1
00:00:01,260 --> 00:00:03,440
很抱歉以咳嗽来开始啊，

2
00:00:03,440 --> 00:00:06,000
我想我的感冒还没完全好

3
00:00:06,004 --> 00:00:10,550
现在 我接着上次的等腰直角三角形讲

4
00:00:10,550 --> 00:00:12,650
上节课中

5
00:00:12,650 --> 00:00:19,939
我们学习了等腰三角形的一条直角边等于

6
00:00:19,939 --> 00:00:25,550
斜边的2√2倍

7
00:00:25,550 --> 00:00:27,710
那么 接下来让我们来解决一些问题

8
00:00:27,710 --> 00:00:29,310
如果假设这个三角形的

9
00:00:29,310 --> 00:00:31,370
斜边 再一遍 注意

10
00:00:31,370 --> 00:00:35,890
这是45度角 请记住这是个等腰直角三角形

11
00:00:35,890 --> 00:00:37,750
那么如果我画的这个角是45度

12
00:00:37,750 --> 00:00:39,280
则另外一个角也是45度

13
00:00:39,280 --> 00:00:43,410
如果已知这条斜边长度

14
00:00:43,410 --> 00:00:44,670
为10

15
00:00:44,670 --> 00:00:46,270
我们知道它为斜边

16
00:00:46,270 --> 00:00:47,970
因为它为直角的对边

17
00:00:47,970 --> 00:00:51,260
那么请问 假设值X为多长

18
00:00:51,260 --> 00:00:53,200
那么我们可以得知 x等于

19
00:00:53,200 --> 00:00:58,430
斜边的(√2)/2倍

20
00:00:58,430 --> 00:01:01,070
也就是 x=[(√2)/2]*10

21
00:01:01,070 --> 00:01:07,260
也可以写成x=5√2

22
00:01:07,260 --> 00:01:08,080
对吧

23
00:01:08,080 --> 00:01:09,480
10/2

24
00:01:09,480 --> 00:01:11,960
所以X=5√2

25
00:01:11,960 --> 00:01:15,100
并且我们知道这边和这一边是相等的

26
00:01:15,100 --> 00:01:15,860
对吧

27
00:01:15,860 --> 00:01:19,020
可以猜测我们之所以得知这是一个等腰三角型是由于

28
00:01:19,020 --> 00:01:20,460
这两条边长相等的缘故

29
00:01:20,460 --> 00:01:22,600
所以我们同样可以得知这条边是5√2

30
00:01:22,600 --> 00:01:24,710
如果你仍然不确定

31
00:01:24,710 --> 00:01:28,000
让我们用勾股定理来验证一下

32
00:01:28,000 --> 00:01:33,040
由勾股定理可得 5√2的平方

33
00:01:33,040 --> 00:01:37,230
加上5√2的平方等于100

34
00:01:37,230 --> 00:01:38,150
即斜边10

35
00:01:38,150 --> 00:01:41,110
的平方等于100 我们用勾股定理证明了它

36
00:01:41,110 --> 00:01:43,160
也就是 5的平方25 乘以√2的平方2

37
00:01:43,160 --> 00:01:48,730
即50

38
00:01:48,730 --> 00:01:50,460
那么很显然这里100

39
00:01:50,460 --> 00:01:51,160
等于100

40
00:01:51,160 --> 00:01:52,970
而且不难发现显然这是正确的

41
00:01:52,970 --> 00:01:54,170
所以这个方法没错

42
00:01:54,170 --> 00:01:56,920
我们通过勾股定理得出了这个等式 这是另一种三角形即直角三角形

43
00:01:56,920 --> 00:01:59,090
也就是我们在一开始提出的

44
00:01:59,090 --> 00:02:00,100
等式

45
00:02:00,100 --> 00:02:02,410
也许你忘了我们是如何得出的这个等式

46
00:02:02,410 --> 00:02:04,330
你可以回过头查看上一期的视频

47
00:02:04,330 --> 00:02:06,260
我现在将要介绍另外一种三角形

48
00:02:06,260 --> 00:02:07,340
另外一种三角形

49
00:02:07,500 --> 00:02:09,671
同样的 我将提出几个问题

50
00:02:10,311 --> 00:02:14,262
请你们思考 并且运用勾股定理

51
00:02:14,262 --> 00:02:15,584
将它解答出来

52
00:02:17,224 --> 00:02:20,776
这是另一种直角三角形

53
00:02:22,656 --> 00:02:26,630
所以这个是30度 这个是90度 请你们思考 并用勾股定理解答出来

54
00:02:26,630 --> 00:02:28,640
另外 如果我没有足够时间讲完它

55
00:02:28,640 --> 00:02:30,440
我会在另外一节课中继续介绍

56
00:02:30,990 --> 00:02:32,890
好的 先看这里 这是一条直角边

57
00:02:38,390 --> 00:02:42,120
噢呵呵尽管画的并不怎么漂亮 还是凑活看一下 所以这个角为60度

58
00:02:42,590 --> 00:02:44,700
这是一个直角

59
00:02:44,700 --> 00:02:48,110
那么假设你知道这个角度等于30°

60
00:02:48,190 --> 00:02:50,120
并且我们知道 在一个三角形中

61
00:02:50,120 --> 00:02:51,410
三角之和等于180°

62
00:02:51,950 --> 00:02:55,510
所以 如果这个角度为30° 另一个为90° 并且我们可以设这个为X

63
00:02:56,220 --> 00:03:01,720
X+30°+90°=180°

64
00:03:01,720 --> 00:03:04,270
因为三角形中所有角度相加等于180°

65
00:03:04,320 --> 00:03:07,540
我们可以从而得之X=60°

66
00:03:07,540 --> 00:03:08,290
对吧

67
00:03:08,290 --> 00:03:09,900
所以 这个角度为60°

68
00:03:10,650 --> 00:03:13,796
这也就是前面我们将它称之为30-60-90的三角形的缘故

69
00:03:13,826 --> 00:03:16,972
它反映了这个三角形中三个角度

70
00:03:16,972 --> 00:03:21,140
另外假设这条斜边

71
00:03:21,580 --> 00:03:25,930
现在不称它为c 类似于我们往常的做法 我们可以称它为h

72
00:03:26,950 --> 00:03:29,930
如果我想得知另一条边 我们要怎么做

73
00:03:30,310 --> 00:03:32,370
那么 我们可以轻松地解答出来

74
00:03:32,370 --> 00:03:33,630
通过运用勾股定理

75
00:03:33,630 --> 00:03:35,330
另外这里我要用一个小技巧

76
00:03:36,140 --> 00:03:42,000
先画一个和这个三角形一模一样的三角形 不同的是

77
00:03:42,000 --> 00:03:45,400
把它翻转到另一个角度

78
00:03:45,400 --> 00:03:47,410
这是一个相同的三角形 让我们仅

79
00:03:47,410 --> 00:03:48,420
从另一个角度观察

80
00:03:48,420 --> 00:03:48,910
对吧

81
00:03:48,910 --> 00:03:52,190
如果这是90° 那么我们可以得到这两个角度

82
00:03:52,190 --> 00:03:53,460
互补

83
00:03:53,460 --> 00:03:57,540
或许你想要复习一下关于“角”的视频 如果你忘记了

84
00:03:57,540 --> 00:03:58,860
邻边的角度相加等于

85
00:03:58,860 --> 00:03:59,360
180°

86
00:03:59,360 --> 00:04:01,830
所以如果这个角是90° 那么另一个也为90°

87
00:04:01,830 --> 00:04:03,150
你可以仔细观察一下

88
00:04:03,150 --> 00:04:04,000
这很清晰

89
00:04:04,010 --> 00:04:06,620
而且当我们翻转它的时候 这个三角形实际上

90
00:04:06,620 --> 00:04:07,380
和它相等

91
00:04:07,380 --> 00:04:09,200
它仅仅是翻到了另一边

92
00:04:09,200 --> 00:04:12,410
我们同样可以得知这个角度为30°

93
00:04:12,410 --> 00:04:16,430
并且从而得知这个角度为60°

94
00:04:16,430 --> 00:04:18,220
对吧

95
00:04:18,220 --> 00:04:21,240
好的 那么如果这个角度和这个角度都为30°

96
00:04:21,240 --> 00:04:25,140
我们同样可以得知这个更大的角度

97
00:04:25,140 --> 00:04:29,920
从这边到到这边 为60°

98
00:04:29,920 --> 00:04:31,520
对吧

99
00:04:31,520 --> 00:04:35,030
那么如果这个角度为60° 这个顶角为60°

100
00:04:35,030 --> 00:04:38,540
并且这个右边的角度为60°

101
00:04:38,540 --> 00:04:43,013
可以从理论了解到

102
00:04:43,013 --> 00:04:46,996
当我们做出一个45-45-90的三角形时

103
00:04:46,996 --> 00:04:51,840
如果这两个角度相等 那么不是它们夹角共同边的另一条边就相等

104
00:04:51,840 --> 00:04:53,620
所以 哪一条边不是它们的共同边呢

105
00:04:53,620 --> 00:04:55,760
好的 是这条边和这条边

106
00:04:55,760 --> 00:04:58,570
所以设这条边为h 那么这条边也为h

107
00:04:58,570 --> 00:05:00,160
对吧

108
00:05:00,160 --> 00:05:03,370
另外如果这个角度也为60°

109
00:05:03,370 --> 00:05:06,690
所以我们看一下这个60°的角和另一个60°的角 我们

110
00:05:06,690 --> 00:05:10,450
可以发现它们的非公同边 同样相等

111
00:05:10,450 --> 00:05:13,670
来看一下 它们共同的这条边是这条 所以它们的非共同边

112
00:05:13,670 --> 00:05:15,540
是这条和这条

113
00:05:15,540 --> 00:05:19,490
所以这边若为h 我们同样可以得知这边也为h

114
00:05:19,490 --> 00:05:21,000
对吧

115
00:05:21,000 --> 00:05:24,310
所以这表明了一点 如果三角形中三个角度分别为60° 60°

116
00:05:24,320 --> 00:05:26,470
60° 也就是三角形中所有边长相等

117
00:05:26,470 --> 00:05:28,170
你也可以称它为等边三角形

118
00:05:28,170 --> 00:05:30,090
另外这里有一些东西必须要牢记

119
00:05:30,090 --> 00:05:32,410
同样这也很有道理 因为一个等边三角形

120
00:05:32,410 --> 00:05:34,480
无论你从哪个角度看它都是对称的

121
00:05:34,480 --> 00:05:36,810
所以显而易见的是它的所有角度都相等

122
00:05:36,810 --> 00:05:39,480
并且所有边长也相等

123
00:05:39,480 --> 00:05:40,750
但是

124
00:05:40,750 --> 00:05:43,400
在最开始的问题中我们只看这个等边三角形的

125
00:05:43,400 --> 00:05:44,110
一半

126
00:05:44,110 --> 00:05:48,930
那么我们同样可以知道这条边长度为h

127
00:05:48,930 --> 00:05:51,630
但是如果这整条边长度为h

128
00:05:51,630 --> 00:05:55,780
那么接下来的这条边，就是原始三角形的一条底边--

129
00:05:55,780 --> 00:05:58,670
我尽量解释的清楚一些 这是整条边的一半

130
00:05:58,670 --> 00:06:00,380
来用另一种颜色来解释一下

131
00:06:00,380 --> 00:06:02,210
这是这条边的一半

132
00:06:02,210 --> 00:06:03,340
对吧

133
00:06:03,340 --> 00:06:08,210
那么因为它为h/2 所以这条边也为h/2

134
00:06:08,210 --> 00:06:12,690
就在这里

135
00:06:12,690 --> 00:06:14,830
所以让我们回到最开始的地方

136
00:06:14,830 --> 00:06:17,870
这个角度为30°且这条边为斜边

137
00:06:17,870 --> 00:06:21,160
由于它的对角为直角

138
00:06:21,160 --> 00:06:26,460
并且我们知道30°的对边为斜边的1/2

139
00:06:26,460 --> 00:06:28,190
那么再让我们复习一下 我们要如何解决呢

140
00:06:28,190 --> 00:06:29,990
好的 我们首先复制了这左边的个三角形

141
00:06:29,990 --> 00:06:31,850
将它翻转过去得到一个等边三角形。

142
00:06:31,850 --> 00:06:33,730
证得这整条边都等于h。

143
00:06:33,730 --> 00:06:34,850
也就是斜边的长度。

144
00:06:34,850 --> 00:06:36,400
那么这就是这条边的一半

145
00:06:36,400 --> 00:06:38,500
所以它为斜边的1/2

146
00:06:38,500 --> 00:06:39,900
所以记住这点

147
00:06:39,900 --> 00:06:43,020
30°的对边为斜边的1/2长度

148
00:06:43,020 --> 00:06:45,040
让我重新画一下 这个看起来

149
00:06:45,040 --> 00:06:48,000
有些凌乱

150
00:06:48,000 --> 00:06:54,700
那么回到最初的地方

151
00:06:54,700 --> 00:06:56,900
这是直角

152
00:06:56,900 --> 00:06:59,960
这是斜边 在这里

153
00:06:59,960 --> 00:07:06,130
如果这是30°角 我们就可以得出30°角的对边

154
00:07:06,130 --> 00:07:09,760
就是那个30°角往那边开的边

155
00:07:09,760 --> 00:07:14,750
等于斜边的1/2

156
00:07:14,750 --> 00:07:17,130
那么如果这条边为斜边的1/2

157
00:07:17,130 --> 00:07:19,400
这条边又是多少呢

158
00:07:19,400 --> 00:07:22,410
好的 在这里我们又可以再次运用勾股定理

159
00:07:22,410 --> 00:07:25,390
我们知道这条边的平方加上这条边的平方--我们可以

160
00:07:25,390 --> 00:07:31,870
设它为A A的平方等于h的平方

161
00:07:31,870 --> 00:07:42,500
所以我们可以得出（h/2)^2+A^2=h^2

162
00:07:42,500 --> 00:07:48,280
即得h^2/4+A^2=h^2

163
00:07:48,280 --> 00:07:51,280
即得h^2/4+A^2=h^2

164
00:07:51,280 --> 00:07:53,900
好的 我们从两边同时减去h^2

165
00:07:53,900 --> 00:08:01,220
可以得到 A^2=h^2-h^2/4

166
00:08:01,220 --> 00:08:07,730
即得A^2=h^2-h^2/4等式

167
00:08:07,730 --> 00:08:14,180
由上式可得A^2=3*h^2/4

168
00:08:14,180 --> 00:08:17,080
即得A^2=3*h^2/4

169
00:08:17,080 --> 00:08:20,010
这里不够写了 噢那么我来把它们

170
00:08:20,010 --> 00:08:21,470
移到这边好了

171
00:08:21,470 --> 00:08:27,140
那么得出所有边长 并且我们可以得到A=

172
00:08:27,140 --> 00:08:30,850
3/4开根号是

173
00:08:30,850 --> 00:08:36,020
√3/2

174
00:08:36,020 --> 00:08:40,950
再来 h^2开根号即为h

175
00:08:40,950 --> 00:08:42,990
那么这里 A= 请记得 它在这里并不代表一个面积

176
00:08:42,990 --> 00:08:44,480
它代表的是一条边长

177
00:08:44,480 --> 00:08:45,500
或许一开始我就不应该用A来表示

178
00:08:45,500 --> 00:08:53,030
但是还是不妨碍我们得到 A=√3/2h

179
00:08:53,030 --> 00:08:53,790
在这里

180
00:08:53,790 --> 00:08:56,100
我们已经推导出了关于直角三角形边长与

181
00:08:56,100 --> 00:08:59,250
斜边长度的关系

182
00:08:59,250 --> 00:09:01,610
那么如果这是一条60°的边长

183
00:09:01,610 --> 00:09:04,490
我们还知道这是斜边 这是一个直角

184
00:09:04,490 --> 00:09:08,140
三角形 我们也就不难记得30°所对的直角边为

185
00:09:08,140 --> 00:09:10,360
斜边的一半

186
00:09:10,360 --> 00:09:14,970
并且我们还了解了60°所对的边长为

187
00:09:14,970 --> 00:09:18,520
斜边的√3/2倍

188
00:09:18,520 --> 00:09:22,520
下节课我会来教你们如何使用这些性质

189
00:09:22,520 --> 00:09:24,970
你或许并不想死记硬背它们 但你最好

190
00:09:24,970 --> 00:09:27,550
还是该记住它们并且多加练习 因为这会大大提高

191
00:09:27,550 --> 00:09:30,810
你在考试中做题的速度--并且可以运用它们

192
00:09:30,810 --> 00:09:32,951
我们如何非常快速地利用这些信息

193
00:09:32,951 --> 00:09:35,092
来解决30度直角三角形的问题

194
00:09:35,092 --> 00:09:38,814
下节课见