WEBVTT
00:00:01.500 --> 00:00:03.430
Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním.
00:00:03.430 --> 00:00:06.220
Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit.
00:00:06.220 --> 00:00:10.980
Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících.
00:00:10.980 --> 00:00:15.190
V poslední prezentaci jsme se naučili,
00:00:15.190 --> 00:00:19.830
že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona,
00:00:19.830 --> 00:00:25.600
se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona.
00:00:25.600 --> 00:00:26.850
Vypočítáme si ještě pár úloh.
00:00:26.850 --> 00:00:30.680
Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku
00:00:30.680 --> 00:00:33.010
- Znovu. Toto platí pouze
00:00:33.010 --> 00:00:35.760
pro 45-45-90 trojúhelníky.
00:00:35.760 --> 00:00:37.870
A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte,
00:00:37.870 --> 00:00:39.780
že ten druhý úhel bude také 45 stupňů.
00:00:39.780 --> 00:00:42.960
Kdybych vám řekl,
00:00:42.960 --> 00:00:44.690
že tato přepona je, řekněme, 10...
00:00:44.690 --> 00:00:46.510
- víme, že tohle je přepona,
00:00:46.510 --> 00:00:48.340
protože je naproti pravému úhlu -
00:00:48.340 --> 00:00:50.680
...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x.
00:00:50.680 --> 00:00:54.300
Víme, že x se rovná
00:00:54.300 --> 00:00:55.490
(druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona,
00:00:55.490 --> 00:01:01.440
takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10.
00:01:01.440 --> 00:01:07.700
Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
00:01:07.700 --> 00:01:07.990
Ano?
00:01:07.990 --> 00:01:08.910
10 děleno 2.
00:01:08.910 --> 00:01:12.160
Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
00:01:12.160 --> 00:01:15.630
A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné.
00:01:15.630 --> 00:01:15.900
Ano?
00:01:15.900 --> 00:01:18.490
Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník,
00:01:18.490 --> 00:01:20.280
protože tyto dva úhly jsou stejné.
00:01:20.280 --> 00:01:23.770
Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2.
00:01:23.770 --> 00:01:25.830
A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte.
00:01:25.830 --> 00:01:27.460
Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu.
00:01:27.460 --> 00:01:32.050
Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou
00:01:32.050 --> 00:01:37.420
plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou
00:01:37.420 --> 00:01:39.090
a přepona je 10,
00:01:39.090 --> 00:01:41.130
takže se to rovná 100.
00:01:41.130 --> 00:01:43.170
Nebo je to prostě 25 krát 2,
00:01:43.170 --> 00:01:43.855
což je 50,
00:01:48.250 --> 00:01:49.590
plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.)
00:01:49.590 --> 00:01:51.380
- a to se rovná 100.
00:01:51.380 --> 00:01:53.780
A samozřejmě víme, že je to pravda.
00:01:53.780 --> 00:01:54.620
Fungovalo to.
00:01:54.620 --> 00:01:56.290
Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty
00:01:56.290 --> 00:01:57.740
- takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec.
00:01:57.740 --> 00:01:59.260
()
00:01:59.260 --> 00:02:00.820
Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě),
00:02:00.820 --> 00:02:03.590
jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli.
00:02:03.590 --> 00:02:05.890
Nyní se totiž chystám představit další
00:02:05.890 --> 00:02:06.620
druh trojúhelníků.
00:02:06.620 --> 00:02:11.160
A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu,
00:02:11.160 --> 00:02:14.490
a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme.
00:02:14.490 --> 00:02:16.980
()
00:02:16.980 --> 00:02:18.780
Toto je další druh trojúhelníku
00:02:18.780 --> 00:02:20.140
zvaný 30-60-90 trojúhelník.
00:02:25.550 --> 00:02:28.220
A když mi na to nezbude čas,
00:02:28.220 --> 00:02:31.120
tak udělám další prezentaci.
00:02:31.120 --> 00:02:33.965
Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník.
00:02:38.610 --> 00:02:42.710
Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme.
00:02:42.710 --> 00:02:43.920
Toto je pravý úhel.
00:02:43.920 --> 00:02:48.260
A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů...
00:02:48.260 --> 00:02:49.940
Víme, že úhly v trojúhelníku
00:02:49.940 --> 00:02:51.730
musí v součtu dát 180 stupňů.
00:02:51.730 --> 00:02:56.570
Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x,
00:02:56.570 --> 00:03:02.400
tak x plus 30 plus 90 se rovná 180,
00:03:02.400 --> 00:03:04.310
protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180.
00:03:04.310 --> 00:03:07.770
Víme, že x se rovná 60.
00:03:07.770 --> 00:03:08.600
Ano?
00:03:08.600 --> 00:03:10.870
Takže tento úhel má 60 stupňů.
00:03:10.870 --> 00:03:14.370
A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník,
00:03:14.370 --> 00:03:17.320
protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů.
00:03:17.320 --> 00:03:24.320
A kdybych vám řekl, že přepona je...
00:03:24.320 --> 00:03:27.130
- místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h -
00:03:27.130 --> 00:03:30.020
a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme?
00:03:30.020 --> 00:03:32.700
Můžeme to vypočítat za pomoci
00:03:32.700 --> 00:03:34.210
Pythagorovy věty.
00:03:34.210 --> 00:03:36.410
A teď udělám malý trik.
00:03:36.410 --> 00:03:42.780
Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho
00:03:42.780 --> 00:03:45.990
a nakreslím ho obráceně.
00:03:45.990 --> 00:03:47.950
A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený
00:03:47.950 --> 00:03:48.690
na druhou stranu.
00:03:48.690 --> 00:03:48.910
Ano?
00:03:48.910 --> 00:03:51.040
Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme,
00:03:51.040 --> 00:03:53.140
že tyhle dva úhly jsou vedlejší.
00:03:53.140 --> 00:03:55.890
Mohli byste si zopakovat modul o úhlech,
00:03:55.890 --> 00:03:58.980
jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu,
00:03:58.980 --> 00:04:00.000
dají v součtu 180 stupňů.
00:04:00.000 --> 00:04:01.680
Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90.
00:04:01.680 --> 00:04:02.390
A můžete se na to podívat.
00:04:02.390 --> 00:04:04.010
Dává to smysl.
00:04:04.010 --> 00:04:06.040
A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník
00:04:06.040 --> 00:04:06.890
je úplně stejný jako tenhle trojúhelník.
00:04:06.890 --> 00:04:09.130
Je jen otočený na druhou stranu.
00:04:09.130 --> 00:04:12.400
Víme, že tento úhel je 30 stupňů.
00:04:12.400 --> 00:04:16.510
A také víme, že tento úhel je 60 stupňů.
00:04:16.510 --> 00:04:18.190
Ano?
00:04:18.190 --> 00:04:20.450
Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů,
00:04:20.450 --> 00:04:26.490
tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud
00:04:26.490 --> 00:04:30.230
až sem - je 60 stupňů.
00:04:30.230 --> 00:04:31.770
Ano?
00:04:31.770 --> 00:04:34.760
Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů
00:04:34.760 --> 00:04:38.920
a tenhle vpravo také 60 stupňů,
00:04:38.920 --> 00:04:43.910
tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky,
00:04:43.910 --> 00:04:47.860
víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné,
00:04:47.860 --> 00:04:52.030
tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné.
00:04:52.030 --> 00:04:53.440
Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí?
00:04:53.440 --> 00:04:55.490
Tahle strana a tahle strana.
00:04:55.490 --> 00:04:58.720
Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h.
00:04:58.720 --> 00:05:01.200
Ano?
00:05:01.200 --> 00:05:03.680
Ale tento úhel je také 60 stupňů.
00:05:03.680 --> 00:05:07.600
Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů,
00:05:07.600 --> 00:05:10.760
tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné.
00:05:10.760 --> 00:05:13.800
Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí,
00:05:13.800 --> 00:05:15.370
jsou tato strana a tato strana.
00:05:15.370 --> 00:05:19.460
Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h.
00:05:19.460 --> 00:05:21.270
Ano?
00:05:21.270 --> 00:05:23.470
Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů
00:05:23.470 --> 00:05:26.680
a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé,
00:05:26.680 --> 00:05:27.810
takže to je rovnostranný trojúhelník.
00:05:27.810 --> 00:05:29.670
A to je něco, co byste si měli pamatovat.
00:05:29.670 --> 00:05:32.080
Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník
00:05:32.080 --> 00:05:33.830
je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte.
00:05:33.830 --> 00:05:36.030
Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné
00:05:36.030 --> 00:05:39.370
a všechny strany stejně dlouhé.
00:05:39.370 --> 00:05:40.420
Ale...hmm.
00:05:40.420 --> 00:05:43.090
Když jsme původně řešili tuto úlohu,
00:05:43.090 --> 00:05:44.050
tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku.
00:05:44.050 --> 00:05:48.970
Víme, že celá tahle strana má délku h.
00:05:48.970 --> 00:05:53.670
Ale jestli má celá ta strana délku h,
00:05:53.670 --> 00:05:56.530
tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku)
00:05:56.530 --> 00:05:58.480
- a začmárávám to schválně.
00:05:58.480 --> 00:06:00.490
Zkusili jsme jinou barvu.
00:06:00.490 --> 00:06:02.180
Tohle bude polovina té strany (strany h).
00:06:02.180 --> 00:06:03.460
Ano?
00:06:03.460 --> 00:06:07.890
Protože to je h/2 a tohle je také h/2.
00:06:07.890 --> 00:06:08.770
Přímo tady.
00:06:12.380 --> 00:06:14.990
Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku,
00:06:14.990 --> 00:06:17.730
tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona,
00:06:17.730 --> 00:06:21.540
protože to je strana naproti pravému úhlu.
00:06:21.540 --> 00:06:26.350
Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony.
00:06:26.350 --> 00:06:28.140
A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli?
00:06:28.140 --> 00:06:29.840
Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník,
00:06:29.840 --> 00:06:31.570
čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník.
00:06:31.570 --> 00:06:33.490
Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá
00:06:33.490 --> 00:06:34.490
jako přepona.
00:06:34.490 --> 00:06:36.760
A tohle je polovina z celé té strany,
00:06:36.760 --> 00:06:38.420
takže to je polovina z přepony.
00:06:38.420 --> 00:06:39.090
Pamatujte si to.
00:06:39.090 --> 00:06:43.060
Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony.
00:06:43.060 --> 00:06:46.530
Překreslím to na jiné straně, protože si myslím,
00:06:46.530 --> 00:06:48.120
že to začíná být nepřehledné.
00:06:48.120 --> 00:06:49.880
Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně.
00:06:54.630 --> 00:06:56.570
Tohle je pravý úhel.
00:06:56.570 --> 00:06:59.700
Tohle je přepona - ta strana tady.
00:06:59.700 --> 00:07:05.080
Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili,
00:07:05.080 --> 00:07:09.830
že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá -
00:07:09.830 --> 00:07:12.180
se rovná polovině přepony.
00:07:15.190 --> 00:07:17.300
Když se tohle rovná polovině přepony,
00:07:17.300 --> 00:07:19.450
tak čemu se rovná tato strana?
00:07:19.450 --> 00:07:22.660
V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu.
00:07:22.660 --> 00:07:25.685
Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou -
00:07:25.685 --> 00:07:31.470
pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou.
00:07:31.470 --> 00:07:43.330
Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou.
00:07:43.330 --> 00:07:48.370
Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou,
00:07:48.370 --> 00:07:51.690
se rovná h na druhou.
00:07:51.690 --> 00:07:53.630
Když od obou stran odečteme h na druhou,
00:07:53.630 --> 00:08:01.270
tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4).
00:08:01.270 --> 00:08:07.930
To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4,
00:08:07.930 --> 00:08:14.150
což se rovná 3/4 z h na druhou.
00:08:14.150 --> 00:08:17.110
A znovu...→ to se rovná A na druhou.
00:08:17.110 --> 00:08:19.710
Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem.
00:08:19.710 --> 00:08:21.730
()
00:08:21.730 --> 00:08:27.170
Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná...
00:08:27.170 --> 00:08:30.920
- odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2
00:08:30.920 --> 00:08:36.270
()
00:08:36.270 --> 00:08:40.510
a odmocnina z h na druhou je prostě h.
00:08:41.430 --> 00:08:42.350
Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu).
00:08:42.350 --> 00:08:43.990
Tohle rozhoduje o délce strany.
00:08:43.990 --> 00:08:45.630
Asi jsem neměl použít A.
00:08:45.630 --> 00:08:53.070
Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h.
00:08:53.070 --> 00:08:53.670
Takže tak.
00:08:53.670 --> 00:08:56.320
Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě.
00:08:56.320 --> 00:08:59.320
()
00:08:59.320 --> 00:09:01.360
Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů-
00:09:01.360 --> 00:09:04.750
Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník,
00:09:04.750 --> 00:09:08.080
tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů
00:09:08.080 --> 00:09:10.500
je polovina přepony.
00:09:10.500 --> 00:09:14.010
A víme, že strana naproti 60 stupňů
00:09:14.010 --> 00:09:18.410
je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona.
00:09:18.410 --> 00:09:22.250
V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat.
00:09:22.250 --> 00:09:24.120
Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to,
00:09:24.120 --> 00:09:26.950
protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech.
00:09:26.950 --> 00:09:30.850
→ Jak použít tuhle informaci,
00:09:30.850 --> 00:09:34.740
abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku.
00:09:34.740 --> 00:09:35.900
()
00:09:35.900 --> 00:09:37.780
Uvidíme se u další prezentace.