1
00:00:00,000 --> 00:00:00,690
.

2
00:00:00,690 --> 00:00:01,810
Velkommen tilbage.

3
00:00:01,810 --> 00:00:04,820
Vi fortsætter, hvor vi slap.

4
00:00:04,820 --> 00:00:07,720
Vi har den her vinkel.

5
00:00:07,720 --> 00:00:08,930
Kan vi regne nogle af de andre vinkler ud?

6
00:00:08,930 --> 00:00:14,750
Det her er en transversal,

7
00:00:14,750 --> 00:00:17,780
og det her er parallelle linjer.

8
00:00:17,780 --> 00:00:18,940
Vi kender til indvendige vekselvinkler.

9
00:00:18,940 --> 00:00:21,320
Det her er en indvendig vinkel, og her er dens indvendige vekselvinkel.

10
00:00:21,320 --> 00:00:23,340
De er lig med hinanden.

11
00:00:23,340 --> 00:00:25,520
Vi tegner det ikke endnu.

12
00:00:25,520 --> 00:00:27,680
Hvis vi ikke kendte indvendige vekselvinkler,

13
00:00:27,680 --> 00:00:29,460
kunne vi bruge vores viden om ensliggende vinkler.

14
00:00:29,460 --> 00:00:31,410
Den her vinkel er også

15
00:00:31,410 --> 00:00:32,880
lig med den her vinkel.

16
00:00:32,880 --> 00:00:35,460
Vi kan nu bruge modstående vinkler

17
00:00:35,460 --> 00:00:37,660
til at komme tilbage til indvendige vekselvinkler.

18
00:00:37,660 --> 00:00:38,490
Det skal vi se på.

19
00:00:38,490 --> 00:00:40,900
Det gode ved matematik er,

20
00:00:40,900 --> 00:00:42,520
at man ikke behøver huske særligt mange ting.

21
00:00:42,520 --> 00:00:45,530
Man skal kunne huske nogle få regler,

22
00:00:45,530 --> 00:00:46,520
og så kan man bruge dem til alt muligt andet.

23
00:00:46,520 --> 00:00:47,220
Det er smart.

24
00:00:47,220 --> 00:00:51,020
Vi fandt ud af,

25
00:00:51,020 --> 00:00:52,440
at de her 2 vinkler er ens.

26
00:00:52,440 --> 00:00:52,650
.

27
00:00:52,650 --> 00:00:55,550
De er nemlig indvendige vekselvinkler.

28
00:00:55,550 --> 00:01:00,320
Det her er den ensliggende side.

29
00:01:00,320 --> 00:01:03,030
Hvad med den her vinkel?

30
00:01:03,030 --> 00:01:05,270
Vi tegner en vinkel med tre buer her.

31
00:01:05,270 --> 00:01:08,640
1, 2, 3.

32
00:01:08,640 --> 00:01:11,400
Hvad er den her lig med i den her trekant?

33
00:01:11,400 --> 00:01:13,230
Samme argument.

34
00:01:13,230 --> 00:01:15,990
.

35
00:01:15,990 --> 00:01:18,420
Vi kan kun konkludere de her ting,

36
00:01:18,420 --> 00:01:21,810
fordi vi ved,

37
00:01:21,810 --> 00:01:25,030
at de her 2 linjer er parallelle.

38
00:01:25,030 --> 00:01:25,310
.

39
00:01:25,310 --> 00:01:27,330
Ellers ville vi ikke kunne påstå det.

40
00:01:27,330 --> 00:01:29,010
Eftersom de er indvendige vekselvinkler,

41
00:01:29,010 --> 00:01:34,570
er de lige store.

42
00:01:34,570 --> 00:01:35,560
Så langt, så godt.

43
00:01:35,560 --> 00:01:39,080
Vi har nu vist, at det er ligedannede trekanter.

44
00:01:39,080 --> 00:01:40,630
Vi behøver ikke kigge på alle 3 vinkler.

45
00:01:40,630 --> 00:01:42,960
Vi kan nøjes med 2,

46
00:01:42,960 --> 00:01:44,380
og så kan vi slutte, at de er ligedannede.

47
00:01:44,380 --> 00:01:46,180
Hvis 2 af vinklerne er ens,

48
00:01:46,180 --> 00:01:47,370
er den tredje det også.

49
00:01:47,370 --> 00:01:49,740
Lad os se,

50
00:01:49,740 --> 00:01:51,980
om vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

51
00:01:51,980 --> 00:01:53,560
.

52
00:01:53,560 --> 00:01:58,040
Lad os farve siderne samme farve som vinklen.

53
00:01:58,040 --> 00:01:58,980
.

54
00:01:58,980 --> 00:02:02,970
Den her side er orange.

55
00:02:02,970 --> 00:02:04,800
.

56
00:02:04,800 --> 00:02:05,810
Den her side er blå.

57
00:02:05,810 --> 00:02:06,390
Den her side er rød.

58
00:02:06,390 --> 00:02:06,650
.

59
00:02:06,650 --> 00:02:08,810
Nu har vi farvet det hele.

60
00:02:08,810 --> 00:02:13,320
Det bliver brugbart,

61
00:02:13,320 --> 00:02:16,220
for trekanterne er faktisk vendt om.

62
00:02:16,220 --> 00:02:17,290
.

63
00:02:17,290 --> 00:02:21,470
Vi skal finde den orange side her.

64
00:02:21,470 --> 00:02:24,980
Lad os kalde den x.

65
00:02:24,980 --> 00:02:28,850
x er lig med spørgsmålstegn.

66
00:02:28,850 --> 00:02:31,820
Den orange side her svarer til den her side.

67
00:02:31,820 --> 00:02:32,000
.

68
00:02:32,000 --> 00:02:34,730
Den er nemlig modsat den her vinkel,

69
00:02:34,730 --> 00:02:36,090
som er lig med den her vinkel.

70
00:02:36,090 --> 00:02:38,760
De er altså modstående til den samme vinkel.

71
00:02:38,760 --> 00:02:40,940
Derfor ved vi, at de svarer til hinanden.

72
00:02:40,940 --> 00:02:47,960
Vi kan også sige, at x over 6 er lig med.

73
00:02:47,960 --> 00:02:50,260
Hvilke andre sider kender vi?

74
00:02:50,260 --> 00:02:53,410
Vi kender den her side.

75
00:02:53,410 --> 00:02:55,240
.

76
00:02:55,240 --> 00:02:57,310
Den er 4.

77
00:02:57,310 --> 00:02:59,570
4 er i samme trekant som det her x.

78
00:02:59,570 --> 00:03:03,070
Da x er i tælleren på venstre side,

79
00:03:03,070 --> 00:03:04,900
sætter vi 4 i tælleren

80
00:03:04,900 --> 00:03:06,590
på højre side.

81
00:03:06,590 --> 00:03:09,250
4 over hvad?

82
00:03:09,250 --> 00:03:10,880
Hvilken side svarer til 4?

83
00:03:10,880 --> 00:03:14,290
Hvad er modsat den her vinkel?

84
00:03:14,290 --> 00:03:15,000
Det er den her vinkel.

85
00:03:15,000 --> 00:03:17,720
.

86
00:03:17,720 --> 00:03:19,050
.

87
00:03:19,050 --> 00:03:24,690
Den ensliggende side er 5.

88
00:03:24,690 --> 00:03:26,310
Nu kan vi løse ligningen.

89
00:03:26,310 --> 00:03:29,010
Vi ganger begge sider med 6.

90
00:03:29,010 --> 00:03:31,310
24 over 5.

91
00:03:31,310 --> 00:03:35,745
x er lig med 24 over 5.

92
00:03:35,745 --> 00:03:38,760
.

93
00:03:38,760 --> 00:03:40,040
Det er ikke så dårligt.

94
00:03:40,040 --> 00:03:41,650
Vi kan fortsætte.

95
00:03:41,650 --> 00:03:44,170
Vi kan nu finde

96
00:03:44,170 --> 00:03:45,770
den lilla side her.

97
00:03:45,770 --> 00:03:48,340
Lad os kalde den y.

98
00:03:48,340 --> 00:03:50,000
.

99
00:03:50,000 --> 00:03:53,250
y svarer til den her vinkel.

100
00:03:53,250 --> 00:03:55,550
y svarer altså til den her side på 8.

101
00:03:55,550 --> 00:03:57,060
.

102
00:03:57,060 --> 00:04:03,120
Vi kan regne det ud på flere måder.

103
00:04:03,120 --> 00:04:03,680
.

104
00:04:03,680 --> 00:04:07,090
Lad os sige 4 over 5.

105
00:04:07,090 --> 00:04:09,870
Alt andet kan nemt blive

106
00:04:09,870 --> 00:04:10,520
forvirrende.

107
00:04:10,520 --> 00:04:11,980
.

108
00:04:11,980 --> 00:04:15,380
4 over 5.

109
00:04:15,380 --> 00:04:17,000
Vi ganger begge sider med 8.

110
00:04:17,000 --> 00:04:24,770
y er lig med 8 gange 4.

111
00:04:24,770 --> 00:04:27,160
Det er 32 over 5.

112
00:04:27,160 --> 00:04:31,980
.

113
00:04:31,980 --> 00:04:33,825
Det her eksempel viser,

114
00:04:33,825 --> 00:04:37,170
at vi ikke kun kan tage det på øjemål.

115
00:04:37,170 --> 00:04:39,860
Nogle gange kan man,

116
00:04:39,860 --> 00:04:42,710
men det er ikke altid tydeligt, hvilke sider der er ensliggende.

117
00:04:42,710 --> 00:04:45,612
Måske ville man sige,

118
00:04:45,612 --> 00:04:48,270
at de her sider er ensliggende.

119
00:04:48,270 --> 00:04:49,500
.

120
00:04:49,500 --> 00:04:53,150
Vi skal virkelig holde øje med,

121
00:04:53,150 --> 00:04:55,000
hvilke sider der passer til hvilke vinkler.

122
00:04:55,000 --> 00:04:58,180
Enhver side til en bestemt vinkel

123
00:04:58,180 --> 00:05:02,610
har en ensliggende vinkel i den anden trekant,

124
00:05:02,610 --> 00:05:04,300
og siden modsat den vinkel er den ensliggende side.

125
00:05:04,300 --> 00:05:07,800
Det er mange tekniske ord,

126
00:05:07,800 --> 00:05:09,670
men forhåbentlig giver det mening.

127
00:05:09,670 --> 00:05:12,230
Lad os lave en opgave mere.

128
00:05:12,230 --> 00:05:16,970
Lad os bevise,

129
00:05:16,970 --> 00:05:18,160
at 2 trekanter er ligedannede.

130
00:05:18,160 --> 00:05:20,710
.

131
00:05:20,710 --> 00:05:21,800
.

132
00:05:21,800 --> 00:05:25,830
Lad os tegne 2 parallelle linjer igen.

133
00:05:25,830 --> 00:05:28,520
.

134
00:05:28,520 --> 00:05:31,480
Lad os tegne dem.

135
00:05:31,480 --> 00:05:34,450
Der var en.

136
00:05:34,450 --> 00:05:35,300
Sådan.

137
00:05:35,300 --> 00:05:39,140
.

138
00:05:39,140 --> 00:05:41,240
De her er parallelle.

139
00:05:41,240 --> 00:05:45,110
Lad os skrive det.

140
00:05:45,110 --> 00:05:46,220
Parallelle.

141
00:05:46,220 --> 00:05:49,990
Vi skal bevise,

142
00:05:49,990 --> 00:05:58,300
at den her trekant er ligedannet med den større trekant.

143
00:05:58,300 --> 00:06:00,310
Det er den her.

144
00:06:00,310 --> 00:06:01,190
Det er interessant.

145
00:06:01,190 --> 00:06:02,490
De overlapper hinanden.

146
00:06:02,490 --> 00:06:02,830
.

147
00:06:02,830 --> 00:06:08,070
Ved vi,

148
00:06:08,070 --> 00:06:10,970
om der er nogen af de her vinkler,

149
00:06:10,970 --> 00:06:12,420
der er lig med hinanden?

150
00:06:12,420 --> 00:06:13,010
Ja, det gør vi.

151
00:06:13,010 --> 00:06:13,880
Der er den her vinkel.

152
00:06:13,880 --> 00:06:16,730
De har den tilfælles.

153
00:06:16,730 --> 00:06:17,230
.

154
00:06:17,230 --> 00:06:20,250
De 2 trekanter overlapper nemlig i det punkt.

155
00:06:20,250 --> 00:06:22,000
Hvad ved vi ellers?

156
00:06:22,000 --> 00:06:23,950
.

157
00:06:23,950 --> 00:06:25,530
.

158
00:06:25,530 --> 00:06:26,930
.

159
00:06:26,930 --> 00:06:31,550
Der er den her vinkel.

160
00:06:31,550 --> 00:06:33,470
Hvilke andre vinkler er lig med den her vinkel?

161
00:06:33,470 --> 00:06:37,320
Vi kan bruge vores viden

162
00:06:37,320 --> 00:06:42,350
om transversaler og parallelle linjer.

163
00:06:42,350 --> 00:06:44,860
Hvilken vinkel svarer den her vinkel til?

164
00:06:44,860 --> 00:06:46,620
Den svarer til den her vinkel.

165
00:06:46,620 --> 00:06:48,320
De er ens.

166
00:06:48,320 --> 00:06:49,750
Det ved vi fra de parallelle linjer.

167
00:06:49,750 --> 00:06:50,090
.

168
00:06:50,090 --> 00:06:52,000
De er lig med hinanden.

169
00:06:52,000 --> 00:06:57,150
.

170
00:06:57,150 --> 00:06:59,550
Vi kan tegne en tredobbelt vinkel her.

171
00:06:59,550 --> 00:07:00,110
.

172
00:07:00,110 --> 00:07:02,610
Den ensliggende vinkel er her.

173
00:07:02,610 --> 00:07:05,250
.

174
00:07:05,250 --> 00:07:05,830
Vi ved,

175
00:07:05,830 --> 00:07:10,450
at alle 3 vinkler er ens.

176
00:07:10,450 --> 00:07:11,760
Det er altså en ligedannet trekant.

177
00:07:11,760 --> 00:07:16,540
.

178
00:07:16,540 --> 00:07:18,780
Lad os prøve med et

179
00:07:18,780 --> 00:07:19,920
trickspørgsmål.

180
00:07:19,920 --> 00:07:24,430
Herfra og hertil er der 5.

181
00:07:24,430 --> 00:07:29,530
Herfra og hertil er der 7.

182
00:07:29,530 --> 00:07:41,250
.

183
00:07:41,250 --> 00:07:46,825
Herfra og hertil

184
00:07:46,825 --> 00:07:49,820
er der 12.

185
00:07:49,820 --> 00:08:01,430
Herfra og hertil er der 6.

186
00:08:01,430 --> 00:08:04,920
Vi skal finde den her.

187
00:08:04,920 --> 00:08:06,080
Hvordan gør vi det?

188
00:08:06,080 --> 00:08:08,720
Vi har gjort det forvirrende

189
00:08:08,720 --> 00:08:10,050
ved at tegne alle de her snoede linjer.

190
00:08:10,050 --> 00:08:11,460
Vi ved allerede,

191
00:08:11,460 --> 00:08:12,460
at de her 2 trekanter er ligedannede.

192
00:08:12,460 --> 00:08:14,910
Vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

193
00:08:14,910 --> 00:08:20,110
Vi kalder den her for x.

194
00:08:20,110 --> 00:08:21,700
.

195
00:08:21,700 --> 00:08:23,320
Hvad ved vi?

196
00:08:23,320 --> 00:08:31,350
Hvilken side i den lille trekant

197
00:08:31,350 --> 00:08:33,250
svarer hele den her side til?

198
00:08:33,250 --> 00:08:34,580
Den svarer til den her side.

199
00:08:34,580 --> 00:08:34,820
.

200
00:08:34,820 --> 00:08:37,085
Her.

201
00:08:37,085 --> 00:08:39,220
.

202
00:08:39,220 --> 00:08:42,780
De er begge orange og er ensliggende.

203
00:08:42,780 --> 00:08:44,030
.

204
00:08:44,030 --> 00:08:47,190
Den orange her

205
00:08:47,190 --> 00:08:49,900
svarer til hele den her linje.

206
00:08:49,900 --> 00:08:52,770
I den store trekant

207
00:08:52,770 --> 00:08:54,210
er den her side ikke bare x.

208
00:08:54,210 --> 00:08:54,490
.

209
00:08:54,490 --> 00:08:55,875
Det er nemlig ikke hele siden i den her trekant.

210
00:08:55,875 --> 00:08:56,933
Det er x plus 5.

211
00:08:56,933 --> 00:09:00,850
.

212
00:09:00,850 --> 00:09:02,060
Det er hele den her side.

213
00:09:02,060 --> 00:09:02,450
.

214
00:09:02,450 --> 00:09:06,116
.

215
00:09:06,116 --> 00:09:11,340
x plus 5 over den ensliggende side i den lille trekant.

216
00:09:11,340 --> 00:09:12,660
Den ensliggende side

217
00:09:12,660 --> 00:09:14,630
i den mindre trekant er den her.

218
00:09:14,630 --> 00:09:16,610
Det er over 5.

219
00:09:16,610 --> 00:09:17,870
.

220
00:09:17,870 --> 00:09:22,180
Vi kan sige,

221
00:09:22,180 --> 00:09:25,740
at den er lig med 12,

222
00:09:25,740 --> 00:09:27,332
fordi den her er ensliggende med vinklen i den store trekant.

223
00:09:27,332 --> 00:09:30,540
Den er lig med 12 over hvad?

224
00:09:30,540 --> 00:09:33,980
Over 6. Det er nemlig den lille trekant.

225
00:09:33,980 --> 00:09:34,930
Nu kan vi løse det.

226
00:09:34,930 --> 00:09:35,900
Det her bliver 2.

227
00:09:35,900 --> 00:09:36,860
.

228
00:09:36,860 --> 00:09:40,936
x plus 5 er lig med 10.

229
00:09:40,936 --> 00:09:43,530
x er lig med 5.

230
00:09:43,530 --> 00:09:46,300
Sådan.

231
00:09:46,300 --> 00:09:48,560
Vi er færdige.

232
00:09:48,560 --> 00:09:51,540
Forhåbentlig gav det

233
00:09:51,540 --> 00:09:52,580
noget viden om

234
00:09:52,580 --> 00:09:54,720
ligedannede trekanter.