Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním. Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit. Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících. V poslední prezentaci jsme se naučili, že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona, se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona. Vypočítáme si ještě pár úloh. Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku - Znovu. Toto platí pouze pro 45-45-90 trojúhelníky. A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte, že ten druhý úhel bude také 45 stupňů. Kdybych vám řekl, že tato přepona je, řekněme, 10... - víme, že tohle je přepona, protože je naproti pravému úhlu - ...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x. Víme, že x se rovná (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona, takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10. Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2. Ano? 10 děleno 2. Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2. A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné. Ano? Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník, protože tyto dva úhly jsou stejné. Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2. A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte. Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu. Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou a přepona je 10, takže se to rovná 100. Nebo je to prostě 25 krát 2, což je 50, plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.) - a to se rovná 100. A samozřejmě víme, že je to pravda. Fungovalo to. Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty - takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec. () Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě), jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli. Nyní se totiž chystám představit další druh trojúhelníků. A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu, a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme. () Toto je další druh trojúhelníku zvaný 30-60-90 trojúhelník. A když mi na to nezbude čas, tak udělám další prezentaci. Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník. Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme. Toto je pravý úhel. A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů... Víme, že úhly v trojúhelníku musí v součtu dát 180 stupňů. Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x, tak x plus 30 plus 90 se rovná 180, protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180. Víme, že x se rovná 60. Ano? Takže tento úhel má 60 stupňů. A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník, protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů. A kdybych vám řekl, že přepona je... - místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h - a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme? Můžeme to vypočítat za pomoci Pythagorovy věty. A teď udělám malý trik. Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho a nakreslím ho obráceně. A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený na druhou stranu. Ano? Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme, že tyhle dva úhly jsou vedlejší. Mohli byste si zopakovat modul o úhlech, jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu, dají v součtu 180 stupňů. Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90. A můžete se na to podívat. Dává to smysl. A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník je úplně stejný jako tenhle trojúhelník. Je jen otočený na druhou stranu. Víme, že tento úhel je 30 stupňů. A také víme, že tento úhel je 60 stupňů. Ano? Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů, tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud až sem - je 60 stupňů. Ano? Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů a tenhle vpravo také 60 stupňů, tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky, víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné, tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné. Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí? Tahle strana a tahle strana. Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h. Ano? Ale tento úhel je také 60 stupňů. Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů, tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné. Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí, jsou tato strana a tato strana. Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h. Ano? Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé, takže to je rovnostranný trojúhelník. A to je něco, co byste si měli pamatovat. Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte. Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné a všechny strany stejně dlouhé. Ale...hmm. Když jsme původně řešili tuto úlohu, tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku. Víme, že celá tahle strana má délku h. Ale jestli má celá ta strana délku h, tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku) - a začmárávám to schválně. Zkusili jsme jinou barvu. Tohle bude polovina té strany (strany h). Ano? Protože to je h/2 a tohle je také h/2. Přímo tady. Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku, tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona, protože to je strana naproti pravému úhlu. Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony. A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli? Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník, čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník. Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá jako přepona. A tohle je polovina z celé té strany, takže to je polovina z přepony. Pamatujte si to. Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony. Překreslím to na jiné straně, protože si myslím, že to začíná být nepřehledné. Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně. Tohle je pravý úhel. Tohle je přepona - ta strana tady. Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili, že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá - se rovná polovině přepony. Když se tohle rovná polovině přepony, tak čemu se rovná tato strana? V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu. Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou - pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou. Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou. Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou, se rovná h na druhou. Když od obou stran odečteme h na druhou, tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4). To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4, což se rovná 3/4 z h na druhou. A znovu...→ to se rovná A na druhou. Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem. () Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná... - odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2 () a odmocnina z h na druhou je prostě h. Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu). Tohle rozhoduje o délce strany. Asi jsem neměl použít A. Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h. Takže tak. Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě. () Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů- Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník, tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony. A víme, že strana naproti 60 stupňů je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona. V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat. Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to, protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech. → Jak použít tuhle informaci, abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku. () Uvidíme se u další prezentace.