WEBVTT

00:00:01.500 --> 00:00:03.430
Desculpem-me por começar a apresentação tossindo.

00:00:03.430 --> 00:00:06.220
Acho que ainda estou com um bichinho na garganta.

00:00:06.220 --> 00:00:10.980
Mas agora quero continuar com os triângulos de 45, 45 e 90 graus.

00:00:10.980 --> 00:00:15.190
Na última apresentação aprendemos que qualquer lado de um

00:00:15.190 --> 00:00:19.830
triângulo de 45, 45 e 90 graus, que não seja a hipotenusa, é igual à

00:00:19.830 --> 00:00:25.600
raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa.

00:00:25.600 --> 00:00:26.850
Vamos resolver mais alguns problemas.

00:00:26.850 --> 00:00:30.680
Se eu dissesse que a hipotenusa deste

00:00:30.680 --> 00:00:33.010
triângulo - repetindo, isto funciona apenas para

00:00:33.010 --> 00:00:35.760
triângulos de 45, 45 e 90 graus.

00:00:35.760 --> 00:00:37.870
E se eu desenhasse apenas um ângulo de 45 graus, você saberia que o outro ângulo

00:00:37.870 --> 00:00:39.780
também teria que ser 45 graus.

00:00:39.780 --> 00:00:42.960
Se eu dissesse que a hipotenusa aqui é,

00:00:42.960 --> 00:00:44.690
vamos ver, 10.

00:00:44.690 --> 00:00:46.510
Sabemos que é a hipotenusa porque está do lado oposto

00:00:46.510 --> 00:00:48.340
ao do ângulo reto

00:00:48.340 --> 00:00:50.680
Então eu perguntaria o que seria este lado, X.

00:00:50.680 --> 00:00:54.300
Bem, sabemos que X é igual à raiz quadrada de 2 sobre

00:00:54.300 --> 00:00:55.490
2 vezes a hipotenusa.

00:00:55.490 --> 00:01:01.440
Isto é, raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes 10.

00:01:01.440 --> 00:01:07.700
Ou, X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

00:01:07.700 --> 00:01:07.990
Certo?

00:01:07.990 --> 00:01:08.910
10 dividido por 2.

00:01:08.910 --> 00:01:12.160
Logo X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

00:01:12.160 --> 00:01:15.630
E sabemos que este lado e este lado são iguais.

00:01:15.630 --> 00:01:15.900
Certo?

00:01:15.900 --> 00:01:18.490
Acho que sabemos que este é um triângulo isósceles porque

00:01:18.490 --> 00:01:20.280
estes dois ângulos são iguais.

00:01:20.280 --> 00:01:23.770
Também sabemos que este lado é 5 vezes raiz quadrada de 2.

00:01:23.770 --> 00:01:25.830
Se não tiver certeza é só tentar.

00:01:25.830 --> 00:01:27.460
Vamos usar o Teorema de Pitágoras.

00:01:27.460 --> 00:01:32.050
Sabemos, por meio do Teorema de Pitágoras, que 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado,

00:01:32.050 --> 00:01:37.420
mais 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado,

00:01:37.420 --> 00:01:39.090
onde a hipotenusa é 10,

00:01:39.090 --> 00:01:41.130
é igual a 100.

00:01:41.130 --> 00:01:43.170
ou isto é 25 vezes 2.

00:01:43.170 --> 00:01:43.855
Isto dá 50.

00:01:48.250 --> 00:01:49.590
Isto é 100 aqui em cima.

00:01:49.590 --> 00:01:51.380
é igual a 100.

00:01:51.380 --> 00:01:53.780
E sabemos, é claro, que isto é verdadeiro.

00:01:53.780 --> 00:01:54.620
Logo funcionou.

00:01:54.620 --> 00:01:56.290
Provamos isto usando o Teorema de Pitágoras, e

00:01:56.290 --> 00:01:57.740
na verdade foi desta maneira que começamos com esta fórmula

00:01:57.740 --> 00:01:59.260
lá atrás.

00:01:59.260 --> 00:02:00.820
Talvez você queira rever alguma daquelas apresentações

00:02:00.820 --> 00:02:03.590
Se você esqueceu como chegamos a isto.

00:02:03.590 --> 00:02:05.890
Bem, agora vou apresentar um outro

00:02:05.890 --> 00:02:06.620
tipo de triângulo.

00:02:06.620 --> 00:02:11.160
Vou fazê-lo da mesma maneira, apresentando um problema

00:02:11.160 --> 00:02:14.490
e então usando o Teorema de Pitágoras

00:02:14.490 --> 00:02:16.980
para resolvê-lo.

00:02:16.980 --> 00:02:18.780
Este é um outro tipo de triângulo, chamado de

00:02:18.780 --> 00:02:20.140
triângulo de 30, 60 e 90 graus.

00:02:25.550 --> 00:02:28.220
E se você não tiver tempo para isto eu farei

00:02:28.220 --> 00:02:31.120
outra apresentação.

00:02:31.120 --> 00:02:33.965
Digamos que eu tenha um triângulo retângulo.

00:02:38.610 --> 00:02:42.710
Este não está tão bonito, mas vamos usar o que temos.

00:02:42.710 --> 00:02:43.920
Este é o ângulo reto.

00:02:43.920 --> 00:02:48.260
E se dissesse que este é o ângulo de 30 graus.

00:02:48.260 --> 00:02:49.940
Bem, sabemos que os ângulos em um triângulo

00:02:49.940 --> 00:02:51.730
tem que somar 180 graus.

00:02:51.730 --> 00:02:56.570
Logo se este é de 30, este é de 90 e digamos que este é X.

00:02:56.570 --> 00:03:02.400
X mais 30 mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em

00:03:02.400 --> 00:03:04.310
um triângulo somam 180.

00:03:04.310 --> 00:03:07.770
Sabemos que X é igual a 60.

00:03:07.770 --> 00:03:08.600
Certo?

00:03:08.600 --> 00:03:10.870
Este é o ângulo de 60.

00:03:10.870 --> 00:03:14.370
E é por isto que se chama um triângulo de 30, 60 e 90 graus, porque

00:03:14.370 --> 00:03:17.320
são os valores dos três ângulos do triângulo.

00:03:17.320 --> 00:03:24.320
E se dissesse que a hipotenusa é, ao invés de

00:03:24.320 --> 00:03:27.130
chamá-la de C, como sempre fazemos, vamos chamá-la H, e

00:03:27.130 --> 00:03:30.020
quero saber os outros lados, como fazemos?

00:03:30.020 --> 00:03:32.700
Bem, podemos fazê-lo usando basicamente

00:03:32.700 --> 00:03:34.210
o Teorema de Pitágoras.

00:03:34.210 --> 00:03:36.410
E aqui vou usar um pequeno macete.

00:03:36.410 --> 00:03:42.780
Vamos redesenhar este triângulo, como um espelho

00:03:42.780 --> 00:03:45.990
do lado inverso.

00:03:45.990 --> 00:03:47.950
E este é o mesmo triângulo, só que virado

00:03:47.950 --> 00:03:48.690
para o outro lado.

00:03:48.690 --> 00:03:48.910
Certo?

00:03:48.910 --> 00:03:51.040
Se isto são 90 graus sabemos que estes dois

00:03:51.040 --> 00:03:53.140
ângulos são suplementares.

00:03:53.140 --> 00:03:55.890
Se você quiser pode revisar o módulo de ângulos se você esqueceu

00:03:55.890 --> 00:03:58.980
que estes dois ângulos que compartilham este mesma linha comum

00:03:58.980 --> 00:04:00.000
somam 180 graus.

00:04:00.000 --> 00:04:01.680
Este tem 90, este também tem 90 graus.

00:04:01.680 --> 00:04:02.390
Só de olhar se percebe

00:04:02.390 --> 00:04:04.010
que faz sentido.

00:04:04.010 --> 00:04:06.040
E como o viramos, este triângulo é exatamente

00:04:06.040 --> 00:04:06.890
o mesmo triângulo que este.

00:04:06.890 --> 00:04:09.130
Só está virado para o outro lado.

00:04:09.130 --> 00:04:12.400
Também sabemos que este ângulo é de 30 graus.

00:04:12.400 --> 00:04:16.510
e que este é de 60 graus.

00:04:16.510 --> 00:04:18.190
Certo?

00:04:18.190 --> 00:04:20.450
Bem, se este ângulo é de 30 graus e este ângulo é de 30

00:04:20.450 --> 00:04:26.490
graus, também sabemos que este ângulo maior, que vai

00:04:26.490 --> 00:04:30.230
daqui até aqui - é de 60 graus.

00:04:30.230 --> 00:04:31.770
Certo?

00:04:31.770 --> 00:04:34.760
Bem, se este é um ângulo de 60 graus, este ângulo do topo é de 60

00:04:34.760 --> 00:04:38.920
graus e este ângulo à direita é de 60 graus, então

00:04:38.920 --> 00:04:43.910
saberemos, por meio do teorema que aprendemos quanto fizemos

00:04:43.910 --> 00:04:47.860
os triângulos de 45, 45 e 60 graus, que se estes dois ângulos são iguais, então os

00:04:47.860 --> 00:04:52.030
lados não compartilhados por eles também tem que ser iguais.

00:04:52.030 --> 00:04:53.440
E quais são os lados não compartilhados por eles?

00:04:53.440 --> 00:04:55.490
Bem, são este lado e este lado.

00:04:55.490 --> 00:04:58.720
Logo, se este lado é H, este lado é H.

00:04:58.720 --> 00:05:01.200
Certo?

00:05:01.200 --> 00:05:03.680
Mas este ângulo também é de 60 graus.

00:05:03.680 --> 00:05:07.600
Então se olharmos para este ângulo de 60 graus e este ângulo de 60 graus,

00:05:07.600 --> 00:05:10.760
Saberemos que os lados não compartilhados por eles também são iguais.

00:05:10.760 --> 00:05:13.800
Bem, eles compartilham este lado, logo os lados não compartilhados por eles

00:05:13.800 --> 00:05:15.370
são este lado e este lado.

00:05:15.370 --> 00:05:19.460
Então este lado é H, também sabemos que este lado é H.

00:05:19.460 --> 00:05:21.270
Certo?

00:05:21.270 --> 00:05:23.470
Acontece que se você tem 60 graus, 60 graus

00:05:23.470 --> 00:05:26.680
e 60 graus todos estes lados têm a mesma medida, ou

00:05:26.680 --> 00:05:27.810
este é um triângulo equilátero.

00:05:27.810 --> 00:05:29.670
E isto é algo a se guardar na memória.

00:05:29.670 --> 00:05:32.080
E isto também faz sentido, porque um triângulo equilátero

00:05:32.080 --> 00:05:33.830
é simétrico, não importa como se olhe para ele.

00:05:33.830 --> 00:05:36.030
Logo faz sentido que todos os ângulos sejam iguais

00:05:36.030 --> 00:05:39.370
e que todos os lados tenham a mesma medida.

00:05:39.370 --> 00:05:40.420
Mas, hum.

00:05:40.420 --> 00:05:43.090
Quando originalemente fizemos este problema só usamos a metade

00:05:43.090 --> 00:05:44.050
deste triângulo equilátero.

00:05:44.050 --> 00:05:48.970
Logo sabemos que todo este lado aqui tem a medida H.

00:05:48.970 --> 00:05:53.670
Mas se todo este lado tem a medida H, este lado

00:05:53.670 --> 00:05:56.530
aqui, somente a base do nosso triângulo original - e estou

00:05:56.530 --> 00:05:58.480
tentando ser confuso de propósito,

00:05:58.480 --> 00:06:00.490
Tentamos outra cor.

00:06:00.490 --> 00:06:02.180
Este vai ser metade deste lado.

00:06:02.180 --> 00:06:03.460
Certo?

00:06:03.460 --> 00:06:07.890
Porque este é H sobre 2, e este também é H sobre 2.

00:06:07.890 --> 00:06:08.770
Bem aqui.

00:06:12.380 --> 00:06:14.990
Logo se voltarmos ao nosso triângulo original, e falamos

00:06:14.990 --> 00:06:17.730
que este ângulo é de 30 graus e esta é a hipotenusa

00:06:17.730 --> 00:06:21.540
porque está oposta ao ângulo reto, sabemos que o lado

00:06:21.540 --> 00:06:26.350
oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

00:06:26.350 --> 00:06:28.140
E só um lembrete, como fizemos isto?

00:06:28.140 --> 00:06:29.840
Bem, nós duplicamos o triângulo.

00:06:29.840 --> 00:06:31.570
O transformamos em um triângulo equilátero.

00:06:31.570 --> 00:06:33.490
Nos demos conta que todo este lado tem que medir o mesmo

00:06:33.490 --> 00:06:34.490
que a hipotenusa.

00:06:34.490 --> 00:06:36.760
e que este é a metade daquele lado inteiro.

00:06:36.760 --> 00:06:38.420
Logo é a metade da hipotenusa.

00:06:38.420 --> 00:06:39.090
Então vamos lembrar disto.

00:06:39.090 --> 00:06:43.060
O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

00:06:43.060 --> 00:06:46.530
Deixem-me redesenhar isto em outra página, porque acho que isto

00:06:46.530 --> 00:06:48.120
está ficando bagunçado.

00:06:48.120 --> 00:06:49.880
Voltando ao ponto que levantei originalmente.

00:06:54.630 --> 00:06:56.570
Este é o ângulo reto.

00:06:56.570 --> 00:06:59.700
Esta é a hipotenusa - este lado aqui.

00:06:59.700 --> 00:07:05.080
Se este ângulo tem 30 graus, nós apenas deduzimos que o lado oposto

00:07:05.080 --> 00:07:09.830
aos 30 graus - é como se fosse para onde o ângulo está se abrindo -

00:07:09.830 --> 00:07:12.180
que este é igual à metade da hipotenusa.

00:07:15.190 --> 00:07:17.300
Se isto é igual à metade da hipotenusa, então qual

00:07:17.300 --> 00:07:19.450
é o lado ao qual este se iguala?

00:07:19.450 --> 00:07:22.660
Bem, aqui podemos usar o teorema de Pitágoras novamente.

00:07:22.660 --> 00:07:25.685
Sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado - vamos

00:07:25.685 --> 00:07:31.470
chamar este lado de "A" - é igual a "H" ao quadrado.

00:07:31.470 --> 00:07:43.330
Logo temos 1/2H ao quadrado + A ao quadrado igual a H ao quadrado.

00:07:43.330 --> 00:07:48.370
Isto é igual a H ao quadrado sobre 4 + A ao quadrado

00:07:48.370 --> 00:07:51.690
igual a H ao quadrado.

00:07:51.690 --> 00:07:53.630
Bem, subtraímos H ao quadrado dos dois lados.

00:07:53.630 --> 00:08:01.270
Temos A ao quadrado igual a H ao quadrado menos H ao quadrado sobre 4.

00:08:01.270 --> 00:08:07.930
Logo isto é igual a H ao quadrado vezes 1 menos 1/4.

00:08:07.930 --> 00:08:14.150
Isto é igual a 3/4 H ao quadrado.

00:08:14.150 --> 00:08:17.110
E, de uma vez, isto é igual a A ao quadrado.

00:08:17.110 --> 00:08:19.710
O espaço está acabando, então vou

00:08:19.710 --> 00:08:21.730
para o lado de cá.

00:08:21.730 --> 00:08:27.170
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados, e saberemos que A é igual

00:08:27.170 --> 00:08:30.920
a - a raiz quadrada de 3/4 é o mesmo que

00:08:30.920 --> 00:08:36.270
raiz quadrada de 3 sobre 2.

00:08:36.270 --> 00:08:40.510
E então a raiz quadrada de H ao quadrado é tão somente H.

00:08:41.430 --> 00:08:42.350
E este A - lembre-se, esta é uma área.

00:08:42.350 --> 00:08:43.990
Isto é o que determina o comprimento do lado.

00:08:43.990 --> 00:08:45.630
I provavelmente não deveria ter usado A.

00:08:45.630 --> 00:08:53.070
Mas isto é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes H.

00:08:53.070 --> 00:08:53.670
Bem

00:08:53.670 --> 00:08:56.320
Deduzimos que todos os lados relativos à

00:08:56.320 --> 00:08:59.320
hipotenusa são de um triângulo de 30, 60 e 90 graus.

00:08:59.320 --> 00:09:01.360
Logo se este é o lado do ângulo de 60 graus.

00:09:01.360 --> 00:09:04.750
Se sabemos a hipotenusa e que este é um triângulo de 30, 60 e 90 graus

00:09:04.750 --> 00:09:08.080
Saberemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus

00:09:08.080 --> 00:09:10.500
é metade da hipotenusa.

00:09:10.500 --> 00:09:14.010
E sabemos que o lado oposto ao ângulo de 60 graus é

00:09:14.010 --> 00:09:18.410
igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes a hipotenusa.

00:09:18.410 --> 00:09:22.250
No próximo módulo mostrarei como, usando esta informação,

00:09:22.250 --> 00:09:24.120
que talvez queiras ou não memorizar - é provavelmente

00:09:24.120 --> 00:09:26.950
bom memorizar e praticar, porque o deixará

00:09:26.950 --> 00:09:30.850
muito rápido em testes padronizados - como podemos usar esta

00:09:30.850 --> 00:09:34.740
informação para encontrar os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 graus

00:09:34.740 --> 00:09:35.900
muito rapidamente.

00:09:35.900 --> 00:09:37.780
Nos vemos na próxima apresentação.