0:00:00.000,0:00:00.690
.

0:00:00.690,0:00:01.810
Velkommen tilbage.

0:00:01.810,0:00:04.820
Vi fortsætter, hvor vi slap.

0:00:04.820,0:00:07.720
Vi har den her vinkel.

0:00:07.720,0:00:08.930
Kan vi regne nogle af de andre vinkler ud?

0:00:08.930,0:00:14.750
Det her er en transversal,

0:00:14.750,0:00:17.780
og det her er parallelle linjer.

0:00:17.780,0:00:18.940
Vi kender til indvendige vekselvinkler.

0:00:18.940,0:00:21.320
Det her er en indvendig vinkel, og her er dens indvendige vekselvinkel.

0:00:21.320,0:00:23.340
De er lig med hinanden.

0:00:23.340,0:00:25.520
Vi tegner det ikke endnu.

0:00:25.520,0:00:27.680
Hvis vi ikke kendte indvendige vekselvinkler,

0:00:27.680,0:00:29.460
kunne vi bruge vores viden om ensliggende vinkler.

0:00:29.460,0:00:31.410
Den her vinkel er også

0:00:31.410,0:00:32.880
lig med den her vinkel.

0:00:32.880,0:00:35.460
Vi kan nu bruge modstående vinkler

0:00:35.460,0:00:37.660
til at komme tilbage til indvendige vekselvinkler.

0:00:37.660,0:00:38.490
Det skal vi se på.

0:00:38.490,0:00:40.900
Det gode ved matematik er,

0:00:40.900,0:00:42.520
at man ikke behøver huske særligt mange ting.

0:00:42.520,0:00:45.530
Man skal kunne huske nogle få regler,

0:00:45.530,0:00:46.520
og så kan man bruge dem til alt muligt andet.

0:00:46.520,0:00:47.220
Det er smart.

0:00:47.220,0:00:51.020
Vi fandt ud af,

0:00:51.020,0:00:52.440
at de her 2 vinkler er ens.

0:00:52.440,0:00:52.650
.

0:00:52.650,0:00:55.550
De er nemlig indvendige vekselvinkler.

0:00:55.550,0:01:00.320
Det her er den ensliggende side.

0:01:00.320,0:01:03.030
Hvad med den her vinkel?

0:01:03.030,0:01:05.270
Vi tegner en vinkel med tre buer her.

0:01:05.270,0:01:08.640
1, 2, 3.

0:01:08.640,0:01:11.400
Hvad er den her lig med i den her trekant?

0:01:11.400,0:01:13.230
Samme argument.

0:01:13.230,0:01:15.990
.

0:01:15.990,0:01:18.420
Vi kan kun konkludere de her ting,

0:01:18.420,0:01:21.810
fordi vi ved,

0:01:21.810,0:01:25.030
at de her 2 linjer er parallelle.

0:01:25.030,0:01:25.310
.

0:01:25.310,0:01:27.330
Ellers ville vi ikke kunne påstå det.

0:01:27.330,0:01:29.010
Eftersom de er indvendige vekselvinkler,

0:01:29.010,0:01:34.570
er de lige store.

0:01:34.570,0:01:35.560
Så langt, så godt.

0:01:35.560,0:01:39.080
Vi har nu vist, at det er ligedannede trekanter.

0:01:39.080,0:01:40.630
Vi behøver ikke kigge på alle 3 vinkler.

0:01:40.630,0:01:42.960
Vi kan nøjes med 2,

0:01:42.960,0:01:44.380
og så kan vi slutte, at de er ligedannede.

0:01:44.380,0:01:46.180
Hvis 2 af vinklerne er ens,

0:01:46.180,0:01:47.370
er den tredje det også.

0:01:47.370,0:01:49.740
Lad os se,

0:01:49.740,0:01:51.980
om vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

0:01:51.980,0:01:53.560
.

0:01:53.560,0:01:58.040
Lad os farve siderne samme farve som vinklen.

0:01:58.040,0:01:58.980
.

0:01:58.980,0:02:02.970
Den her side er orange.

0:02:02.970,0:02:04.800
.

0:02:04.800,0:02:05.810
Den her side er blå.

0:02:05.810,0:02:06.390
Den her side er rød.

0:02:06.390,0:02:06.650
.

0:02:06.650,0:02:08.810
Nu har vi farvet det hele.

0:02:08.810,0:02:13.320
Det bliver brugbart,

0:02:13.320,0:02:16.220
for trekanterne er faktisk vendt om.

0:02:16.220,0:02:17.290
.

0:02:17.290,0:02:21.470
Vi skal finde den orange side her.

0:02:21.470,0:02:24.980
Lad os kalde den x.

0:02:24.980,0:02:28.850
x er lig med spørgsmålstegn.

0:02:28.850,0:02:31.820
Den orange side her svarer til den her side.

0:02:31.820,0:02:32.000
.

0:02:32.000,0:02:34.730
Den er nemlig modsat den her vinkel,

0:02:34.730,0:02:36.090
som er lig med den her vinkel.

0:02:36.090,0:02:38.760
De er altså modstående til den samme vinkel.

0:02:38.760,0:02:40.940
Derfor ved vi, at de svarer til hinanden.

0:02:40.940,0:02:47.960
Vi kan også sige, at x over 6 er lig med.

0:02:47.960,0:02:50.260
Hvilke andre sider kender vi?

0:02:50.260,0:02:53.410
Vi kender den her side.

0:02:53.410,0:02:55.240
.

0:02:55.240,0:02:57.310
Den er 4.

0:02:57.310,0:02:59.570
4 er i samme trekant som det her x.

0:02:59.570,0:03:03.070
Da x er i tælleren på venstre side,

0:03:03.070,0:03:04.900
sætter vi 4 i tælleren

0:03:04.900,0:03:06.590
på højre side.

0:03:06.590,0:03:09.250
4 over hvad?

0:03:09.250,0:03:10.880
Hvilken side svarer til 4?

0:03:10.880,0:03:14.290
Hvad er modsat den her vinkel?

0:03:14.290,0:03:15.000
Det er den her vinkel.

0:03:15.000,0:03:17.720
.

0:03:17.720,0:03:19.050
.

0:03:19.050,0:03:24.690
Den ensliggende side er 5.

0:03:24.690,0:03:26.310
Nu kan vi løse ligningen.

0:03:26.310,0:03:29.010
Vi ganger begge sider med 6.

0:03:29.010,0:03:31.310
24 over 5.

0:03:31.310,0:03:35.745
x er lig med 24 over 5.

0:03:35.745,0:03:38.760
.

0:03:38.760,0:03:40.040
Det er ikke så dårligt.

0:03:40.040,0:03:41.650
Vi kan fortsætte.

0:03:41.650,0:03:44.170
Vi kan nu finde

0:03:44.170,0:03:45.770
den lilla side her.

0:03:45.770,0:03:48.340
Lad os kalde den y.

0:03:48.340,0:03:50.000
.

0:03:50.000,0:03:53.250
y svarer til den her vinkel.

0:03:53.250,0:03:55.550
y svarer altså til den her side på 8.

0:03:55.550,0:03:57.060
.

0:03:57.060,0:04:03.120
Vi kan regne det ud på flere måder.

0:04:03.120,0:04:03.680
.

0:04:03.680,0:04:07.090
Lad os sige 4 over 5.

0:04:07.090,0:04:09.870
Alt andet kan nemt blive

0:04:09.870,0:04:10.520
forvirrende.

0:04:10.520,0:04:11.980
.

0:04:11.980,0:04:15.380
4 over 5.

0:04:15.380,0:04:17.000
Vi ganger begge sider med 8.

0:04:17.000,0:04:24.770
y er lig med 8 gange 4.

0:04:24.770,0:04:27.160
Det er 32 over 5.

0:04:27.160,0:04:31.980
.

0:04:31.980,0:04:33.825
Det her eksempel viser,

0:04:33.825,0:04:37.170
at vi ikke kun kan tage det på øjemål.

0:04:37.170,0:04:39.860
Nogle gange kan man,

0:04:39.860,0:04:42.710
men det er ikke altid tydeligt, hvilke sider der er ensliggende.

0:04:42.710,0:04:45.612
Måske ville man sige,

0:04:45.612,0:04:48.270
at de her sider er ensliggende.

0:04:48.270,0:04:49.500
.

0:04:49.500,0:04:53.150
Vi skal virkelig holde øje med,

0:04:53.150,0:04:55.000
hvilke sider der passer til hvilke vinkler.

0:04:55.000,0:04:58.180
Enhver side til en bestemt vinkel

0:04:58.180,0:05:02.610
har en ensliggende vinkel i den anden trekant,

0:05:02.610,0:05:04.300
og siden modsat den vinkel er den ensliggende side.

0:05:04.300,0:05:07.800
Det er mange tekniske ord,

0:05:07.800,0:05:09.670
men forhåbentlig giver det mening.

0:05:09.670,0:05:12.230
Lad os lave en opgave mere.

0:05:12.230,0:05:16.970
Lad os bevise,

0:05:16.970,0:05:18.160
at 2 trekanter er ligedannede.

0:05:18.160,0:05:20.710
.

0:05:20.710,0:05:21.800
.

0:05:21.800,0:05:25.830
Lad os tegne 2 parallelle linjer igen.

0:05:25.830,0:05:28.520
.

0:05:28.520,0:05:31.480
Lad os tegne dem.

0:05:31.480,0:05:34.450
Der var en.

0:05:34.450,0:05:35.300
Sådan.

0:05:35.300,0:05:39.140
.

0:05:39.140,0:05:41.240
De her er parallelle.

0:05:41.240,0:05:45.110
Lad os skrive det.

0:05:45.110,0:05:46.220
Parallelle.

0:05:46.220,0:05:49.990
Vi skal bevise,

0:05:49.990,0:05:58.300
at den her trekant er ligedannet med den større trekant.

0:05:58.300,0:06:00.310
Det er den her.

0:06:00.310,0:06:01.190
Det er interessant.

0:06:01.190,0:06:02.490
De overlapper hinanden.

0:06:02.490,0:06:02.830
.

0:06:02.830,0:06:08.070
Ved vi,

0:06:08.070,0:06:10.970
om der er nogen af de her vinkler,

0:06:10.970,0:06:12.420
der er lig med hinanden?

0:06:12.420,0:06:13.010
Ja, det gør vi.

0:06:13.010,0:06:13.880
Der er den her vinkel.

0:06:13.880,0:06:16.730
De har den tilfælles.

0:06:16.730,0:06:17.230
.

0:06:17.230,0:06:20.250
De 2 trekanter overlapper nemlig i det punkt.

0:06:20.250,0:06:22.000
Hvad ved vi ellers?

0:06:22.000,0:06:23.950
.

0:06:23.950,0:06:25.530
.

0:06:25.530,0:06:26.930
.

0:06:26.930,0:06:31.550
Der er den her vinkel.

0:06:31.550,0:06:33.470
Hvilke andre vinkler er lig med den her vinkel?

0:06:33.470,0:06:37.320
Vi kan bruge vores viden

0:06:37.320,0:06:42.350
om transversaler og parallelle linjer.

0:06:42.350,0:06:44.860
Hvilken vinkel svarer den her vinkel til?

0:06:44.860,0:06:46.620
Den svarer til den her vinkel.

0:06:46.620,0:06:48.320
De er ens.

0:06:48.320,0:06:49.750
Det ved vi fra de parallelle linjer.

0:06:49.750,0:06:50.090
.

0:06:50.090,0:06:52.000
De er lig med hinanden.

0:06:52.000,0:06:57.150
.

0:06:57.150,0:06:59.550
Vi kan tegne en tredobbelt vinkel her.

0:06:59.550,0:07:00.110
.

0:07:00.110,0:07:02.610
Den ensliggende vinkel er her.

0:07:02.610,0:07:05.250
.

0:07:05.250,0:07:05.830
Vi ved,

0:07:05.830,0:07:10.450
at alle 3 vinkler er ens.

0:07:10.450,0:07:11.760
Det er altså en ligedannet trekant.

0:07:11.760,0:07:16.540
.

0:07:16.540,0:07:18.780
Lad os prøve med et

0:07:18.780,0:07:19.920
trickspørgsmål.

0:07:19.920,0:07:24.430
Herfra og hertil er der 5.

0:07:24.430,0:07:29.530
Herfra og hertil er der 7.

0:07:29.530,0:07:41.250
.

0:07:41.250,0:07:46.825
Herfra og hertil

0:07:46.825,0:07:49.820
er der 12.

0:07:49.820,0:08:01.430
Herfra og hertil er der 6.

0:08:01.430,0:08:04.920
Vi skal finde den her.

0:08:04.920,0:08:06.080
Hvordan gør vi det?

0:08:06.080,0:08:08.720
Vi har gjort det forvirrende

0:08:08.720,0:08:10.050
ved at tegne alle de her snoede linjer.

0:08:10.050,0:08:11.460
Vi ved allerede,

0:08:11.460,0:08:12.460
at de her 2 trekanter er ligedannede.

0:08:12.460,0:08:14.910
Vi kan bruge den viden til at finde forholdene.

0:08:14.910,0:08:20.110
Vi kalder den her for x.

0:08:20.110,0:08:21.700
.

0:08:21.700,0:08:23.320
Hvad ved vi?

0:08:23.320,0:08:31.350
Hvilken side i den lille trekant

0:08:31.350,0:08:33.250
svarer hele den her side til?

0:08:33.250,0:08:34.580
Den svarer til den her side.

0:08:34.580,0:08:34.820
.

0:08:34.820,0:08:37.085
Her.

0:08:37.085,0:08:39.220
.

0:08:39.220,0:08:42.780
De er begge orange og er ensliggende.

0:08:42.780,0:08:44.030
.

0:08:44.030,0:08:47.190
Den orange her

0:08:47.190,0:08:49.900
svarer til hele den her linje.

0:08:49.900,0:08:52.770
I den store trekant

0:08:52.770,0:08:54.210
er den her side ikke bare x.

0:08:54.210,0:08:54.490
.

0:08:54.490,0:08:55.875
Det er nemlig ikke hele siden i den her trekant.

0:08:55.875,0:08:56.933
Det er x plus 5.

0:08:56.933,0:09:00.850
.

0:09:00.850,0:09:02.060
Det er hele den her side.

0:09:02.060,0:09:02.450
.

0:09:02.450,0:09:06.116
.

0:09:06.116,0:09:11.340
x plus 5 over den ensliggende side i den lille trekant.

0:09:11.340,0:09:12.660
Den ensliggende side

0:09:12.660,0:09:14.630
i den mindre trekant er den her.

0:09:14.630,0:09:16.610
Det er over 5.

0:09:16.610,0:09:17.870
.

0:09:17.870,0:09:22.180
Vi kan sige,

0:09:22.180,0:09:25.740
at den er lig med 12,

0:09:25.740,0:09:27.332
fordi den her er ensliggende med vinklen i den store trekant.

0:09:27.332,0:09:30.540
Den er lig med 12 over hvad?

0:09:30.540,0:09:33.980
Over 6. Det er nemlig den lille trekant.

0:09:33.980,0:09:34.930
Nu kan vi løse det.

0:09:34.930,0:09:35.900
Det her bliver 2.

0:09:35.900,0:09:36.860
.

0:09:36.860,0:09:40.936
x plus 5 er lig med 10.

0:09:40.936,0:09:43.530
x er lig med 5.

0:09:43.530,0:09:46.300
Sådan.

0:09:46.300,0:09:48.560
Vi er færdige.

0:09:48.560,0:09:51.540
Forhåbentlig gav det

0:09:51.540,0:09:52.580
noget viden om

0:09:52.580,0:09:54.720
ligedannede trekanter.