ეს ლექცია შეეხება კვადრატულ განტოლებას.
რაღაც რთულად ჟღერს, არა?
როცა პირველად ხედავ კვადრატულ განტოლებას,
ძალიან რთული რამ გგონია, თუმცა მალე
გაიგებთ, რომ საკმაოდ მარტივი რამაა.
შემდეგ ვიდეოში ვნახავთ, როგორ გამოიყვანება ის.
უკვე ისწავლეთ, როგორ დაშალოთ მამრავლებად მეორე ხარისხის განტოლება.
თუ გვაქვს x კვადრატს მინუს x-ს მინუს ექვსი უდრის ნულს,
შეგვიძლია დავშალოთ, როგორც
x-ს მინუს სამი და x-ს პლუს ორი უდრის ნულს.
ანუ x-ს მინუს სამი ან x-ს პლუს ორი ნულის ტოლია.
ანუ x ან სამის ტოლია ან მინუს ორის.
გრაფიკულადაც გამოვსახოთ.
თუ გვაქვს f(x) ფუნქცია, რომელიც უდრის x კვადრატს მინუს x-ს მინუს ექვსს--
ესაა f(x) ღერძი, y ღერძით მოვიხსენიებთ ხოლმე ძირითადად,
თუმცა მნიშვნელობა არ აქვს.
ეს კი x ღერძი.
თუ x კვადრატს მინუს x-ს მინუს ექვსის გრაფიკის აგება გვინდა,
დაახლოებით ასეთი იქნება.
ესაა f(x) უდრის მინუს ექვსს.
რაღაც ასეთი გრაფიკი გვექნება.
გაგრძელდება ზედა მიმართულებით.
ის გაივლის მინუს ექვში, რადგან როცა x ნულია, f(x) მინუს ექვსია.
აქედან ვიცით, რომ ამ წერტილში გაივლის.
ვიცით, რომ როცა f(x) ნულია, f(x) ნულია x ღერძის გასწვრივ.
რადგან ესაა ერთი, ეს ნული.
ეს მინუს ერთი.
აქ, ანუ x ღერძის გასწვრივ f(x) ნულია.
ვიცით, რომ ის ნულია, როცა x ტოლია მინუს სამის და x ტოლია მინუს ორის -
ზუსტად ეს ამოვხსენით აქ.
შეიძლება, როცა მამრავლებად ვშლიდით, არ
დავფიქრებულვართ იმაზე, თუ რას ვაკეთებდით გრაფიკულად.
მაგრამ როცა ვამბობთ, რომ f(x) უდრის ამ ფუნქციას,
ვგულისხმობთ იმას, თუ
როდის უდრის ეს ფუნქცია ნულს.
ის ნულს უდრის ამ წერტილებში, რადგან
f(x) აქ უდრის ნულს.
როცა მამრავლებად დავშალეთ, გავიგეთ
x-ის მნიშვნელობები, როცა f(x) ნულია -
ანუ ეს ორი წერტილი.
ცოტა ტერმინოლოგია შემოვიტანოთ:
ესენია f(x)-ის ნულები ან ფესვები.
მოდით, გავიმეოროთ.
გვაქვს f(x), რომელიც უდრის x კვადრატს პლუს ოთხ x-ს პლუს ოთხს
და გვაინტერესებს f(x)-ის ნულები.
ანუ გვაინტერესებს, როდის კვეთს f(x) x ღერძს.
x ღერძს კვეთს, როცა f(x) უდრის ნულს.
ხომ მართალია?
გაიხსენეთ გრაფიკი, რომელიც ავაგე.
თუ f(x) უდრის ნულს, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ
ნული უდრის x კვადრატს პლუს ოთხ x-ს პლუს ოთხს.
დავშალოთ მამრავლებად:
x-ს პლუს ორჯერ x-ს პლუს ორი.
ვიცით, რომ ეს უდრის ნულს, როცა x მინუს ორია.
x უდრის მინუს ორს.
ვიცით, როგორ უნდა ვიპოვოთ ნულები, როცა
განტოლების მამრავლებად დაშლა მარტივია.
მოდით, ახლა უფრო რთული სიტუაცია განვიხილოთ.
ვთქვათ, f(x) უდრის მინუს ათ x კვადრატს მინუს ცხრა x-ს პლუს ერთს.
ათზე გაყოფის შემთხვევაში წილადებს ვიღებთ.
საკმაოდ რთული ჩანს ამის მამრავლებად დაშლა.
ესაა კვადრატული განტოლება, ანუ
მეორე ხარისხის განტოლება.
ამის ამოხსნას ვცდილობთ.
გვაინტერესებს, რა ხდება, როცა ეს განტოლება ნულს უდრის:
მინუს ათ x კვადრატს მინუს ცხრა x პლუს ერთი.
x-ის რა მნიშვნელობებისთვის უდრის
ეს განტოლება ნულს.
უნდა გამოვიყენოთ კვადრატული განტოლების ხერხი.
რამდენიმე ისეთ იდეას გასწავლით, რომელიც
გამოგადგებათ მათემატიკაში და დამახსოვრებად ღირს.
კვადრატული განტოლების მიხედვით, მისი ფესვები უდრის--
ვთქვათ, რომ კვადრატული განტოლებაა
ax კვადრატს პლუს bx პლუს c უდრის ნულს.
ჩვენს მაგალითში a მინუს ათია, b მინუს ცხრა, c კი ერთი.
ფორმულის მიხედვით ფესვები, ანუ x უდრის მინუს b-ს პლუს ან მინუს
კვადრატული ფესვი b კვადრატს მინუს ოთხი ac-დან და
ეს ყველაფერი გაყოფილი ორ a-ზე.
ვიცი, რომ რთული ჩანს, თუმცა რაც უფრო მეტჯერ გამოიყენებთ,
მით უფრო მარტივად მოგეჩვენებათ.
ეს უნდა დაიმახსოვროთ.
მოდით, გამოვიყენოთ ეს წესი ამ განტოლების ამოხსნისთვის.
a არის x კვადრატის კოეფიციენტი.
b x-ის კოეფიციენტი, c კი მუდმივი წევრი.
მოდით, გამოვიყენოთ ეს წესი.
რას უდრის b?
b მინუს ცხრაა.
აი, აქ ჩანს ეს.
b მინუს ცხრაა, a მინუს ათი, c კი ერთი.
ხომ მართალია?
თუ b მინუს ცხრაა-- მინუს ცხრას პლუს მინუს ფესვი მინუს ცხრის კვადრატიდან, ანუ 81-დან,
მინუს ოთხჯერ a, a მინუს ათია და ეს გამრავლებული c-ზე, ანუ ერთზე.
ვიცი, რომ ცოტა დამაბნეველია, მაგრამ
იმედია, რომ ყველაფერს იგებთ.
ეს ყველაფერი შეფარდებული ორ a-სთან.
a მინუს ათია, ანუ ორჯერ a მინუს ოცია.
გავამარტივოთ.
მინუსჯერ მინუს ცხრა, პლუს ცხრაა.
პლუს მინუს ფესვი 81-ს--
მინუს ოთხჯერ მინუს ათი--
ვიცი, რომ არეულობაა, ბოდიში--
ეს გამრავლებული ერთზე.
მინუს ოთხჯერ მინუს ათი ორმოცია.
პლუს ორმოცი
ამ ყველაფერს ვყოფთ მინუს ოცზე.
81-ს პლუს ორმოცი 121-ია.
ცხრას პლუს მინუს ფესვი 121-დან შეფარდებული მინუს ოცთან.
ფესვი 121-დან 11-ია.
იმედია, არ ჩამომრჩით.
ესაა ცხრას პლუს მინუს 11 შეფარდებული ოცთან.
ცხრას პლუს 11 შეფარდებული ოცთან იქნება:
ცხრას პლუს 11 ოცია, ოცი გაყოფილი მინუს ოცზე მინუს ერთია.
ესაა ერთი ფესვი.
--რადგან ან პლუსი გვაქვს ან მინუსი--
მეორე ფესვი იქნება ცხრას მინუს 11 გაყოფილი მინუს ოცზე, ანუ
მინუს ორი გაყოფილი მინუს ოცზე, რაც ერთი მეათედია.
ესაა მეორე ფესვი.
გრაფიკს თუ ავაგებდით, ვნახავდით, რომ ის კვეთს x ღერძს.
f(x) ნულია, როცა x უდრის მინუს ერთს და x უდრის ერთ მეათედს.
მეორე ნაწილში კიდევ ბევრ მაგალითს განვიხილავთ,
რადგან მგონია, რომ ცოტა დაგაბნიეთ.
კვადრატული განტოლების გამოყენების მეორე ნაწილში შევხვდებით.