1
00:00:00,000 --> 00:00:03,380
很抱歉上來先咳了一聲
2
00:00:03,390 --> 00:00:06,349
我想我的感冒還沒完全好
3
00:00:06,359 --> 00:00:10,558
但是現在我想接著上次的等腰直角三角形講
4
00:00:10,558 --> 00:00:19,135
上節課中 我們學習了等腰三角形的一條直角邊
5
00:00:19,135 --> 00:00:25,602
等於 2 的第二次方除 2 乘斜邊
6
00:00:25,602 --> 00:00:26,850
讓我們再解決多幾個問題
7
00:00:26,850 --> 00:00:31,370
假設三角形的斜邊
8
00:00:31,370 --> 00:00:35,760
請記住這在個等腰直角三角形才行
9
00:00:35,760 --> 00:00:37,530
如果這個角是45度
10
00:00:37,530 --> 00:00:39,160
那麽 另外一個也是45度
11
00:00:39,160 --> 00:00:41,996
如果我跟你說這條斜邊長度是
12
00:00:41,996 --> 00:00:44,832
我說10
13
00:00:44,832 --> 00:00:47,670
我們知道它是斜邊因爲它是直角的對邊
14
00:00:47,670 --> 00:00:51,540
那麽這條邊 假設爲x 是多長呢
15
00:00:51,590 --> 00:00:55,610
x等於斜邊的(√2)/2倍
16
00:00:55,660 --> 00:01:00,640
於是 x=[(√2)/2]10
17
00:01:00,640 --> 00:01:08,380
或者也可以寫成x=5√2 對吧
18
00:01:08,410 --> 00:01:12,240
10除以2 所以x=5√2
19
00:01:12,280 --> 00:01:14,170
這一邊和這一邊是相等的
20
00:01:14,200 --> 00:01:17,900
對吧 這是個等腰三角形
21
00:01:17,900 --> 00:01:19,970
因爲這兩個角是相等的
22
00:01:20,010 --> 00:01:23,670
由此得知這一邊也是5√2
23
00:01:23,700 --> 00:01:25,920
如果你不確定
24
00:01:25,970 --> 00:01:27,650
讓我們用勾股定理驗證一下
25
00:01:27,700 --> 00:01:29,060
由勾股定理得出
26
00:01:29,060 --> 00:01:36,170
5√2的平方加上5√2的平方
27
00:01:36,170 --> 00:01:37,700
等於斜邊的平方
28
00:01:37,730 --> 00:01:40,330
這裡斜邊是10 等於100
29
00:01:40,380 --> 00:01:44,120
這個等於25乘以2 等於50
30
00:01:44,200 --> 00:01:49,460
再加上25乘以2 是50 這裡加起來是100
31
00:01:49,490 --> 00:01:50,760
等於100
32
00:01:50,800 --> 00:01:53,850
很顯然 這是正確的
33
00:01:53,850 --> 00:01:54,890
所以這是對的
34
00:01:54,940 --> 00:01:56,610
我們用勾股定理證明了它
35
00:01:56,610 --> 00:01:58,810
這是我們在一開始得出的這個等式
36
00:01:58,810 --> 00:02:00,990
如果你忘了這是怎麽證明的
37
00:02:00,990 --> 00:02:02,620
你可以去看上一個影片
38
00:02:02,660 --> 00:02:06,770
我現在將要介紹另外一種三角形
39
00:02:06,820 --> 00:02:11,780
同樣的 我將提出幾個問題
40
00:02:11,810 --> 00:02:15,400
然後用勾股定理解答出來
41
00:02:15,460 --> 00:02:20,560
這是另外一種三角形 叫做30-60-90三角形
42
00:02:20,560 --> 00:02:27,430
如果我沒有足夠時間講完
43
00:02:27,470 --> 00:02:29,270
我會在另外一節課中介紹
44
00:02:29,270 --> 00:02:34,480
比方說 有一個直角三角形
45
00:02:34,480 --> 00:02:42,170
這個不是很漂亮 但我們湊合用一下吧
46
00:02:42,220 --> 00:02:46,230
這是一個直角三角形
47
00:02:46,230 --> 00:02:47,700
如果已知這個角是30度
48
00:02:47,730 --> 00:02:51,660
我們知道一個三角形所有角度數相加爲180度
49
00:02:51,660 --> 00:02:53,950
所以這個是30度 這個是90度
50
00:02:54,000 --> 00:02:55,600
假設這個是x度
51
00:03:02,080 --> 00:03:03,700
因爲三角形所有角相加度數等於180
52
00:03:03,700 --> 00:03:08,270
可以得出x=60 對吧
53
00:03:08,270 --> 00:03:10,010
所以這個角爲60度
54
00:03:10,060 --> 00:03:13,310
這就是爲什麽它被叫做30-60-90三角形
55
00:03:13,340 --> 00:03:16,750
因爲這反映了三角形三個角的大小
56
00:03:16,790 --> 00:03:21,660
如果已知這條斜邊
57
00:03:21,660 --> 00:03:23,840
這個三角形的斜邊
58
00:03:23,890 --> 00:03:26,030
現在我們不再稱它爲c
59
00:03:26,030 --> 00:03:28,550
我們稱它爲h 我們想算出其他的邊
60
00:03:28,630 --> 00:03:30,000
怎麽算呢
61
00:03:30,080 --> 00:03:33,730
我們可以主要利用勾股定理來做到
62
00:03:33,730 --> 00:03:35,620
這裡我將利用一個小竅門
63
00:03:35,680 --> 00:03:39,430
畫一個跟這個一模一樣的三角形
64
00:03:39,430 --> 00:03:44,080
但把它翻轉到另一邊
65
00:03:44,080 --> 00:03:48,870
這是一個一樣的三角形 只不過面朝另一個方向
66
00:03:48,920 --> 00:03:50,170
這個角是90度
67
00:03:50,220 --> 00:03:53,470
然後我們知道這兩個角互爲補角
68
00:03:53,470 --> 00:03:55,450
如果你忘記了鄰補角的定義
69
00:03:55,450 --> 00:03:57,560
你可以參考以前
70
00:03:57,590 --> 00:04:00,290
關於"角"的教學影片
71
00:04:00,320 --> 00:04:02,000
這個角是90度 這個角也是90度
72
00:04:02,070 --> 00:04:03,340
你也可以看出來 這是正確的
73
00:04:03,380 --> 00:04:06,780
這兩個三角形是一樣的
74
00:04:06,830 --> 00:04:08,520
因爲我們把左邊的三角形翻轉到右邊
75
00:04:08,560 --> 00:04:11,650
我們還知道這個角度數爲30度
76
00:04:11,690 --> 00:04:17,210
同時 這個角是60度 對吧
77
00:04:17,210 --> 00:04:21,100
如果這個角是30度 這個角也是30度
78
00:04:21,100 --> 00:04:26,820
於是 這個大角從這裡到這裡
79
00:04:26,890 --> 00:04:29,650
是60度
80
00:04:29,650 --> 00:04:33,880
如果這個角是60度
81
00:04:33,930 --> 00:04:37,500
這個上面的角是60度
82
00:04:37,500 --> 00:04:42,330
那麽由我們在等腰直角三角形影片
83
00:04:42,330 --> 00:04:44,480
中的定理得知
84
00:04:44,510 --> 00:04:47,340
如果這兩個角相等
85
00:04:47,340 --> 00:04:52,260
這兩個角的非公共的兩條邊相等
86
00:04:52,290 --> 00:04:53,570
哪兩條不是它們的公共邊呢
87
00:04:53,570 --> 00:04:55,760
是這條 和這一條
88
00:04:55,800 --> 00:04:59,340
假設這條邊長度爲h 那麽這條邊長度也爲h
89
00:04:59,340 --> 00:05:03,290
這個角也是60度
90
00:05:03,290 --> 00:05:06,980
如果我們注意到這個60度角 和這個60度角
91
00:05:06,980 --> 00:05:11,300
同理 它們的非公共邊也相等
92
00:05:11,300 --> 00:05:12,300
它們公共邊是這個邊
93
00:05:12,400 --> 00:05:15,460
於是它們的非公共邊是這一邊和這一邊
94
00:05:15,500 --> 00:05:18,360
所以這一邊長度爲h 這一邊也是h
95
00:05:18,390 --> 00:05:20,080
對吧
96
00:05:20,080 --> 00:05:24,280
所以 事實證明 如果三角形有三個60度角
97
00:05:24,280 --> 00:05:26,690
它的三條邊都等長
98
00:05:26,720 --> 00:05:28,030
換句話說 它是一個等邊三角形
99
00:05:28,060 --> 00:05:29,790
請記住這一點
100
00:05:29,880 --> 00:05:30,950
這也是很有道理的
101
00:05:31,000 --> 00:05:33,020
無論你如何看它
102
00:05:33,020 --> 00:05:34,250
等邊三角形都是對稱的
103
00:05:34,300 --> 00:05:36,100
所以 等邊三角形的所有角相等
104
00:05:36,150 --> 00:05:38,580
所有邊的長度也相等
105
00:05:38,630 --> 00:05:42,690
最開始問題中
106
00:05:42,740 --> 00:05:44,250
我們只有左邊這一半的三角形
107
00:05:44,250 --> 00:05:48,180
整個這一條邊長度爲h
108
00:05:48,180 --> 00:05:52,820
如果這整條邊長度爲h
109
00:05:52,820 --> 00:05:56,520
那麽這裡的這條邊 原來的三角形的一邊
110
00:05:56,520 --> 00:05:57,920
爲了更清楚地說明
111
00:05:57,920 --> 00:06:00,110
我們換另外一種顏色來表示
112
00:06:00,160 --> 00:06:02,660
這是這條邊的一半 對吧
113
00:06:02,660 --> 00:06:08,870
這是h/2 這也是h/2
114
00:06:08,930 --> 00:06:14,770
讓我們回來再看原來的這個三角形
115
00:06:14,770 --> 00:06:16,400
這是個30度角
116
00:06:16,450 --> 00:06:18,210
這是斜邊
117
00:06:18,210 --> 00:06:20,040
因爲它是直角的對邊
118
00:06:20,130 --> 00:06:23,370
我們知道30度角的對邊是
119
00:06:23,410 --> 00:06:25,730
斜邊長度的1/2
120
00:06:25,730 --> 00:06:28,440
再讓我們重述一下
121
00:06:28,490 --> 00:06:31,360
我們複製了左邊的三角形 得到一個等邊三角形
122
00:06:31,400 --> 00:06:34,290
得出這整條邊和斜邊長度一樣
123
00:06:34,290 --> 00:06:36,460
這是整條邊的一半
124
00:06:36,510 --> 00:06:38,340
所以 它是斜邊的1/2
125
00:06:38,340 --> 00:06:39,470
讓我們記住
126
00:06:39,470 --> 00:06:42,520
30度角的對邊是斜邊長度的1/2
127
00:06:42,520 --> 00:06:46,480
讓我重新畫一下
128
00:06:46,480 --> 00:06:47,570
因爲之前的那幅圖看起來有點亂
129
00:06:47,620 --> 00:06:50,360
回到最開始的地方
130
00:06:50,360 --> 00:06:55,710
這是一個直角
131
00:06:55,750 --> 00:06:59,260
這是斜邊
132
00:06:59,310 --> 00:07:01,310
如果這個角是30度
133
00:07:01,340 --> 00:07:06,020
剛才我們推導出
134
00:07:06,060 --> 00:07:08,050
30度角的對邊
135
00:07:08,110 --> 00:07:09,630
這個角的對邊
136
00:07:09,680 --> 00:07:12,440
等於斜邊的1/2
137
00:07:12,490 --> 00:07:17,220
如果這條邊等於斜邊的1/2
138
00:07:17,220 --> 00:07:18,750
那麽這條邊等於多少呢
139
00:07:18,820 --> 00:07:21,990
這裡 我們可以再次用到勾股定理
140
00:07:21,990 --> 00:07:25,640
我們知道這條邊的平方加上這條邊的平方
141
00:07:25,670 --> 00:07:30,560
假設這條邊爲A 等於h的平方
142
00:07:30,590 --> 00:07:36,120
於是我們得到
143
00:07:42,620 --> 00:07:50,360
這個等於 (h^2)/4+A^2 等於h^2
144
00:07:50,360 --> 00:07:53,840
兩邊都減去h^2
145
00:07:53,890 --> 00:08:00,110
得到A^2=h^2-(h^2)/4
146
00:08:14,480 --> 00:08:15,860
等於A的平方
147
00:08:15,890 --> 00:08:18,520
沒地方寫了
148
00:08:18,520 --> 00:08:21,390
我們在這裡接著寫
149
00:08:21,390 --> 00:08:23,590
兩邊同時取平方根
150
00:08:23,620 --> 00:08:30,790
我們得到 A等於√(3/4)的
151
00:08:30,790 --> 00:08:35,040
也就是√3/2
152
00:08:35,040 --> 00:08:39,670
h平方的平方根是h
153
00:08:39,670 --> 00:08:42,640
這個A 請注意這不是面積
154
00:08:42,640 --> 00:08:44,250
這是這條邊的長度
155
00:08:44,250 --> 00:08:45,420
早知道我不應該用A來表示的
156
00:08:45,490 --> 00:08:51,730
A=√3/2h
157
00:08:51,760 --> 00:08:55,480
我們推導出了30-60-90三角形
158
00:08:55,510 --> 00:08:59,480
所有邊和斜邊的關係
159
00:08:59,480 --> 00:09:00,990
這是60度角
160
00:09:01,070 --> 00:09:02,830
如果已知斜邊
161
00:09:02,900 --> 00:09:05,680
並且這是一個30-60-90三角形
162
00:09:05,740 --> 00:09:08,660
那麽30度角的對邊
163
00:09:08,660 --> 00:09:09,910
是斜邊的1/2
164
00:09:09,910 --> 00:09:14,230
同時 60度角的對邊
165
00:09:14,230 --> 00:09:18,060
是斜邊的√3/2倍
166
00:09:18,060 --> 00:09:19,620
下節課
167
00:09:19,620 --> 00:09:22,440
我將告訴你如何應用這些性質
168
00:09:22,460 --> 00:09:23,930
你可能暫時記不住
169
00:09:23,980 --> 00:09:25,900
但你最好記住並且練習它
170
00:09:25,960 --> 00:09:28,710
因爲它會讓你在考試中做題速度變快
171
00:09:28,710 --> 00:09:31,540
這樣就可以用這條性質
172
00:09:31,560 --> 00:09:35,660
來快速解答相關題目
173
00:09:35,700 --> 00:09:37,480
下節課再見