.
Velkommen tilbage.
Vi fortsætter, hvor vi slap.
Vi har den her vinkel.
Kan vi regne nogle af de andre vinkler ud?
Det her er en transversal,
og det her er parallelle linjer.
Vi kender til indvendige vekselvinkler.
Det her er en indvendig vinkel, og her er dens indvendige vekselvinkel.
De er lig med hinanden.
Vi tegner det ikke endnu.
Hvis vi ikke kendte indvendige vekselvinkler,
kunne vi bruge vores viden om ensliggende vinkler.
Den her vinkel er også
lig med den her vinkel.
Vi kan nu bruge modstående vinkler
til at komme tilbage til indvendige vekselvinkler.
Det skal vi se på.
Det gode ved matematik er,
at man ikke behøver huske særligt mange ting.
Man skal kunne huske nogle få regler,
og så kan man bruge dem til alt muligt andet.
Det er smart.
Vi fandt ud af,
at de her 2 vinkler er ens.
.
De er nemlig indvendige vekselvinkler.
Det her er den ensliggende side.
Hvad med den her vinkel?
Vi tegner en vinkel med tre buer her.
1, 2, 3.
Hvad er den her lig med i den her trekant?
Samme argument.
.
Vi kan kun konkludere de her ting,
fordi vi ved,
at de her 2 linjer er parallelle.
.
Ellers ville vi ikke kunne påstå det.
Eftersom de er indvendige vekselvinkler,
er de lige store.
Så langt, så godt.
Vi har nu vist, at det er ligedannede trekanter.
Vi behøver ikke kigge på alle 3 vinkler.
Vi kan nøjes med 2,
og så kan vi slutte, at de er ligedannede.
Hvis 2 af vinklerne er ens,
er den tredje det også.
Lad os se,
om vi kan bruge den viden til at finde forholdene.
.
Lad os farve siderne samme farve som vinklen.
.
Den her side er orange.
.
Den her side er blå.
Den her side er rød.
.
Nu har vi farvet det hele.
Det bliver brugbart,
for trekanterne er faktisk vendt om.
.
Vi skal finde den orange side her.
Lad os kalde den x.
x er lig med spørgsmålstegn.
Den orange side her svarer til den her side.
.
Den er nemlig modsat den her vinkel,
som er lig med den her vinkel.
De er altså modstående til den samme vinkel.
Derfor ved vi, at de svarer til hinanden.
Vi kan også sige, at x over 6 er lig med.
Hvilke andre sider kender vi?
Vi kender den her side.
.
Den er 4.
4 er i samme trekant som det her x.
Da x er i tælleren på venstre side,
sætter vi 4 i tælleren
på højre side.
4 over hvad?
Hvilken side svarer til 4?
Hvad er modsat den her vinkel?
Det er den her vinkel.
.
Den ensliggende side er 5.
Nu kan vi løse ligningen.
Vi ganger begge sider med 6.
24 over 5.
x er lig med 24 over 5.
.
Det er ikke så dårligt.
Vi kan fortsætte.
Vi kan nu finde
den lilla side her.
Lad os kalde den y.
.
y svarer til den her vinkel.
y svarer altså til den her side på 8.
.
Vi kan regne det ud på flere måder.
.
Lad os sige 4 over 5.
Alt andet kan nemt blive
forvirrende.
.
4 over 5.
Vi ganger begge sider med 8.
y er lig med 8 gange 4.
Det er 32 over 5.
.
Det her eksempel viser,
at vi ikke kun kan tage det på øjemål.
Nogle gange kan man,
men det er ikke altid tydeligt, hvilke sider der er ensliggende.
Måske ville man sige,
at de her sider er ensliggende.
.
Vi skal virkelig holde øje med,
hvilke sider der passer til hvilke vinkler.
Enhver side til en bestemt vinkel
har en ensliggende vinkel i den anden trekant,
og siden modsat den vinkel er den ensliggende side.
Det er mange tekniske ord,
men forhåbentlig giver det mening.
Lad os lave en opgave mere.
Lad os bevise,
at 2 trekanter er ligedannede.
.
Lad os tegne 2 parallelle linjer igen.
.
Lad os tegne dem.
Der var en.
Sådan.
.
De her er parallelle.
Lad os skrive det.
Parallelle.
Vi skal bevise,
at den her trekant er ligedannet med den større trekant.
Det er den her.
Det er interessant.
De overlapper hinanden.
.
Ved vi,
om der er nogen af de her vinkler,
der er lig med hinanden?
Ja, det gør vi.
Der er den her vinkel.
De har den tilfælles.
.
De 2 trekanter overlapper nemlig i det punkt.
Hvad ved vi ellers?
.
Der er den her vinkel.
Hvilke andre vinkler er lig med den her vinkel?
Vi kan bruge vores viden
om transversaler og parallelle linjer.
Hvilken vinkel svarer den her vinkel til?
Den svarer til den her vinkel.
De er ens.
Det ved vi fra de parallelle linjer.
.
De er lig med hinanden.
.
Vi kan tegne en tredobbelt vinkel her.
.
Den ensliggende vinkel er her.
.
Vi ved,
at alle 3 vinkler er ens.
Det er altså en ligedannet trekant.
.
Lad os prøve med et
trickspørgsmål.
Herfra og hertil er der 5.
Herfra og hertil er der 7.
.
Herfra og hertil
er der 12.
Herfra og hertil er der 6.
Vi skal finde den her.
Hvordan gør vi det?
Vi har gjort det forvirrende
ved at tegne alle de her snoede linjer.
Vi ved allerede,
at de her 2 trekanter er ligedannede.
Vi kan bruge den viden til at finde forholdene.
Vi kalder den her for x.
.
Hvad ved vi?
Hvilken side i den lille trekant
svarer hele den her side til?
Den svarer til den her side.
.
Her.
.
De er begge orange og er ensliggende.
.
Den orange her
svarer til hele den her linje.
I den store trekant
er den her side ikke bare x.
.
Det er nemlig ikke hele siden i den her trekant.
Det er x plus 5.
.
Det er hele den her side.
.
x plus 5 over den ensliggende side i den lille trekant.
Den ensliggende side
i den mindre trekant er den her.
Det er over 5.
.
Vi kan sige,
at den er lig med 12,
fordi den her er ensliggende med vinklen i den store trekant.
Den er lig med 12 over hvad?
Over 6. Det er nemlig den lille trekant.
Nu kan vi løse det.
Det her bliver 2.
.
x plus 5 er lig med 10.
x er lig med 5.
Sådan.
Vi er færdige.
Forhåbentlig gav det
noget viden om
ligedannede trekanter.