Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním.
Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit.
Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících.
V poslední prezentaci jsme se naučili,
že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona,
se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona.
Vypočítáme si ještě pár úloh.
Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku
- Znovu. Toto platí pouze
pro 45-45-90 trojúhelníky.
A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte,
že ten druhý úhel bude také 45 stupňů.
Kdybych vám řekl,
že tato přepona je, řekněme, 10...
- víme, že tohle je přepona,
protože je naproti pravému úhlu -
...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x.
Víme, že x se rovná
(druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona,
takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10.
Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
Ano?
10 děleno 2.
Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné.
Ano?
Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník,
protože tyto dva úhly jsou stejné.
Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2.
A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte.
Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu.
Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou
plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou
a přepona je 10,
takže se to rovná 100.
Nebo je to prostě 25 krát 2,
což je 50,
plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.)
- a to se rovná 100.
A samozřejmě víme, že je to pravda.
Fungovalo to.
Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty
- takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec.
()
Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě),
jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli.
Nyní se totiž chystám představit další
druh trojúhelníků.
A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu,
a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme.
()
Toto je další druh trojúhelníku
zvaný 30-60-90 trojúhelník.
A když mi na to nezbude čas,
tak udělám další prezentaci.
Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník.
Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme.
Toto je pravý úhel.
A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů...
Víme, že úhly v trojúhelníku
musí v součtu dát 180 stupňů.
Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x,
tak x plus 30 plus 90 se rovná 180,
protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180.
Víme, že x se rovná 60.
Ano?
Takže tento úhel má 60 stupňů.
A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník,
protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů.
A kdybych vám řekl, že přepona je...
- místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h -
a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme?
Můžeme to vypočítat za pomoci
Pythagorovy věty.
A teď udělám malý trik.
Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho
a nakreslím ho obráceně.
A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený
na druhou stranu.
Ano?
Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme,
že tyhle dva úhly jsou vedlejší.
Mohli byste si zopakovat modul o úhlech,
jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu,
dají v součtu 180 stupňů.
Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90.
A můžete se na to podívat.
Dává to smysl.
A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník
je úplně stejný jako tenhle trojúhelník.
Je jen otočený na druhou stranu.
Víme, že tento úhel je 30 stupňů.
A také víme, že tento úhel je 60 stupňů.
Ano?
Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů,
tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud
až sem - je 60 stupňů.
Ano?
Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů
a tenhle vpravo také 60 stupňů,
tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky,
víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné,
tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné.
Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí?
Tahle strana a tahle strana.
Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h.
Ano?
Ale tento úhel je také 60 stupňů.
Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů,
tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné.
Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí,
jsou tato strana a tato strana.
Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h.
Ano?
Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů
a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé,
takže to je rovnostranný trojúhelník.
A to je něco, co byste si měli pamatovat.
Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník
je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte.
Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné
a všechny strany stejně dlouhé.
Ale...hmm.
Když jsme původně řešili tuto úlohu,
tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku.
Víme, že celá tahle strana má délku h.
Ale jestli má celá ta strana délku h,
tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku)
- a začmárávám to schválně.
Zkusili jsme jinou barvu.
Tohle bude polovina té strany (strany h).
Ano?
Protože to je h/2 a tohle je také h/2.
Přímo tady.
Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku,
tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona,
protože to je strana naproti pravému úhlu.
Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony.
A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli?
Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník,
čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník.
Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá
jako přepona.
A tohle je polovina z celé té strany,
takže to je polovina z přepony.
Pamatujte si to.
Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony.
Překreslím to na jiné straně, protože si myslím,
že to začíná být nepřehledné.
Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně.
Tohle je pravý úhel.
Tohle je přepona - ta strana tady.
Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili,
že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá -
se rovná polovině přepony.
Když se tohle rovná polovině přepony,
tak čemu se rovná tato strana?
V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu.
Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou -
pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou.
Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou.
Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou,
se rovná h na druhou.
Když od obou stran odečteme h na druhou,
tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4).
To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4,
což se rovná 3/4 z h na druhou.
A znovu...→ to se rovná A na druhou.
Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem.
()
Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná...
- odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2
()
a odmocnina z h na druhou je prostě h.
Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu).
Tohle rozhoduje o délce strany.
Asi jsem neměl použít A.
Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h.
Takže tak.
Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě.
()
Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů-
Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník,
tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů
je polovina přepony.
A víme, že strana naproti 60 stupňů
je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona.
V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat.
Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to,
protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech.
→ Jak použít tuhle informaci,
abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku.
()
Uvidíme se u další prezentace.