1
00:00:01,500 --> 00:00:03,430
Desculpem-me por começar a apresentação tossindo.

2
00:00:03,430 --> 00:00:06,220
Acho que ainda estou com um bichinho na garganta.

3
00:00:06,220 --> 00:00:10,980
Mas agora quero continuar com os triângulos de 45, 45 e 90 graus.

4
00:00:10,980 --> 00:00:15,190
Na última apresentação aprendemos que qualquer lado de um

5
00:00:15,190 --> 00:00:19,830
triângulo de 45, 45 e 90 graus, que não seja a hipotenusa, é igual à

6
00:00:19,830 --> 00:00:25,600
raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa.

7
00:00:25,600 --> 00:00:26,850
Vamos resolver mais alguns problemas.

8
00:00:26,850 --> 00:00:30,680
Se eu dissesse que a hipotenusa deste

9
00:00:30,680 --> 00:00:33,010
triângulo - repetindo, isto funciona apenas para

10
00:00:33,010 --> 00:00:35,760
triângulos de 45, 45 e 90 graus.

11
00:00:35,760 --> 00:00:37,870
E se eu desenhasse apenas um ângulo de 45 graus, você saberia que o outro ângulo

12
00:00:37,870 --> 00:00:39,780
também teria que ser 45 graus.

13
00:00:39,780 --> 00:00:42,960
Se eu dissesse que a hipotenusa aqui é,

14
00:00:42,960 --> 00:00:44,690
vamos ver, 10.

15
00:00:44,690 --> 00:00:46,510
Sabemos que é a hipotenusa porque está do lado oposto

16
00:00:46,510 --> 00:00:48,340
ao do ângulo reto

17
00:00:48,340 --> 00:00:50,680
Então eu perguntaria o que seria este lado, X.

18
00:00:50,680 --> 00:00:54,300
Bem, sabemos que X é igual à raiz quadrada de 2 sobre

19
00:00:54,300 --> 00:00:55,490
2 vezes a hipotenusa.

20
00:00:55,490 --> 00:01:01,440
Isto é, raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes 10.

21
00:01:01,440 --> 00:01:07,700
Ou, X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

22
00:01:07,700 --> 00:01:07,990
Certo?

23
00:01:07,990 --> 00:01:08,910
10 dividido por 2.

24
00:01:08,910 --> 00:01:12,160
Logo X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

25
00:01:12,160 --> 00:01:15,630
E sabemos que este lado e este lado são iguais.

26
00:01:15,630 --> 00:01:15,900
Certo?

27
00:01:15,900 --> 00:01:18,490
Acho que sabemos que este é um triângulo isósceles porque

28
00:01:18,490 --> 00:01:20,280
estes dois ângulos são iguais.

29
00:01:20,280 --> 00:01:23,770
Também sabemos que este lado é 5 vezes raiz quadrada de 2.

30
00:01:23,770 --> 00:01:25,830
Se não tiver certeza é só tentar.

31
00:01:25,830 --> 00:01:27,460
Vamos usar o Teorema de Pitágoras.

32
00:01:27,460 --> 00:01:32,050
Sabemos, por meio do Teorema de Pitágoras, que 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado,

33
00:01:32,050 --> 00:01:37,420
mais 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado,

34
00:01:37,420 --> 00:01:39,090
onde a hipotenusa é 10,

35
00:01:39,090 --> 00:01:41,130
é igual a 100.

36
00:01:41,130 --> 00:01:43,170
ou isto é 25 vezes 2.

37
00:01:43,170 --> 00:01:43,855
Isto dá 50.

38
00:01:48,250 --> 00:01:49,590
Isto é 100 aqui em cima.

39
00:01:49,590 --> 00:01:51,380
é igual a 100.

40
00:01:51,380 --> 00:01:53,780
E sabemos, é claro, que isto é verdadeiro.

41
00:01:53,780 --> 00:01:54,620
Logo funcionou.

42
00:01:54,620 --> 00:01:56,290
Provamos isto usando o Teorema de Pitágoras, e

43
00:01:56,290 --> 00:01:57,740
na verdade foi desta maneira que começamos com esta fórmula

44
00:01:57,740 --> 00:01:59,260
lá atrás.

45
00:01:59,260 --> 00:02:00,820
Talvez você queira rever alguma daquelas apresentações

46
00:02:00,820 --> 00:02:03,590
Se você esqueceu como chegamos a isto.

47
00:02:03,590 --> 00:02:05,890
Bem, agora vou apresentar um outro

48
00:02:05,890 --> 00:02:06,620
tipo de triângulo.

49
00:02:06,620 --> 00:02:11,160
Vou fazê-lo da mesma maneira, apresentando um problema

50
00:02:11,160 --> 00:02:14,490
e então usando o Teorema de Pitágoras

51
00:02:14,490 --> 00:02:16,980
para resolvê-lo.

52
00:02:16,980 --> 00:02:18,780
Este é um outro tipo de triângulo, chamado de

53
00:02:18,780 --> 00:02:20,140
triângulo de 30, 60 e 90 graus.

54
00:02:25,550 --> 00:02:28,220
E se você não tiver tempo para isto eu farei

55
00:02:28,220 --> 00:02:31,120
outra apresentação.

56
00:02:31,120 --> 00:02:33,965
Digamos que eu tenha um triângulo retângulo.

57
00:02:38,610 --> 00:02:42,710
Este não está tão bonito, mas vamos usar o que temos.

58
00:02:42,710 --> 00:02:43,920
Este é o ângulo reto.

59
00:02:43,920 --> 00:02:48,260
E se dissesse que este é o ângulo de 30 graus.

60
00:02:48,260 --> 00:02:49,940
Bem, sabemos que os ângulos em um triângulo

61
00:02:49,940 --> 00:02:51,730
tem que somar 180 graus.

62
00:02:51,730 --> 00:02:56,570
Logo se este é de 30, este é de 90 e digamos que este é X.

63
00:02:56,570 --> 00:03:02,400
X mais 30 mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em

64
00:03:02,400 --> 00:03:04,310
um triângulo somam 180.

65
00:03:04,310 --> 00:03:07,770
Sabemos que X é igual a 60.

66
00:03:07,770 --> 00:03:08,600
Certo?

67
00:03:08,600 --> 00:03:10,870
Este é o ângulo de 60.

68
00:03:10,870 --> 00:03:14,370
E é por isto que se chama um triângulo de 30, 60 e 90 graus, porque

69
00:03:14,370 --> 00:03:17,320
são os valores dos três ângulos do triângulo.

70
00:03:17,320 --> 00:03:24,320
E se dissesse que a hipotenusa é, ao invés de

71
00:03:24,320 --> 00:03:27,130
chamá-la de C, como sempre fazemos, vamos chamá-la H, e

72
00:03:27,130 --> 00:03:30,020
quero saber os outros lados, como fazemos?

73
00:03:30,020 --> 00:03:32,700
Bem, podemos fazê-lo usando basicamente

74
00:03:32,700 --> 00:03:34,210
o Teorema de Pitágoras.

75
00:03:34,210 --> 00:03:36,410
E aqui vou usar um pequeno macete.

76
00:03:36,410 --> 00:03:42,780
Vamos redesenhar este triângulo, como um espelho

77
00:03:42,780 --> 00:03:45,990
do lado inverso.

78
00:03:45,990 --> 00:03:47,950
E este é o mesmo triângulo, só que virado

79
00:03:47,950 --> 00:03:48,690
para o outro lado.

80
00:03:48,690 --> 00:03:48,910
Certo?

81
00:03:48,910 --> 00:03:51,040
Se isto são 90 graus sabemos que estes dois

82
00:03:51,040 --> 00:03:53,140
ângulos são suplementares.

83
00:03:53,140 --> 00:03:55,890
Se você quiser pode revisar o módulo de ângulos se você esqueceu

84
00:03:55,890 --> 00:03:58,980
que estes dois ângulos que compartilham este mesma linha comum

85
00:03:58,980 --> 00:04:00,000
somam 180 graus.

86
00:04:00,000 --> 00:04:01,680
Este tem 90, este também tem 90 graus.

87
00:04:01,680 --> 00:04:02,390
Só de olhar se percebe

88
00:04:02,390 --> 00:04:04,010
que faz sentido.

89
00:04:04,010 --> 00:04:06,040
E como o viramos, este triângulo é exatamente

90
00:04:06,040 --> 00:04:06,890
o mesmo triângulo que este.

91
00:04:06,890 --> 00:04:09,130
Só está virado para o outro lado.

92
00:04:09,130 --> 00:04:12,400
Também sabemos que este ângulo é de 30 graus.

93
00:04:12,400 --> 00:04:16,510
e que este é de 60 graus.

94
00:04:16,510 --> 00:04:18,190
Certo?

95
00:04:18,190 --> 00:04:20,450
Bem, se este ângulo é de 30 graus e este ângulo é de 30

96
00:04:20,450 --> 00:04:26,490
graus, também sabemos que este ângulo maior, que vai

97
00:04:26,490 --> 00:04:30,230
daqui até aqui - é de 60 graus.

98
00:04:30,230 --> 00:04:31,770
Certo?

99
00:04:31,770 --> 00:04:34,760
Bem, se este é um ângulo de 60 graus, este ângulo do topo é de 60

100
00:04:34,760 --> 00:04:38,920
graus e este ângulo à direita é de 60 graus, então

101
00:04:38,920 --> 00:04:43,910
saberemos, por meio do teorema que aprendemos quanto fizemos

102
00:04:43,910 --> 00:04:47,860
os triângulos de 45, 45 e 60 graus, que se estes dois ângulos são iguais, então os

103
00:04:47,860 --> 00:04:52,030
lados não compartilhados por eles também tem que ser iguais.

104
00:04:52,030 --> 00:04:53,440
E quais são os lados não compartilhados por eles?

105
00:04:53,440 --> 00:04:55,490
Bem, são este lado e este lado.

106
00:04:55,490 --> 00:04:58,720
Logo, se este lado é H, este lado é H.

107
00:04:58,720 --> 00:05:01,200
Certo?

108
00:05:01,200 --> 00:05:03,680
Mas este ângulo também é de 60 graus.

109
00:05:03,680 --> 00:05:07,600
Então se olharmos para este ângulo de 60 graus e este ângulo de 60 graus,

110
00:05:07,600 --> 00:05:10,760
Saberemos que os lados não compartilhados por eles também são iguais.

111
00:05:10,760 --> 00:05:13,800
Bem, eles compartilham este lado, logo os lados não compartilhados por eles

112
00:05:13,800 --> 00:05:15,370
são este lado e este lado.

113
00:05:15,370 --> 00:05:19,460
Então este lado é H, também sabemos que este lado é H.

114
00:05:19,460 --> 00:05:21,270
Certo?

115
00:05:21,270 --> 00:05:23,470
Acontece que se você tem 60 graus, 60 graus

116
00:05:23,470 --> 00:05:26,680
e 60 graus todos estes lados têm a mesma medida, ou

117
00:05:26,680 --> 00:05:27,810
este é um triângulo equilátero.

118
00:05:27,810 --> 00:05:29,670
E isto é algo a se guardar na memória.

119
00:05:29,670 --> 00:05:32,080
E isto também faz sentido, porque um triângulo equilátero

120
00:05:32,080 --> 00:05:33,830
é simétrico, não importa como se olhe para ele.

121
00:05:33,830 --> 00:05:36,030
Logo faz sentido que todos os ângulos sejam iguais

122
00:05:36,030 --> 00:05:39,370
e que todos os lados tenham a mesma medida.

123
00:05:39,370 --> 00:05:40,420
Mas, hum.

124
00:05:40,420 --> 00:05:43,090
Quando originalemente fizemos este problema só usamos a metade

125
00:05:43,090 --> 00:05:44,050
deste triângulo equilátero.

126
00:05:44,050 --> 00:05:48,970
Logo sabemos que todo este lado aqui tem a medida H.

127
00:05:48,970 --> 00:05:53,670
Mas se todo este lado tem a medida H, este lado

128
00:05:53,670 --> 00:05:56,530
aqui, somente a base do nosso triângulo original - e estou

129
00:05:56,530 --> 00:05:58,480
tentando ser confuso de propósito,

130
00:05:58,480 --> 00:06:00,490
Tentamos outra cor.

131
00:06:00,490 --> 00:06:02,180
Este vai ser metade deste lado.

132
00:06:02,180 --> 00:06:03,460
Certo?

133
00:06:03,460 --> 00:06:07,890
Porque este é H sobre 2, e este também é H sobre 2.

134
00:06:07,890 --> 00:06:08,770
Bem aqui.

135
00:06:12,380 --> 00:06:14,990
Logo se voltarmos ao nosso triângulo original, e falamos

136
00:06:14,990 --> 00:06:17,730
que este ângulo é de 30 graus e esta é a hipotenusa

137
00:06:17,730 --> 00:06:21,540
porque está oposta ao ângulo reto, sabemos que o lado

138
00:06:21,540 --> 00:06:26,350
oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

139
00:06:26,350 --> 00:06:28,140
E só um lembrete, como fizemos isto?

140
00:06:28,140 --> 00:06:29,840
Bem, nós duplicamos o triângulo.

141
00:06:29,840 --> 00:06:31,570
O transformamos em um triângulo equilátero.

142
00:06:31,570 --> 00:06:33,490
Nos demos conta que todo este lado tem que medir o mesmo

143
00:06:33,490 --> 00:06:34,490
que a hipotenusa.

144
00:06:34,490 --> 00:06:36,760
e que este é a metade daquele lado inteiro.

145
00:06:36,760 --> 00:06:38,420
Logo é a metade da hipotenusa.

146
00:06:38,420 --> 00:06:39,090
Então vamos lembrar disto.

147
00:06:39,090 --> 00:06:43,060
O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

148
00:06:43,060 --> 00:06:46,530
Deixem-me redesenhar isto em outra página, porque acho que isto

149
00:06:46,530 --> 00:06:48,120
está ficando bagunçado.

150
00:06:48,120 --> 00:06:49,880
Voltando ao ponto que levantei originalmente.

151
00:06:54,630 --> 00:06:56,570
Este é o ângulo reto.

152
00:06:56,570 --> 00:06:59,700
Esta é a hipotenusa - este lado aqui.

153
00:06:59,700 --> 00:07:05,080
Se este ângulo tem 30 graus, nós apenas deduzimos que o lado oposto

154
00:07:05,080 --> 00:07:09,830
aos 30 graus - é como se fosse para onde o ângulo está se abrindo -

155
00:07:09,830 --> 00:07:12,180
que este é igual à metade da hipotenusa.

156
00:07:15,190 --> 00:07:17,300
Se isto é igual à metade da hipotenusa, então qual

157
00:07:17,300 --> 00:07:19,450
é o lado ao qual este se iguala?

158
00:07:19,450 --> 00:07:22,660
Bem, aqui podemos usar o teorema de Pitágoras novamente.

159
00:07:22,660 --> 00:07:25,685
Sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado - vamos

160
00:07:25,685 --> 00:07:31,470
chamar este lado de "A" - é igual a "H" ao quadrado.

161
00:07:31,470 --> 00:07:43,330
Logo temos 1/2H ao quadrado + A ao quadrado igual a H ao quadrado.

162
00:07:43,330 --> 00:07:48,370
Isto é igual a H ao quadrado sobre 4 + A ao quadrado

163
00:07:48,370 --> 00:07:51,690
igual a H ao quadrado.

164
00:07:51,690 --> 00:07:53,630
Bem, subtraímos H ao quadrado dos dois lados.

165
00:07:53,630 --> 00:08:01,270
Temos A ao quadrado igual a H ao quadrado menos H ao quadrado sobre 4.

166
00:08:01,270 --> 00:08:07,930
Logo isto é igual a H ao quadrado vezes 1 menos 1/4.

167
00:08:07,930 --> 00:08:14,150
Isto é igual a 3/4 H ao quadrado.

168
00:08:14,150 --> 00:08:17,110
E, de uma vez, isto é igual a A ao quadrado.

169
00:08:17,110 --> 00:08:19,710
O espaço está acabando, então vou

170
00:08:19,710 --> 00:08:21,730
para o lado de cá.

171
00:08:21,730 --> 00:08:27,170
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados, e saberemos que A é igual

172
00:08:27,170 --> 00:08:30,920
a - a raiz quadrada de 3/4 é o mesmo que

173
00:08:30,920 --> 00:08:36,270
raiz quadrada de 3 sobre 2.

174
00:08:36,270 --> 00:08:40,510
E então a raiz quadrada de H ao quadrado é tão somente H.

175
00:08:41,430 --> 00:08:42,350
E este A - lembre-se, esta é uma área.

176
00:08:42,350 --> 00:08:43,990
Isto é o que determina o comprimento do lado.

177
00:08:43,990 --> 00:08:45,630
I provavelmente não deveria ter usado A.

178
00:08:45,630 --> 00:08:53,070
Mas isto é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes H.

179
00:08:53,070 --> 00:08:53,670
Bem

180
00:08:53,670 --> 00:08:56,320
Deduzimos que todos os lados relativos à

181
00:08:56,320 --> 00:08:59,320
hipotenusa são de um triângulo de 30, 60 e 90 graus.

182
00:08:59,320 --> 00:09:01,360
Logo se este é o lado do ângulo de 60 graus.

183
00:09:01,360 --> 00:09:04,750
Se sabemos a hipotenusa e que este é um triângulo de 30, 60 e 90 graus

184
00:09:04,750 --> 00:09:08,080
Saberemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus

185
00:09:08,080 --> 00:09:10,500
é metade da hipotenusa.

186
00:09:10,500 --> 00:09:14,010
E sabemos que o lado oposto ao ângulo de 60 graus é

187
00:09:14,010 --> 00:09:18,410
igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes a hipotenusa.

188
00:09:18,410 --> 00:09:22,250
No próximo módulo mostrarei como, usando esta informação,

189
00:09:22,250 --> 00:09:24,120
que talvez queiras ou não memorizar - é provavelmente

190
00:09:24,120 --> 00:09:26,950
bom memorizar e praticar, porque o deixará

191
00:09:26,950 --> 00:09:30,850
muito rápido em testes padronizados - como podemos usar esta

192
00:09:30,850 --> 00:09:34,740
informação para encontrar os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 graus

193
00:09:34,740 --> 00:09:35,900
muito rapidamente.

194
00:09:35,900 --> 00:09:37,780
Nos vemos na próxima apresentação.