0:00:01.500,0:00:03.430
Desculpem-me por começar a apresentação tossindo.

0:00:03.430,0:00:06.220
Acho que ainda estou com um bichinho na garganta.

0:00:06.220,0:00:10.980
Mas agora quero continuar com os triângulos de 45, 45 e 90 graus.

0:00:10.980,0:00:15.190
Na última apresentação aprendemos que qualquer lado de um

0:00:15.190,0:00:19.830
triângulo de 45, 45 e 90 graus, que não seja a hipotenusa, é igual à

0:00:19.830,0:00:25.600
raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa.

0:00:25.600,0:00:26.850
Vamos resolver mais alguns problemas.

0:00:26.850,0:00:30.680
Se eu dissesse que a hipotenusa deste

0:00:30.680,0:00:33.010
triângulo - repetindo, isto funciona apenas para

0:00:33.010,0:00:35.760
triângulos de 45, 45 e 90 graus.

0:00:35.760,0:00:37.870
E se eu desenhasse apenas um ângulo de 45 graus, você saberia que o outro ângulo

0:00:37.870,0:00:39.780
também teria que ser 45 graus.

0:00:39.780,0:00:42.960
Se eu dissesse que a hipotenusa aqui é,

0:00:42.960,0:00:44.690
vamos ver, 10.

0:00:44.690,0:00:46.510
Sabemos que é a hipotenusa porque está do lado oposto

0:00:46.510,0:00:48.340
ao do ângulo reto

0:00:48.340,0:00:50.680
Então eu perguntaria o que seria este lado, X.

0:00:50.680,0:00:54.300
Bem, sabemos que X é igual à raiz quadrada de 2 sobre

0:00:54.300,0:00:55.490
2 vezes a hipotenusa.

0:00:55.490,0:01:01.440
Isto é, raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes 10.

0:01:01.440,0:01:07.700
Ou, X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

0:01:07.700,0:01:07.990
Certo?

0:01:07.990,0:01:08.910
10 dividido por 2.

0:01:08.910,0:01:12.160
Logo X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.

0:01:12.160,0:01:15.630
E sabemos que este lado e este lado são iguais.

0:01:15.630,0:01:15.900
Certo?

0:01:15.900,0:01:18.490
Acho que sabemos que este é um triângulo isósceles porque

0:01:18.490,0:01:20.280
estes dois ângulos são iguais.

0:01:20.280,0:01:23.770
Também sabemos que este lado é 5 vezes raiz quadrada de 2.

0:01:23.770,0:01:25.830
Se não tiver certeza é só tentar.

0:01:25.830,0:01:27.460
Vamos usar o Teorema de Pitágoras.

0:01:27.460,0:01:32.050
Sabemos, por meio do Teorema de Pitágoras, que 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado,

0:01:32.050,0:01:37.420
mais 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado,

0:01:37.420,0:01:39.090
onde a hipotenusa é 10,

0:01:39.090,0:01:41.130
é igual a 100.

0:01:41.130,0:01:43.170
ou isto é 25 vezes 2.

0:01:43.170,0:01:43.855
Isto dá 50.

0:01:48.250,0:01:49.590
Isto é 100 aqui em cima.

0:01:49.590,0:01:51.380
é igual a 100.

0:01:51.380,0:01:53.780
E sabemos, é claro, que isto é verdadeiro.

0:01:53.780,0:01:54.620
Logo funcionou.

0:01:54.620,0:01:56.290
Provamos isto usando o Teorema de Pitágoras, e

0:01:56.290,0:01:57.740
na verdade foi desta maneira que começamos com esta fórmula

0:01:57.740,0:01:59.260
lá atrás.

0:01:59.260,0:02:00.820
Talvez você queira rever alguma daquelas apresentações

0:02:00.820,0:02:03.590
Se você esqueceu como chegamos a isto.

0:02:03.590,0:02:05.890
Bem, agora vou apresentar um outro

0:02:05.890,0:02:06.620
tipo de triângulo.

0:02:06.620,0:02:11.160
Vou fazê-lo da mesma maneira, apresentando um problema

0:02:11.160,0:02:14.490
e então usando o Teorema de Pitágoras

0:02:14.490,0:02:16.980
para resolvê-lo.

0:02:16.980,0:02:18.780
Este é um outro tipo de triângulo, chamado de

0:02:18.780,0:02:20.140
triângulo de 30, 60 e 90 graus.

0:02:25.550,0:02:28.220
E se você não tiver tempo para isto eu farei

0:02:28.220,0:02:31.120
outra apresentação.

0:02:31.120,0:02:33.965
Digamos que eu tenha um triângulo retângulo.

0:02:38.610,0:02:42.710
Este não está tão bonito, mas vamos usar o que temos.

0:02:42.710,0:02:43.920
Este é o ângulo reto.

0:02:43.920,0:02:48.260
E se dissesse que este é o ângulo de 30 graus.

0:02:48.260,0:02:49.940
Bem, sabemos que os ângulos em um triângulo

0:02:49.940,0:02:51.730
tem que somar 180 graus.

0:02:51.730,0:02:56.570
Logo se este é de 30, este é de 90 e digamos que este é X.

0:02:56.570,0:03:02.400
X mais 30 mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em

0:03:02.400,0:03:04.310
um triângulo somam 180.

0:03:04.310,0:03:07.770
Sabemos que X é igual a 60.

0:03:07.770,0:03:08.600
Certo?

0:03:08.600,0:03:10.870
Este é o ângulo de 60.

0:03:10.870,0:03:14.370
E é por isto que se chama um triângulo de 30, 60 e 90 graus, porque

0:03:14.370,0:03:17.320
são os valores dos três ângulos do triângulo.

0:03:17.320,0:03:24.320
E se dissesse que a hipotenusa é, ao invés de

0:03:24.320,0:03:27.130
chamá-la de C, como sempre fazemos, vamos chamá-la H, e

0:03:27.130,0:03:30.020
quero saber os outros lados, como fazemos?

0:03:30.020,0:03:32.700
Bem, podemos fazê-lo usando basicamente

0:03:32.700,0:03:34.210
o Teorema de Pitágoras.

0:03:34.210,0:03:36.410
E aqui vou usar um pequeno macete.

0:03:36.410,0:03:42.780
Vamos redesenhar este triângulo, como um espelho

0:03:42.780,0:03:45.990
do lado inverso.

0:03:45.990,0:03:47.950
E este é o mesmo triângulo, só que virado

0:03:47.950,0:03:48.690
para o outro lado.

0:03:48.690,0:03:48.910
Certo?

0:03:48.910,0:03:51.040
Se isto são 90 graus sabemos que estes dois

0:03:51.040,0:03:53.140
ângulos são suplementares.

0:03:53.140,0:03:55.890
Se você quiser pode revisar o módulo de ângulos se você esqueceu

0:03:55.890,0:03:58.980
que estes dois ângulos que compartilham este mesma linha comum

0:03:58.980,0:04:00.000
somam 180 graus.

0:04:00.000,0:04:01.680
Este tem 90, este também tem 90 graus.

0:04:01.680,0:04:02.390
Só de olhar se percebe

0:04:02.390,0:04:04.010
que faz sentido.

0:04:04.010,0:04:06.040
E como o viramos, este triângulo é exatamente

0:04:06.040,0:04:06.890
o mesmo triângulo que este.

0:04:06.890,0:04:09.130
Só está virado para o outro lado.

0:04:09.130,0:04:12.400
Também sabemos que este ângulo é de 30 graus.

0:04:12.400,0:04:16.510
e que este é de 60 graus.

0:04:16.510,0:04:18.190
Certo?

0:04:18.190,0:04:20.450
Bem, se este ângulo é de 30 graus e este ângulo é de 30

0:04:20.450,0:04:26.490
graus, também sabemos que este ângulo maior, que vai

0:04:26.490,0:04:30.230
daqui até aqui - é de 60 graus.

0:04:30.230,0:04:31.770
Certo?

0:04:31.770,0:04:34.760
Bem, se este é um ângulo de 60 graus, este ângulo do topo é de 60

0:04:34.760,0:04:38.920
graus e este ângulo à direita é de 60 graus, então

0:04:38.920,0:04:43.910
saberemos, por meio do teorema que aprendemos quanto fizemos

0:04:43.910,0:04:47.860
os triângulos de 45, 45 e 60 graus, que se estes dois ângulos são iguais, então os

0:04:47.860,0:04:52.030
lados não compartilhados por eles também tem que ser iguais.

0:04:52.030,0:04:53.440
E quais são os lados não compartilhados por eles?

0:04:53.440,0:04:55.490
Bem, são este lado e este lado.

0:04:55.490,0:04:58.720
Logo, se este lado é H, este lado é H.

0:04:58.720,0:05:01.200
Certo?

0:05:01.200,0:05:03.680
Mas este ângulo também é de 60 graus.

0:05:03.680,0:05:07.600
Então se olharmos para este ângulo de 60 graus e este ângulo de 60 graus,

0:05:07.600,0:05:10.760
Saberemos que os lados não compartilhados por eles também são iguais.

0:05:10.760,0:05:13.800
Bem, eles compartilham este lado, logo os lados não compartilhados por eles

0:05:13.800,0:05:15.370
são este lado e este lado.

0:05:15.370,0:05:19.460
Então este lado é H, também sabemos que este lado é H.

0:05:19.460,0:05:21.270
Certo?

0:05:21.270,0:05:23.470
Acontece que se você tem 60 graus, 60 graus

0:05:23.470,0:05:26.680
e 60 graus todos estes lados têm a mesma medida, ou

0:05:26.680,0:05:27.810
este é um triângulo equilátero.

0:05:27.810,0:05:29.670
E isto é algo a se guardar na memória.

0:05:29.670,0:05:32.080
E isto também faz sentido, porque um triângulo equilátero

0:05:32.080,0:05:33.830
é simétrico, não importa como se olhe para ele.

0:05:33.830,0:05:36.030
Logo faz sentido que todos os ângulos sejam iguais

0:05:36.030,0:05:39.370
e que todos os lados tenham a mesma medida.

0:05:39.370,0:05:40.420
Mas, hum.

0:05:40.420,0:05:43.090
Quando originalemente fizemos este problema só usamos a metade

0:05:43.090,0:05:44.050
deste triângulo equilátero.

0:05:44.050,0:05:48.970
Logo sabemos que todo este lado aqui tem a medida H.

0:05:48.970,0:05:53.670
Mas se todo este lado tem a medida H, este lado

0:05:53.670,0:05:56.530
aqui, somente a base do nosso triângulo original - e estou

0:05:56.530,0:05:58.480
tentando ser confuso de propósito,

0:05:58.480,0:06:00.490
Tentamos outra cor.

0:06:00.490,0:06:02.180
Este vai ser metade deste lado.

0:06:02.180,0:06:03.460
Certo?

0:06:03.460,0:06:07.890
Porque este é H sobre 2, e este também é H sobre 2.

0:06:07.890,0:06:08.770
Bem aqui.

0:06:12.380,0:06:14.990
Logo se voltarmos ao nosso triângulo original, e falamos

0:06:14.990,0:06:17.730
que este ângulo é de 30 graus e esta é a hipotenusa

0:06:17.730,0:06:21.540
porque está oposta ao ângulo reto, sabemos que o lado

0:06:21.540,0:06:26.350
oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

0:06:26.350,0:06:28.140
E só um lembrete, como fizemos isto?

0:06:28.140,0:06:29.840
Bem, nós duplicamos o triângulo.

0:06:29.840,0:06:31.570
O transformamos em um triângulo equilátero.

0:06:31.570,0:06:33.490
Nos demos conta que todo este lado tem que medir o mesmo

0:06:33.490,0:06:34.490
que a hipotenusa.

0:06:34.490,0:06:36.760
e que este é a metade daquele lado inteiro.

0:06:36.760,0:06:38.420
Logo é a metade da hipotenusa.

0:06:38.420,0:06:39.090
Então vamos lembrar disto.

0:06:39.090,0:06:43.060
O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.

0:06:43.060,0:06:46.530
Deixem-me redesenhar isto em outra página, porque acho que isto

0:06:46.530,0:06:48.120
está ficando bagunçado.

0:06:48.120,0:06:49.880
Voltando ao ponto que levantei originalmente.

0:06:54.630,0:06:56.570
Este é o ângulo reto.

0:06:56.570,0:06:59.700
Esta é a hipotenusa - este lado aqui.

0:06:59.700,0:07:05.080
Se este ângulo tem 30 graus, nós apenas deduzimos que o lado oposto

0:07:05.080,0:07:09.830
aos 30 graus - é como se fosse para onde o ângulo está se abrindo -

0:07:09.830,0:07:12.180
que este é igual à metade da hipotenusa.

0:07:15.190,0:07:17.300
Se isto é igual à metade da hipotenusa, então qual

0:07:17.300,0:07:19.450
é o lado ao qual este se iguala?

0:07:19.450,0:07:22.660
Bem, aqui podemos usar o teorema de Pitágoras novamente.

0:07:22.660,0:07:25.685
Sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado - vamos

0:07:25.685,0:07:31.470
chamar este lado de "A" - é igual a "H" ao quadrado.

0:07:31.470,0:07:43.330
Logo temos 1/2H ao quadrado + A ao quadrado igual a H ao quadrado.

0:07:43.330,0:07:48.370
Isto é igual a H ao quadrado sobre 4 + A ao quadrado

0:07:48.370,0:07:51.690
igual a H ao quadrado.

0:07:51.690,0:07:53.630
Bem, subtraímos H ao quadrado dos dois lados.

0:07:53.630,0:08:01.270
Temos A ao quadrado igual a H ao quadrado menos H ao quadrado sobre 4.

0:08:01.270,0:08:07.930
Logo isto é igual a H ao quadrado vezes 1 menos 1/4.

0:08:07.930,0:08:14.150
Isto é igual a 3/4 H ao quadrado.

0:08:14.150,0:08:17.110
E, de uma vez, isto é igual a A ao quadrado.

0:08:17.110,0:08:19.710
O espaço está acabando, então vou

0:08:19.710,0:08:21.730
para o lado de cá.

0:08:21.730,0:08:27.170
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados, e saberemos que A é igual

0:08:27.170,0:08:30.920
a - a raiz quadrada de 3/4 é o mesmo que

0:08:30.920,0:08:36.270
raiz quadrada de 3 sobre 2.

0:08:36.270,0:08:40.510
E então a raiz quadrada de H ao quadrado é tão somente H.

0:08:41.430,0:08:42.350
E este A - lembre-se, esta é uma área.

0:08:42.350,0:08:43.990
Isto é o que determina o comprimento do lado.

0:08:43.990,0:08:45.630
I provavelmente não deveria ter usado A.

0:08:45.630,0:08:53.070
Mas isto é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes H.

0:08:53.070,0:08:53.670
Bem

0:08:53.670,0:08:56.320
Deduzimos que todos os lados relativos à

0:08:56.320,0:08:59.320
hipotenusa são de um triângulo de 30, 60 e 90 graus.

0:08:59.320,0:09:01.360
Logo se este é o lado do ângulo de 60 graus.

0:09:01.360,0:09:04.750
Se sabemos a hipotenusa e que este é um triângulo de 30, 60 e 90 graus

0:09:04.750,0:09:08.080
Saberemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus

0:09:08.080,0:09:10.500
é metade da hipotenusa.

0:09:10.500,0:09:14.010
E sabemos que o lado oposto ao ângulo de 60 graus é

0:09:14.010,0:09:18.410
igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes a hipotenusa.

0:09:18.410,0:09:22.250
No próximo módulo mostrarei como, usando esta informação,

0:09:22.250,0:09:24.120
que talvez queiras ou não memorizar - é provavelmente

0:09:24.120,0:09:26.950
bom memorizar e praticar, porque o deixará

0:09:26.950,0:09:30.850
muito rápido em testes padronizados - como podemos usar esta

0:09:30.850,0:09:34.740
informação para encontrar os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 graus

0:09:34.740,0:09:35.900
muito rapidamente.

0:09:35.900,0:09:37.780
Nos vemos na próxima apresentação.