WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.380
很抱歉上來先咳了一聲

00:00:03.390 --> 00:00:06.349
我想我的感冒還沒完全好

00:00:06.359 --> 00:00:10.558
但是現在我想接著上次的等腰直角三角形講

00:00:10.558 --> 00:00:19.135
上節課中 我們學習了等腰三角形的一條直角邊

00:00:19.135 --> 00:00:25.602
等於 2 的第二次方除 2 乘斜邊

00:00:25.602 --> 00:00:26.850
讓我們再解決多幾個問題

00:00:26.850 --> 00:00:31.370
假設三角形的斜邊

00:00:31.370 --> 00:00:35.760
請記住這在個等腰直角三角形才行

00:00:35.760 --> 00:00:37.530
如果這個角是45度

00:00:37.530 --> 00:00:39.160
那麽 另外一個也是45度

00:00:39.160 --> 00:00:41.996
如果我跟你說這條斜邊長度是

00:00:41.996 --> 00:00:44.832
我說10

00:00:44.832 --> 00:00:47.670
我們知道它是斜邊因爲它是直角的對邊

00:00:47.670 --> 00:00:51.540
那麽這條邊 假設爲x 是多長呢

00:00:51.590 --> 00:00:55.610
x等於斜邊的(√2)/2倍

00:00:55.660 --> 00:01:00.640
於是 x=[(√2)/2]<i>10</i>

00:01:00.640 --> 00:01:08.380
或者也可以寫成x=5√2 對吧

00:01:08.410 --> 00:01:12.240
10除以2 所以x=5√2

00:01:12.280 --> 00:01:14.170
這一邊和這一邊是相等的

00:01:14.200 --> 00:01:17.900
對吧 這是個等腰三角形

00:01:17.900 --> 00:01:19.970
因爲這兩個角是相等的

00:01:20.010 --> 00:01:23.670
由此得知這一邊也是5√2

00:01:23.700 --> 00:01:25.920
如果你不確定

00:01:25.970 --> 00:01:27.650
讓我們用勾股定理驗證一下

00:01:27.700 --> 00:01:29.060
由勾股定理得出

00:01:29.060 --> 00:01:36.170
5√2的平方加上5√2的平方

00:01:36.170 --> 00:01:37.700
等於斜邊的平方

00:01:37.730 --> 00:01:40.330
這裡斜邊是10 等於100

00:01:40.380 --> 00:01:44.120
這個等於25乘以2 等於50

00:01:44.200 --> 00:01:49.460
再加上25乘以2 是50 這裡加起來是100

00:01:49.490 --> 00:01:50.760
等於100

00:01:50.800 --> 00:01:53.850
很顯然 這是正確的

00:01:53.850 --> 00:01:54.890
所以這是對的

00:01:54.940 --> 00:01:56.610
我們用勾股定理證明了它

00:01:56.610 --> 00:01:58.810
這是我們在一開始得出的這個等式

00:01:58.810 --> 00:02:00.990
如果你忘了這是怎麽證明的

00:02:00.990 --> 00:02:02.620
你可以去看上一個影片

00:02:02.660 --> 00:02:06.770
我現在將要介紹另外一種三角形

00:02:06.820 --> 00:02:11.780
同樣的 我將提出幾個問題

00:02:11.810 --> 00:02:15.400
然後用勾股定理解答出來

00:02:15.460 --> 00:02:20.560
這是另外一種三角形 叫做30-60-90三角形

00:02:20.560 --> 00:02:27.430
如果我沒有足夠時間講完

00:02:27.470 --> 00:02:29.270
我會在另外一節課中介紹

00:02:29.270 --> 00:02:34.480
比方說 有一個直角三角形

00:02:34.480 --> 00:02:42.170
這個不是很漂亮 但我們湊合用一下吧

00:02:42.220 --> 00:02:46.230
這是一個直角三角形

00:02:46.230 --> 00:02:47.700
如果已知這個角是30度

00:02:47.730 --> 00:02:51.660
我們知道一個三角形所有角度數相加爲180度

00:02:51.660 --> 00:02:53.950
所以這個是30度 這個是90度

00:02:54.000 --> 00:02:55.600
假設這個是x度

00:03:02.080 --> 00:03:03.700
因爲三角形所有角相加度數等於180

00:03:03.700 --> 00:03:08.270
可以得出x=60 對吧

00:03:08.270 --> 00:03:10.010
所以這個角爲60度

00:03:10.060 --> 00:03:13.310
這就是爲什麽它被叫做30-60-90三角形

00:03:13.340 --> 00:03:16.750
因爲這反映了三角形三個角的大小

00:03:16.790 --> 00:03:21.660
如果已知這條斜邊

00:03:21.660 --> 00:03:23.840
這個三角形的斜邊

00:03:23.890 --> 00:03:26.030
現在我們不再稱它爲c

00:03:26.030 --> 00:03:28.550
我們稱它爲h 我們想算出其他的邊

00:03:28.630 --> 00:03:30.000
怎麽算呢

00:03:30.080 --> 00:03:33.730
我們可以主要利用勾股定理來做到

00:03:33.730 --> 00:03:35.620
這裡我將利用一個小竅門

00:03:35.680 --> 00:03:39.430
畫一個跟這個一模一樣的三角形

00:03:39.430 --> 00:03:44.080
但把它翻轉到另一邊

00:03:44.080 --> 00:03:48.870
這是一個一樣的三角形 只不過面朝另一個方向

00:03:48.920 --> 00:03:50.170
這個角是90度

00:03:50.220 --> 00:03:53.470
然後我們知道這兩個角互爲補角

00:03:53.470 --> 00:03:55.450
如果你忘記了鄰補角的定義

00:03:55.450 --> 00:03:57.560
你可以參考以前

00:03:57.590 --> 00:04:00.290
關於"角"的教學影片

00:04:00.320 --> 00:04:02.000
這個角是90度 這個角也是90度

00:04:02.070 --> 00:04:03.340
你也可以看出來 這是正確的

00:04:03.380 --> 00:04:06.780
這兩個三角形是一樣的

00:04:06.830 --> 00:04:08.520
因爲我們把左邊的三角形翻轉到右邊

00:04:08.560 --> 00:04:11.650
我們還知道這個角度數爲30度

00:04:11.690 --> 00:04:17.210
同時 這個角是60度 對吧

00:04:17.210 --> 00:04:21.100
如果這個角是30度 這個角也是30度

00:04:21.100 --> 00:04:26.820
於是 這個大角從這裡到這裡

00:04:26.890 --> 00:04:29.650
是60度

00:04:29.650 --> 00:04:33.880
如果這個角是60度

00:04:33.930 --> 00:04:37.500
這個上面的角是60度

00:04:37.500 --> 00:04:42.330
那麽由我們在等腰直角三角形影片

00:04:42.330 --> 00:04:44.480
中的定理得知

00:04:44.510 --> 00:04:47.340
如果這兩個角相等

00:04:47.340 --> 00:04:52.260
這兩個角的非公共的兩條邊相等

00:04:52.290 --> 00:04:53.570
哪兩條不是它們的公共邊呢

00:04:53.570 --> 00:04:55.760
是這條 和這一條

00:04:55.800 --> 00:04:59.340
假設這條邊長度爲h 那麽這條邊長度也爲h

00:04:59.340 --> 00:05:03.290
這個角也是60度

00:05:03.290 --> 00:05:06.980
如果我們注意到這個60度角 和這個60度角

00:05:06.980 --> 00:05:11.300
同理 它們的非公共邊也相等

00:05:11.300 --> 00:05:12.300
它們公共邊是這個邊

00:05:12.400 --> 00:05:15.460
於是它們的非公共邊是這一邊和這一邊

00:05:15.500 --> 00:05:18.360
所以這一邊長度爲h 這一邊也是h

00:05:18.390 --> 00:05:20.080
對吧

00:05:20.080 --> 00:05:24.280
所以 事實證明 如果三角形有三個60度角

00:05:24.280 --> 00:05:26.690
它的三條邊都等長

00:05:26.720 --> 00:05:28.030
換句話說 它是一個等邊三角形

00:05:28.060 --> 00:05:29.790
請記住這一點

00:05:29.880 --> 00:05:30.950
這也是很有道理的

00:05:31.000 --> 00:05:33.020
無論你如何看它

00:05:33.020 --> 00:05:34.250
等邊三角形都是對稱的

00:05:34.300 --> 00:05:36.100
所以 等邊三角形的所有角相等

00:05:36.150 --> 00:05:38.580
所有邊的長度也相等

00:05:38.630 --> 00:05:42.690
最開始問題中

00:05:42.740 --> 00:05:44.250
我們只有左邊這一半的三角形

00:05:44.250 --> 00:05:48.180
整個這一條邊長度爲h

00:05:48.180 --> 00:05:52.820
如果這整條邊長度爲h

00:05:52.820 --> 00:05:56.520
那麽這裡的這條邊 原來的三角形的一邊

00:05:56.520 --> 00:05:57.920
爲了更清楚地說明

00:05:57.920 --> 00:06:00.110
我們換另外一種顏色來表示

00:06:00.160 --> 00:06:02.660
這是這條邊的一半 對吧

00:06:02.660 --> 00:06:08.870
這是h/2 這也是h/2

00:06:08.930 --> 00:06:14.770
讓我們回來再看原來的這個三角形

00:06:14.770 --> 00:06:16.400
這是個30度角

00:06:16.450 --> 00:06:18.210
這是斜邊

00:06:18.210 --> 00:06:20.040
因爲它是直角的對邊

00:06:20.130 --> 00:06:23.370
我們知道30度角的對邊是

00:06:23.410 --> 00:06:25.730
斜邊長度的1/2

00:06:25.730 --> 00:06:28.440
再讓我們重述一下

00:06:28.490 --> 00:06:31.360
我們複製了左邊的三角形 得到一個等邊三角形

00:06:31.400 --> 00:06:34.290
得出這整條邊和斜邊長度一樣

00:06:34.290 --> 00:06:36.460
這是整條邊的一半

00:06:36.510 --> 00:06:38.340
所以 它是斜邊的1/2

00:06:38.340 --> 00:06:39.470
讓我們記住

00:06:39.470 --> 00:06:42.520
30度角的對邊是斜邊長度的1/2

00:06:42.520 --> 00:06:46.480
讓我重新畫一下

00:06:46.480 --> 00:06:47.570
因爲之前的那幅圖看起來有點亂

00:06:47.620 --> 00:06:50.360
回到最開始的地方

00:06:50.360 --> 00:06:55.710
這是一個直角

00:06:55.750 --> 00:06:59.260
這是斜邊

00:06:59.310 --> 00:07:01.310
如果這個角是30度

00:07:01.340 --> 00:07:06.020
剛才我們推導出

00:07:06.060 --> 00:07:08.050
30度角的對邊

00:07:08.110 --> 00:07:09.630
這個角的對邊

00:07:09.680 --> 00:07:12.440
等於斜邊的1/2

00:07:12.490 --> 00:07:17.220
如果這條邊等於斜邊的1/2

00:07:17.220 --> 00:07:18.750
那麽這條邊等於多少呢

00:07:18.820 --> 00:07:21.990
這裡 我們可以再次用到勾股定理

00:07:21.990 --> 00:07:25.640
我們知道這條邊的平方加上這條邊的平方

00:07:25.670 --> 00:07:30.560
假設這條邊爲A 等於h的平方

00:07:30.590 --> 00:07:36.120
於是我們得到

00:07:42.620 --> 00:07:50.360
這個等於 (h^2)/4+A^2 等於h^2

00:07:50.360 --> 00:07:53.840
兩邊都減去h^2

00:07:53.890 --> 00:08:00.110
得到A^2=h^2-(h^2)/4

00:08:14.480 --> 00:08:15.860
等於A的平方

00:08:15.890 --> 00:08:18.520
沒地方寫了

00:08:18.520 --> 00:08:21.390
我們在這裡接著寫

00:08:21.390 --> 00:08:23.590
兩邊同時取平方根

00:08:23.620 --> 00:08:30.790
我們得到 A等於√(3/4)的

00:08:30.790 --> 00:08:35.040
也就是√3/2

00:08:35.040 --> 00:08:39.670
h平方的平方根是h

00:08:39.670 --> 00:08:42.640
這個A 請注意這不是面積

00:08:42.640 --> 00:08:44.250
這是這條邊的長度

00:08:44.250 --> 00:08:45.420
早知道我不應該用A來表示的

00:08:45.490 --> 00:08:51.730
A=√3/2<i>h</i>

00:08:51.760 --> 00:08:55.480
我們推導出了30-60-90三角形

00:08:55.510 --> 00:08:59.480
所有邊和斜邊的關係

00:08:59.480 --> 00:09:00.990
這是60度角

00:09:01.070 --> 00:09:02.830
如果已知斜邊

00:09:02.900 --> 00:09:05.680
並且這是一個30-60-90三角形

00:09:05.740 --> 00:09:08.660
那麽30度角的對邊

00:09:08.660 --> 00:09:09.910
是斜邊的1/2

00:09:09.910 --> 00:09:14.230
同時 60度角的對邊

00:09:14.230 --> 00:09:18.060
是斜邊的√3/2倍

00:09:18.060 --> 00:09:19.620
下節課

00:09:19.620 --> 00:09:22.440
我將告訴你如何應用這些性質

00:09:22.460 --> 00:09:23.930
你可能暫時記不住

00:09:23.980 --> 00:09:25.900
但你最好記住並且練習它

00:09:25.960 --> 00:09:28.710
因爲它會讓你在考試中做題速度變快

00:09:28.710 --> 00:09:31.540
這樣就可以用這條性質

00:09:31.560 --> 00:09:35.660
來快速解答相關題目

00:09:35.700 --> 00:09:37.480
下節課再見