Desculpem-me por começar a apresentação tossindo. Acho que ainda estou com um bichinho na garganta. Mas agora quero continuar com os triângulos de 45, 45 e 90 graus. Na última apresentação aprendemos que qualquer lado de um triângulo de 45, 45 e 90 graus, que não seja a hipotenusa, é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa. Vamos resolver mais alguns problemas. Se eu dissesse que a hipotenusa deste triângulo - repetindo, isto funciona apenas para triângulos de 45, 45 e 90 graus. E se eu desenhasse apenas um ângulo de 45 graus, você saberia que o outro ângulo também teria que ser 45 graus. Se eu dissesse que a hipotenusa aqui é, vamos ver, 10. Sabemos que é a hipotenusa porque está do lado oposto ao do ângulo reto Então eu perguntaria o que seria este lado, X. Bem, sabemos que X é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa. Isto é, raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes 10. Ou, X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2. Certo? 10 dividido por 2. Logo X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2. E sabemos que este lado e este lado são iguais. Certo? Acho que sabemos que este é um triângulo isósceles porque estes dois ângulos são iguais. Também sabemos que este lado é 5 vezes raiz quadrada de 2. Se não tiver certeza é só tentar. Vamos usar o Teorema de Pitágoras. Sabemos, por meio do Teorema de Pitágoras, que 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado, mais 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado, onde a hipotenusa é 10, é igual a 100. ou isto é 25 vezes 2. Isto dá 50. Isto é 100 aqui em cima. é igual a 100. E sabemos, é claro, que isto é verdadeiro. Logo funcionou. Provamos isto usando o Teorema de Pitágoras, e na verdade foi desta maneira que começamos com esta fórmula lá atrás. Talvez você queira rever alguma daquelas apresentações Se você esqueceu como chegamos a isto. Bem, agora vou apresentar um outro tipo de triângulo. Vou fazê-lo da mesma maneira, apresentando um problema e então usando o Teorema de Pitágoras para resolvê-lo. Este é um outro tipo de triângulo, chamado de triângulo de 30, 60 e 90 graus. E se você não tiver tempo para isto eu farei outra apresentação. Digamos que eu tenha um triângulo retângulo. Este não está tão bonito, mas vamos usar o que temos. Este é o ângulo reto. E se dissesse que este é o ângulo de 30 graus. Bem, sabemos que os ângulos em um triângulo tem que somar 180 graus. Logo se este é de 30, este é de 90 e digamos que este é X. X mais 30 mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em um triângulo somam 180. Sabemos que X é igual a 60. Certo? Este é o ângulo de 60. E é por isto que se chama um triângulo de 30, 60 e 90 graus, porque são os valores dos três ângulos do triângulo. E se dissesse que a hipotenusa é, ao invés de chamá-la de C, como sempre fazemos, vamos chamá-la H, e quero saber os outros lados, como fazemos? Bem, podemos fazê-lo usando basicamente o Teorema de Pitágoras. E aqui vou usar um pequeno macete. Vamos redesenhar este triângulo, como um espelho do lado inverso. E este é o mesmo triângulo, só que virado para o outro lado. Certo? Se isto são 90 graus sabemos que estes dois ângulos são suplementares. Se você quiser pode revisar o módulo de ângulos se você esqueceu que estes dois ângulos que compartilham este mesma linha comum somam 180 graus. Este tem 90, este também tem 90 graus. Só de olhar se percebe que faz sentido. E como o viramos, este triângulo é exatamente o mesmo triângulo que este. Só está virado para o outro lado. Também sabemos que este ângulo é de 30 graus. e que este é de 60 graus. Certo? Bem, se este ângulo é de 30 graus e este ângulo é de 30 graus, também sabemos que este ângulo maior, que vai daqui até aqui - é de 60 graus. Certo? Bem, se este é um ângulo de 60 graus, este ângulo do topo é de 60 graus e este ângulo à direita é de 60 graus, então saberemos, por meio do teorema que aprendemos quanto fizemos os triângulos de 45, 45 e 60 graus, que se estes dois ângulos são iguais, então os lados não compartilhados por eles também tem que ser iguais. E quais são os lados não compartilhados por eles? Bem, são este lado e este lado. Logo, se este lado é H, este lado é H. Certo? Mas este ângulo também é de 60 graus. Então se olharmos para este ângulo de 60 graus e este ângulo de 60 graus, Saberemos que os lados não compartilhados por eles também são iguais. Bem, eles compartilham este lado, logo os lados não compartilhados por eles são este lado e este lado. Então este lado é H, também sabemos que este lado é H. Certo? Acontece que se você tem 60 graus, 60 graus e 60 graus todos estes lados têm a mesma medida, ou este é um triângulo equilátero. E isto é algo a se guardar na memória. E isto também faz sentido, porque um triângulo equilátero é simétrico, não importa como se olhe para ele. Logo faz sentido que todos os ângulos sejam iguais e que todos os lados tenham a mesma medida. Mas, hum. Quando originalemente fizemos este problema só usamos a metade deste triângulo equilátero. Logo sabemos que todo este lado aqui tem a medida H. Mas se todo este lado tem a medida H, este lado aqui, somente a base do nosso triângulo original - e estou tentando ser confuso de propósito, Tentamos outra cor. Este vai ser metade deste lado. Certo? Porque este é H sobre 2, e este também é H sobre 2. Bem aqui. Logo se voltarmos ao nosso triângulo original, e falamos que este ângulo é de 30 graus e esta é a hipotenusa porque está oposta ao ângulo reto, sabemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa. E só um lembrete, como fizemos isto? Bem, nós duplicamos o triângulo. O transformamos em um triângulo equilátero. Nos demos conta que todo este lado tem que medir o mesmo que a hipotenusa. e que este é a metade daquele lado inteiro. Logo é a metade da hipotenusa. Então vamos lembrar disto. O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa. Deixem-me redesenhar isto em outra página, porque acho que isto está ficando bagunçado. Voltando ao ponto que levantei originalmente. Este é o ângulo reto. Esta é a hipotenusa - este lado aqui. Se este ângulo tem 30 graus, nós apenas deduzimos que o lado oposto aos 30 graus - é como se fosse para onde o ângulo está se abrindo - que este é igual à metade da hipotenusa. Se isto é igual à metade da hipotenusa, então qual é o lado ao qual este se iguala? Bem, aqui podemos usar o teorema de Pitágoras novamente. Sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado - vamos chamar este lado de "A" - é igual a "H" ao quadrado. Logo temos 1/2H ao quadrado + A ao quadrado igual a H ao quadrado. Isto é igual a H ao quadrado sobre 4 + A ao quadrado igual a H ao quadrado. Bem, subtraímos H ao quadrado dos dois lados. Temos A ao quadrado igual a H ao quadrado menos H ao quadrado sobre 4. Logo isto é igual a H ao quadrado vezes 1 menos 1/4. Isto é igual a 3/4 H ao quadrado. E, de uma vez, isto é igual a A ao quadrado. O espaço está acabando, então vou para o lado de cá. Pegue a raiz quadrada de ambos os lados, e saberemos que A é igual a - a raiz quadrada de 3/4 é o mesmo que raiz quadrada de 3 sobre 2. E então a raiz quadrada de H ao quadrado é tão somente H. E este A - lembre-se, esta é uma área. Isto é o que determina o comprimento do lado. I provavelmente não deveria ter usado A. Mas isto é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes H. Bem Deduzimos que todos os lados relativos à hipotenusa são de um triângulo de 30, 60 e 90 graus. Logo se este é o lado do ângulo de 60 graus. Se sabemos a hipotenusa e que este é um triângulo de 30, 60 e 90 graus Saberemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus é metade da hipotenusa. E sabemos que o lado oposto ao ângulo de 60 graus é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes a hipotenusa. No próximo módulo mostrarei como, usando esta informação, que talvez queiras ou não memorizar - é provavelmente bom memorizar e praticar, porque o deixará muito rápido em testes padronizados - como podemos usar esta informação para encontrar os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 graus muito rapidamente. Nos vemos na próxima apresentação.