framtida video ska jag visa dig

10
00:00:19,040 --> 00:00:21,300
hur den är härledd.

11
00:00:21,300 --> 00:00:24,810
Så, du har redan lärt dig att faktorisera

12
00:00:24,810 --> 00:00:25,810
andragradsekvationer.

13
00:00:25,810 --> 00:00:30,910
Du har lärt dig, om x i kvadrat
minus x

14
00:00:30,910 --> 00:00:40,340
minus 6 är 0.

15
00:00:40,340 --> 00:00:42,970
Om vi har den här ekvationen.
X^2 - x - 6 = 0

16
00:00:42,970 --> 00:00:48,720
kan du faktorisera det som
x - 3

17
00:00:48,720 --> 00:00:52,210
och x + 2 lika med 0.

18
00:00:52,210 --> 00:00:54,955
Vilket betyder att antingen x-3 = 0

19
00:00:54,955 --> 00:00:57,073
eller x+2 = 0.

20
00:00:57,073 --> 00:01:03,512
Så x-3 = 0
eller x+2 = 0.

21
00:01:03,512 --> 00:01:08,500
Så, x = 3 eller x = -2.

22
00:01:08,500 --> 00:01:17,980
En grafisk representation av
detta vore, om vi har

23
00:01:17,980 --> 00:01:26,150
funktionen f(x) = x^2 - x - 6.

24
00:01:26,150 --> 00:01:28,760
Här är axeln som representerar f(x)

25
00:01:28,760 --> 00:01:32,670
Du är kanske mer bekant med namnet y-axel,
men för detta syftet,

26
00:01:32,670 --> 00:01:34,780
för denna typ av problem,
spelar det ingen roll.

27
00:01:34,780 --> 00:01:36,270
Och detta är x-axeln.

28
00:01:36,270 --> 00:01:40,430
Om vi ritar upp ekvationen,
x^2 - x - 6

29
00:01:40,430 --> 00:01:42,380
skulle det se ut ungefär så här.

30
00:01:42,380 --> 00:01:50,130
Detta är f(x) = -6.

31
00:01:50,130 --> 00:01:52,900
Och grafen ser ut ungefär så här.

32
00:01:52,900 --> 00:01:57,150
Och grafen ser ut ungefär så här.

33
00:02:00,030 --> 00:02:03,150
Jag vet att den går genom -6,
eftersom när x = 0

34
00:02:03,150 --> 00:02:05,110
är f(x) = -6.

35
00:02:05,110 --> 00:02:07,800
Så jag vet att den går genom den punkten.

36
00:02:07,800 --> 00:02:11,520
Och jag vet att när f(x) = 0,

37
00:02:11,520 --> 00:02:14,960
f(x) är lika med 0 på x-axeln, eller hur?

38
00:02:14,960 --> 00:02:16,600
Här är 1.

39
00:02:16,600 --> 00:02:17,870
Detta är 0.

40
00:02:17,870 --> 00:02:19,160
Detta är -1.

41
00:02:19,160 --> 00:02:21,510
Så här är där f(x) = 0,

42
00:02:21,510 --> 00:02:23,420
längs den här x-axeln.

43
00:02:23,420 --> 00:02:29,210
Och vi vet att f(x) är lika med 0 
i x = 3 och

44
00:02:29,210 --> 00:02:32,330
i x = -2.

45
00:02:32,330 --> 00:02:34,360
Det är faktiskt vad vi löst ut här.

46
00:02:34,360 --> 00:02:36,440
När vi gjorde faktoriseringsproblem
förstod vi kanske inte

47
00:02:36,440 --> 00:02:38,940
grafiskt vad vi gjorde.

48
00:02:38,940 --> 00:02:42,070
Men om vi säger att f(x) är lika
med den här funktionen,

49
00:02:42,070 --> 00:02:43,270
sätter vi den lika med 0.

50
00:02:43,270 --> 00:02:44,820
Så den här funktionen,

51
00:02:44,820 --> 00:02:48,220
när är den lika med 0?

52
00:02:48,220 --> 00:02:49,390
När är den lika med 0?

53
00:02:49,390 --> 00:02:51,720
Jo, den är lika med 0 i dessa punkter.

54
00:02:51,720 --> 00:02:55,360
Eftersom detta är där f(x) är lika med 0.

55
00:02:55,360 --> 00:02:57,490
Vad vi gjorde när vi löste detta genom

56
00:02:57,490 --> 00:03:01,970
faktorisering, var att vi tog reda på
vilka x-värden som gav f(x) = 0,

57
00:03:01,970 --> 00:03:04,160
vilket är dessa två punkter.

58
00:03:04,160 --> 00:03:06,740
Och, för lite terminologi,
dessa nollor kallas

59
00:03:06,740 --> 00:03:09,860
också för rötterna till f(x).

60
00:03:12,110 --> 00:03:14,720
Låt oss repetera det lite.

61
00:03:14,810 --> 00:03:18,150
Om jag till exempel har funktionen

62
00:03:18,150 --> 00:03:29,550
f(x) = x^2 + 4x + 4,
och frågade, vilka är nollorna

63
00:03:29,550 --> 00:03:31,770
eller rötterna till f(x).

64
00:03:31,770 --> 00:03:33,970
Det är samma sak som att fråga,

65
00:03:33,970 --> 00:03:36,300
var skär f(x) x-axeln?

66
00:03:36,300 --> 00:03:38,210
Funktionen skär x-axeln när f(x)

67
00:03:38,210 --> 00:03:39,440
är lika med 0, eller hur?

68
00:03:39,440 --> 00:03:42,120
Tänk på grafen jag ritade.

69
00:03:42,120 --> 00:03:45,720
Säg att om f(x) är lika med noll, kan vi

70
00:03:45,720 --> 00:03:51,860
säga, 0 = x^2 + 4x + 4.

71
00:03:51,860 --> 00:03:53,940
Och vi vet, genom att faktorisera, att det

72
00:03:53,940 --> 00:03:57,080
blir (x + 2)*(x + 2).

73
00:03:57,080 --> 00:04:07,090
Så ser vi att detta är lika med noll vid x = -2.

74
00:04:07,090 --> 00:04:10,170
x är lika med minus 2.

75
00:04:13,740 --> 00:04:18,070


76
00:04:18,270 --> 00:04:22,380
Så, nu vi vet vi hur vi hittar nollorna när

77
00:04:22,380 --> 00:04:24,560
ekvationen är lätt att faktorisera.

78
00:04:24,560 --> 00:04:27,500
Men låt oss titta på ett läge där ekvationen

79
00:04:27,500 --> 00:04:28,850
inte är lika lätt att faktorisera.

80
00:04:28,850 --> 00:04:32,120


81
00:04:32,340 --> 00:04:45,380
Låt säga att vi har f(x) = -10x^2 - 9x + 1

82
00:04:45,380 --> 00:04:47,580
Även om jag delar med 10 kommer

83
00:04:47,580 --> 00:04:48,650
jag få ett par bråk här.

84
00:04:48,650 --> 00:04:53,130
Och det är svårt att se hur man faktoriserar
den här andragradsekvationen.

85
00:04:53,130 --> 00:04:54,860
Detta är en andragradsekvation,

86
00:04:54,860 --> 00:04:57,580
eller polynom av andra graden.

87
00:04:57,580 --> 00:04:59,600
Vi vill försöka lösa detta.

88
00:04:59,600 --> 00:05:02,420
Vi vill hitta när det är lika med noll.

89
00:05:02,420 --> 00:05:07,130
-10x^2 - 9x + 1

90
00:05:07,130 --> 00:05:09,090
Vi vill hitta vilka värden på x som får

91
00:05:09,090 --> 00:05:11,260
den här ekvationen lika med noll.

92
00:05:11,260 --> 00:05:13,730
Här kan vi använda ett verktyg som
kallas rotformeln.

93
00:05:13,730 --> 00:05:15,625
Och jag ska nu ge er en av de få
saker inom matematik

94
00:05:15,625 --> 00:05:18,030
som är bra att memorera.

95
00:05:18,030 --> 00:05:21,330
Rotformeln säger att rötterna till en
andragradsekvation

96
00:05:21,330 --> 00:05:24,810
är lika med, låt säga att ekvationen är

97
00:05:24,810 --> 00:05:31,900
Ax^2 + Bx + C = 0

98
00:05:31,900 --> 00:05:35,790
I vårt exempel, är A=-10

99
00:05:35,790 --> 00:05:39,940
B = -9, och C = 1

100
00:05:39,940 --> 00:05:48,040
Formeln är: rötterna x är lika med
-B plus minus

101
00:05:48,040 --> 00:05:58,060
kvadratroten ur B^2 minus 4 
gånger A gånger C,

102
00:05:58,060 --> 00:06:00,230
allt delat med 2A.

103
00:06:00,230 --> 00:06:02,843
Jag vet att det ser komplicerat ut,
men ju mer du använder det

104
00:06:02,843 --> 00:06:04,400
kommer du inse att den inte är så dum.

105
00:06:04,400 --> 00:06:07,720
Och detta är bra att memorera.

106
00:06:07,720 --> 00:06:10,730
Så, låt oss använda rotformeln på
ekvationen

107
00:06:10,730 --> 00:06:12,670
vi skrev ner innan.

108
00:06:12,670 --> 00:06:15,260
Jag sa att A är koefficient

109
00:06:15,260 --> 00:06:18,610
till x-termen, eller hur?

110
00:06:18,610 --> 00:06:20,300
A är koefficient till x^2-termen,

111
00:06:20,300 --> 00:06:23,570
B är koefficient till x-termen, och
C är en konstant.

112
00:06:23,570 --> 00:06:25,100
Låt oss applicera rotformeln.

113
00:06:25,100 --> 00:06:26,250
Vad är B?

114
00:06:26,250 --> 00:06:28,700
B är -9

115
00:06:28,700 --> 00:06:29,970
Vi ser det här,

116
00:06:29,970 --> 00:06:33,980
B är -9, A är -10

117
00:06:33,980 --> 00:06:34,970
C är 1

118
00:06:34,970 --> 00:06:36,090
Eller hur?

119
00:06:36,090 --> 00:06:42,350
Så, om B är -9, får vi minus -9

120
00:06:42,350 --> 00:06:49,260
plus minus roten ur -9^2

121
00:06:49,260 --> 00:06:49,810


122
00:06:49,810 --> 00:06:53,140
Det är 81.

123
00:06:53,600 --> 00:06:59,760
Minus 4*A, A är -10

124
00:06:59,760 --> 00:07:03,240
-10 gånger C, C är 1

125
00:07:03,240 --> 00:07:05,110
Det är lite rörigt,
men jag hoppas

126
00:07:05,110 --> 00:07:06,470
att ni förstår.

127
00:07:06,470 --> 00:07:09,560
Och allt det delat på 2A.

128
00:07:09,560 --> 00:07:14,050
A är -10, så 2 gånger A är -20.

129
00:07:14,050 --> 00:07:14,990
Låt oss förenkla detta.

130
00:07:14,990 --> 00:07:19,410
Minus gånger -9, det är 9.

131
00:07:19,410 --> 00:07:26,460
Plus minus roten ur 81

132
00:07:26,460 --> 00:07:30,660
Vi har -4 gånger -10

133
00:07:30,660 --> 00:07:31,870
Det står -10 här.

134
00:07:31,870 --> 00:07:33,280
Jag vet att det är rörigt, ursäkta det.

135
00:07:33,280 --> 00:07:34,380
Detta gånger 1.

136
00:07:34,380 --> 00:07:39,410
Så -4 gånger -10 är 40

137
00:07:39,410 --> 00:07:41,040
Positiva 40.

138
00:07:41,040 --> 00:07:46,070
Och sedan allt det delat med -20.

139
00:07:46,070 --> 00:07:48,300
Ja, 81 + 40 är 121.

140
00:07:48,300 --> 00:07:52,330
Och här 9 plus minus

141
00:07:52,330 --> 00:07:58,290
roten ur 121 delat med -20.

142
00:07:58,290 --> 00:08:01,620
Roten ur 121 är 11.

143
00:08:01,620 --> 00:08:03,170
Vi flyttar oss hit bort.

144
00:08:03,170 --> 00:08:06,184
Hoppas ni inte tappar lösningsgången.

145
00:08:06,184 --> 00:08:13,720
Så, 9 plus minus 11, delat med -20.

146
00:08:13,720 --> 00:08:19,090
Om vi tar 9 PLUS 11 delat med -20, 
det blir

147
00:08:19,090 --> 00:08:22,540
9 + 11 är 20, så detta är 
20 delat med -20.

148
00:08:22,540 --> 00:08:23,730
Vilket är lika med -1

149
00:08:23,730 --> 00:08:24,900
Så det är en rot.

150
00:08:24,900 --> 00:08:28,260
Roten till 9+.

151
00:08:28,260 --> 00:08:33,790
Och den andra roten är 9 MINUS 11,
delat med -20

152
00:08:33,790 --> 00:08:37,720
vilket blir -2 / -20.

153
00:08:37,720 --> 00:08:40,700
Vilket är 1 / 10.

154
00:08:40,700 --> 00:08:42,690
Där har vi vår andra rot.

155
00:08:42,690 --> 00:08:48,950
Så, om vi ska rita upp denna ekvationen,
skulle vi se att

156
00:08:48,950 --> 00:08:52,640
den skär x-axeln.

157
00:08:52,640 --> 00:08:57,770
Eller, f(x) = 0 vid punkterna där x = -1

158
00:08:57,770 --> 00:09:01,690
och x = 1/10

159
00:09:01,690 --> 00:09:04,080
Jag kommer göra fler exempel i del 2

160
00:09:04,080 --> 00:09:06,100
för jag tror jag kan ha förvirrat er

161
00:09:06,100 --> 00:09:08,120
med detta exemplet.

162
00:09:08,120 --> 00:09:11,680
Så, vi ses i del två 
om att använda rotformeln.

163
00:09:11,680 --> 00:09:12,150


164
00:09:12,150 --> 00:09:14,083