WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.690
.

00:00:00.690 --> 00:00:01.810
Velkommen tilbage.

00:00:01.810 --> 00:00:04.820
Vi fortsætter, hvor vi slap.

00:00:04.820 --> 00:00:07.720
Vi har den her vinkel.

00:00:07.720 --> 00:00:08.930
Kan vi regne nogle af de andre vinkler ud?

00:00:08.930 --> 00:00:14.750
Det her er en transversal,

00:00:14.750 --> 00:00:17.780
og det her er parallelle linjer.

00:00:17.780 --> 00:00:18.940
Vi kender til indvendige vekselvinkler.

00:00:18.940 --> 00:00:21.320
Det her er en indvendig vinkel, og her er dens indvendige vekselvinkel.

00:00:21.320 --> 00:00:23.340
De er lig med hinanden.

00:00:23.340 --> 00:00:25.520
Vi tegner det ikke endnu.

00:00:25.520 --> 00:00:27.680
Hvis vi ikke kendte indvendige vekselvinkler,

00:00:27.680 --> 00:00:29.460
kunne vi bruge vores viden om ensliggende vinkler.

00:00:29.460 --> 00:00:31.410
Den her vinkel er også

00:00:31.410 --> 00:00:32.880
lig med den her vinkel.

00:00:32.880 --> 00:00:35.460
Vi kan nu bruge modstående vinkler

00:00:35.460 --> 00:00:37.660
til at komme tilbage til indvendige vekselvinkler.

00:00:37.660 --> 00:00:38.490
Det skal vi se på.

00:00:38.490 --> 00:00:40.900
Det gode ved matematik er,

00:00:40.900 --> 00:00:42.520
at man ikke behøver huske særligt mange ting.

00:00:42.520 --> 00:00:45.530
Man skal kunne huske nogle få regler,

00:00:45.530 --> 00:00:46.520
og så kan man bruge dem til alt muligt andet.

00:00:46.520 --> 00:00:47.220
Det er smart.

00:00:47.220 --> 00:00:51.020
Vi fandt ud af,

00:00:51.020 --> 00:00:52.440
at de her 2 vinkler er ens.

00:00:52.440 --> 00:00:52.650
.

00:00:52.650 --> 00:00:55.550
De er nemlig indvendige vekselvinkler.

00:00:55.550 --> 00:01:00.320
Det her er den ensliggende side.

00:01:00.320 --> 00:01:03.030
Hvad med den her vinkel?

00:01:03.030 --> 00:01:05.270
Vi tegner en vinkel med tre buer her.

00:01:05.270 --> 00:01:08.640
1, 2, 3.

00:01:08.640 --> 00:01:11.400
Hvad er den her lig med i den her trekant?

00:01:11.400 --> 00:01:13.230
Samme argument.

00:01:13.230 --> 00:01:15.990
.

00:01:15.990 --> 00:01:18.420
Vi kan kun konkludere de her ting,

00:01:18.420 --> 00:01:21.810
fordi vi ved,

00:01:21.810 --> 00:01:25.030
at de her 2 linjer er parallelle.

00:01:25.030 --> 00:01:25.310
.

00:01:25.310 --> 00:01:27.330
Ellers ville vi ikke kunne påstå det.

00:01:27.330 --> 00:01:29.010
Eftersom de er indvendige vekselvinkler,

00:01:29.010 --> 00:01:34.570
er de lige store.

00:01:34.570 --> 00:01:35.560
Så langt, så godt.

00:01:35.560 --> 00:01:39.080
Vi har nu vist, at det er ligedannede trekanter.

00:01:39.080 --> 00:01:40.630
Vi behøver ikke kigge på alle 3 vinkler.

00:01:40.630 --> 00:01:42.960
Vi kan nøjes med 2,

00:01:42.960 --> 00:01:44.380
og så kan vi slutte, at de er ligedannede.

00:01:44.380 --> 00:01:46.180
Hvis 2 af vinklerne er ens,

00:01:46.180 --> 00:01:47.370
er den tredje det også.

00:01:47.370 --> 00:01:49.740
Lad os se,

00:01:49.740 --> 00:01:51.980
om vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

00:01:51.980 --> 00:01:53.560
.

00:01:53.560 --> 00:01:58.040
Lad os farve siderne samme farve som vinklen.

00:01:58.040 --> 00:01:58.980
.

00:01:58.980 --> 00:02:02.970
Den her side er orange.

00:02:02.970 --> 00:02:04.800
.

00:02:04.800 --> 00:02:05.810
Den her side er blå.

00:02:05.810 --> 00:02:06.390
Den her side er rød.

00:02:06.390 --> 00:02:06.650
.

00:02:06.650 --> 00:02:08.810
Nu har vi farvet det hele.

00:02:08.810 --> 00:02:13.320
Det bliver brugbart,

00:02:13.320 --> 00:02:16.220
for trekanterne er faktisk vendt om.

00:02:16.220 --> 00:02:17.290
.

00:02:17.290 --> 00:02:21.470
Vi skal finde den orange side her.

00:02:21.470 --> 00:02:24.980
Lad os kalde den x.

00:02:24.980 --> 00:02:28.850
x er lig med spørgsmålstegn.

00:02:28.850 --> 00:02:31.820
Den orange side her svarer til den her side.

00:02:31.820 --> 00:02:32.000
.

00:02:32.000 --> 00:02:34.730
Den er nemlig modsat den her vinkel,

00:02:34.730 --> 00:02:36.090
som er lig med den her vinkel.

00:02:36.090 --> 00:02:38.760
De er altså modstående til den samme vinkel.

00:02:38.760 --> 00:02:40.940
Derfor ved vi, at de svarer til hinanden.

00:02:40.940 --> 00:02:47.960
Vi kan også sige, at x over 6 er lig med.

00:02:47.960 --> 00:02:50.260
Hvilke andre sider kender vi?

00:02:50.260 --> 00:02:53.410
Vi kender den her side.

00:02:53.410 --> 00:02:55.240
.

00:02:55.240 --> 00:02:57.310
Den er 4.

00:02:57.310 --> 00:02:59.570
4 er i samme trekant som det her x.

00:02:59.570 --> 00:03:03.070
Da x er i tælleren på venstre side,

00:03:03.070 --> 00:03:04.900
sætter vi 4 i tælleren

00:03:04.900 --> 00:03:06.590
på højre side.

00:03:06.590 --> 00:03:09.250
4 over hvad?

00:03:09.250 --> 00:03:10.880
Hvilken side svarer til 4?

00:03:10.880 --> 00:03:14.290
Hvad er modsat den her vinkel?

00:03:14.290 --> 00:03:15.000
Det er den her vinkel.

00:03:15.000 --> 00:03:17.720
.

00:03:17.720 --> 00:03:19.050
.

00:03:19.050 --> 00:03:24.690
Den ensliggende side er 5.

00:03:24.690 --> 00:03:26.310
Nu kan vi løse ligningen.

00:03:26.310 --> 00:03:29.010
Vi ganger begge sider med 6.

00:03:29.010 --> 00:03:31.310
24 over 5.

00:03:31.310 --> 00:03:35.745
x er lig med 24 over 5.

00:03:35.745 --> 00:03:38.760
.

00:03:38.760 --> 00:03:40.040
Det er ikke så dårligt.

00:03:40.040 --> 00:03:41.650
Vi kan fortsætte.

00:03:41.650 --> 00:03:44.170
Vi kan nu finde

00:03:44.170 --> 00:03:45.770
den lilla side her.

00:03:45.770 --> 00:03:48.340
Lad os kalde den y.

00:03:48.340 --> 00:03:50.000
.

00:03:50.000 --> 00:03:53.250
y svarer til den her vinkel.

00:03:53.250 --> 00:03:55.550
y svarer altså til den her side på 8.

00:03:55.550 --> 00:03:57.060
.

00:03:57.060 --> 00:04:03.120
Vi kan regne det ud på flere måder.

00:04:03.120 --> 00:04:03.680
.

00:04:03.680 --> 00:04:07.090
Lad os sige 4 over 5.

00:04:07.090 --> 00:04:09.870
Alt andet kan nemt blive

00:04:09.870 --> 00:04:10.520
forvirrende.

00:04:10.520 --> 00:04:11.980
.

00:04:11.980 --> 00:04:15.380
4 over 5.

00:04:15.380 --> 00:04:17.000
Vi ganger begge sider med 8.

00:04:17.000 --> 00:04:24.770
y er lig med 8 gange 4.

00:04:24.770 --> 00:04:27.160
Det er 32 over 5.

00:04:27.160 --> 00:04:31.980
.

00:04:31.980 --> 00:04:33.825
Det her eksempel viser,

00:04:33.825 --> 00:04:37.170
at vi ikke kun kan tage det på øjemål.

00:04:37.170 --> 00:04:39.860
Nogle gange kan man,

00:04:39.860 --> 00:04:42.710
men det er ikke altid tydeligt, hvilke sider der er ensliggende.

00:04:42.710 --> 00:04:45.612
Måske ville man sige,

00:04:45.612 --> 00:04:48.270
at de her sider er ensliggende.

00:04:48.270 --> 00:04:49.500
.

00:04:49.500 --> 00:04:53.150
Vi skal virkelig holde øje med,

00:04:53.150 --> 00:04:55.000
hvilke sider der passer til hvilke vinkler.

00:04:55.000 --> 00:04:58.180
Enhver side til en bestemt vinkel

00:04:58.180 --> 00:05:02.610
har en ensliggende vinkel i den anden trekant,

00:05:02.610 --> 00:05:04.300
og siden modsat den vinkel er den ensliggende side.

00:05:04.300 --> 00:05:07.800
Det er mange tekniske ord,

00:05:07.800 --> 00:05:09.670
men forhåbentlig giver det mening.

00:05:09.670 --> 00:05:12.230
Lad os lave en opgave mere.

00:05:12.230 --> 00:05:16.970
Lad os bevise,

00:05:16.970 --> 00:05:18.160
at 2 trekanter er ligedannede.

00:05:18.160 --> 00:05:20.710
.

00:05:20.710 --> 00:05:21.800
.

00:05:21.800 --> 00:05:25.830
Lad os tegne 2 parallelle linjer igen.

00:05:25.830 --> 00:05:28.520
.

00:05:28.520 --> 00:05:31.480
Lad os tegne dem.

00:05:31.480 --> 00:05:34.450
Der var en.

00:05:34.450 --> 00:05:35.300
Sådan.

00:05:35.300 --> 00:05:39.140
.

00:05:39.140 --> 00:05:41.240
De her er parallelle.

00:05:41.240 --> 00:05:45.110
Lad os skrive det.

00:05:45.110 --> 00:05:46.220
Parallelle.

00:05:46.220 --> 00:05:49.990
Vi skal bevise,

00:05:49.990 --> 00:05:58.300
at den her trekant er ligedannet med den større trekant.

00:05:58.300 --> 00:06:00.310
Det er den her.

00:06:00.310 --> 00:06:01.190
Det er interessant.

00:06:01.190 --> 00:06:02.490
De overlapper hinanden.

00:06:02.490 --> 00:06:02.830
.

00:06:02.830 --> 00:06:08.070
Ved vi,

00:06:08.070 --> 00:06:10.970
om der er nogen af de her vinkler,

00:06:10.970 --> 00:06:12.420
der er lig med hinanden?

00:06:12.420 --> 00:06:13.010
Ja, det gør vi.

00:06:13.010 --> 00:06:13.880
Der er den her vinkel.

00:06:13.880 --> 00:06:16.730
De har den tilfælles.

00:06:16.730 --> 00:06:17.230
.

00:06:17.230 --> 00:06:20.250
De 2 trekanter overlapper nemlig i det punkt.

00:06:20.250 --> 00:06:22.000
Hvad ved vi ellers?

00:06:22.000 --> 00:06:23.950
.

00:06:23.950 --> 00:06:25.530
.

00:06:25.530 --> 00:06:26.930
.

00:06:26.930 --> 00:06:31.550
Der er den her vinkel.

00:06:31.550 --> 00:06:33.470
Hvilke andre vinkler er lig med den her vinkel?

00:06:33.470 --> 00:06:37.320
Vi kan bruge vores viden

00:06:37.320 --> 00:06:42.350
om transversaler og parallelle linjer.

00:06:42.350 --> 00:06:44.860
Hvilken vinkel svarer den her vinkel til?

00:06:44.860 --> 00:06:46.620
Den svarer til den her vinkel.

00:06:46.620 --> 00:06:48.320
De er ens.

00:06:48.320 --> 00:06:49.750
Det ved vi fra de parallelle linjer.

00:06:49.750 --> 00:06:50.090
.

00:06:50.090 --> 00:06:52.000
De er lig med hinanden.

00:06:52.000 --> 00:06:57.150
.

00:06:57.150 --> 00:06:59.550
Vi kan tegne en tredobbelt vinkel her.

00:06:59.550 --> 00:07:00.110
.

00:07:00.110 --> 00:07:02.610
Den ensliggende vinkel er her.

00:07:02.610 --> 00:07:05.250
.

00:07:05.250 --> 00:07:05.830
Vi ved,

00:07:05.830 --> 00:07:10.450
at alle 3 vinkler er ens.

00:07:10.450 --> 00:07:11.760
Det er altså en ligedannet trekant.

00:07:11.760 --> 00:07:16.540
.

00:07:16.540 --> 00:07:18.780
Lad os prøve med et

00:07:18.780 --> 00:07:19.920
trickspørgsmål.

00:07:19.920 --> 00:07:24.430
Herfra og hertil er der 5.

00:07:24.430 --> 00:07:29.530
Herfra og hertil er der 7.

00:07:29.530 --> 00:07:41.250
.

00:07:41.250 --> 00:07:46.825
Herfra og hertil

00:07:46.825 --> 00:07:49.820
er der 12.

00:07:49.820 --> 00:08:01.430
Herfra og hertil er der 6.

00:08:01.430 --> 00:08:04.920
Vi skal finde den her.

00:08:04.920 --> 00:08:06.080
Hvordan gør vi det?

00:08:06.080 --> 00:08:08.720
Vi har gjort det forvirrende

00:08:08.720 --> 00:08:10.050
ved at tegne alle de her snoede linjer.

00:08:10.050 --> 00:08:11.460
Vi ved allerede,

00:08:11.460 --> 00:08:12.460
at de her 2 trekanter er ligedannede.

00:08:12.460 --> 00:08:14.910
Vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

00:08:14.910 --> 00:08:20.110
Vi kalder den her for x.

00:08:20.110 --> 00:08:21.700
.

00:08:21.700 --> 00:08:23.320
Hvad ved vi?

00:08:23.320 --> 00:08:31.350
Hvilken side i den lille trekant

00:08:31.350 --> 00:08:33.250
svarer hele den her side til?

00:08:33.250 --> 00:08:34.580
Den svarer til den her side.

00:08:34.580 --> 00:08:34.820
.

00:08:34.820 --> 00:08:37.085
Her.

00:08:37.085 --> 00:08:39.220
.

00:08:39.220 --> 00:08:42.780
De er begge orange og er ensliggende.

00:08:42.780 --> 00:08:44.030
.

00:08:44.030 --> 00:08:47.190
Den orange her

00:08:47.190 --> 00:08:49.900
svarer til hele den her linje.

00:08:49.900 --> 00:08:52.770
I den store trekant

00:08:52.770 --> 00:08:54.210
er den her side ikke bare x.

00:08:54.210 --> 00:08:54.490
.

00:08:54.490 --> 00:08:55.875
Det er nemlig ikke hele siden i den her trekant.

00:08:55.875 --> 00:08:56.933
Det er x plus 5.

00:08:56.933 --> 00:09:00.850
.

00:09:00.850 --> 00:09:02.060
Det er hele den her side.

00:09:02.060 --> 00:09:02.450
.

00:09:02.450 --> 00:09:06.116
.

00:09:06.116 --> 00:09:11.340
x plus 5 over den ensliggende side i den lille trekant.

00:09:11.340 --> 00:09:12.660
Den ensliggende side

00:09:12.660 --> 00:09:14.630
i den mindre trekant er den her.

00:09:14.630 --> 00:09:16.610
Det er over 5.

00:09:16.610 --> 00:09:17.870
.

00:09:17.870 --> 00:09:22.180
Vi kan sige,

00:09:22.180 --> 00:09:25.740
at den er lig med 12,

00:09:25.740 --> 00:09:27.332
fordi den her er ensliggende med vinklen i den store trekant.

00:09:27.332 --> 00:09:30.540
Den er lig med 12 over hvad?

00:09:30.540 --> 00:09:33.980
Over 6. Det er nemlig den lille trekant.

00:09:33.980 --> 00:09:34.930
Nu kan vi løse det.

00:09:34.930 --> 00:09:35.900
Det her bliver 2.

00:09:35.900 --> 00:09:36.860
.

00:09:36.860 --> 00:09:40.936
x plus 5 er lig med 10.

00:09:40.936 --> 00:09:43.530
x er lig med 5.

00:09:43.530 --> 00:09:46.300
Sådan.

00:09:46.300 --> 00:09:48.560
Vi er færdige.

00:09:48.560 --> 00:09:51.540
Forhåbentlig gav det

00:09:51.540 --> 00:09:52.580
noget viden om

00:09:52.580 --> 00:09:54.720
ligedannede trekanter.