1
00:00:01,500 --> 00:00:03,430
Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním.
2
00:00:03,430 --> 00:00:06,220
Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit.
3
00:00:06,220 --> 00:00:10,980
Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících.
4
00:00:10,980 --> 00:00:15,190
V poslední prezentaci jsme se naučili,
5
00:00:15,190 --> 00:00:19,830
že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona,
6
00:00:19,830 --> 00:00:25,600
se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona.
7
00:00:25,600 --> 00:00:26,850
Vypočítáme si ještě pár úloh.
8
00:00:26,850 --> 00:00:30,680
Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku
9
00:00:30,680 --> 00:00:33,010
- Znovu. Toto platí pouze
10
00:00:33,010 --> 00:00:35,760
pro 45-45-90 trojúhelníky.
11
00:00:35,760 --> 00:00:37,870
A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte,
12
00:00:37,870 --> 00:00:39,780
že ten druhý úhel bude také 45 stupňů.
13
00:00:39,780 --> 00:00:42,960
Kdybych vám řekl,
14
00:00:42,960 --> 00:00:44,690
že tato přepona je, řekněme, 10...
15
00:00:44,690 --> 00:00:46,510
- víme, že tohle je přepona,
16
00:00:46,510 --> 00:00:48,340
protože je naproti pravému úhlu -
17
00:00:48,340 --> 00:00:50,680
...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x.
18
00:00:50,680 --> 00:00:54,300
Víme, že x se rovná
19
00:00:54,300 --> 00:00:55,490
(druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona,
20
00:00:55,490 --> 00:01:01,440
takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10.
21
00:01:01,440 --> 00:01:07,700
Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
22
00:01:07,700 --> 00:01:07,990
Ano?
23
00:01:07,990 --> 00:01:08,910
10 děleno 2.
24
00:01:08,910 --> 00:01:12,160
Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.
25
00:01:12,160 --> 00:01:15,630
A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné.
26
00:01:15,630 --> 00:01:15,900
Ano?
27
00:01:15,900 --> 00:01:18,490
Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník,
28
00:01:18,490 --> 00:01:20,280
protože tyto dva úhly jsou stejné.
29
00:01:20,280 --> 00:01:23,770
Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2.
30
00:01:23,770 --> 00:01:25,830
A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte.
31
00:01:25,830 --> 00:01:27,460
Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu.
32
00:01:27,460 --> 00:01:32,050
Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou
33
00:01:32,050 --> 00:01:37,420
plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou
34
00:01:37,420 --> 00:01:39,090
a přepona je 10,
35
00:01:39,090 --> 00:01:41,130
takže se to rovná 100.
36
00:01:41,130 --> 00:01:43,170
Nebo je to prostě 25 krát 2,
37
00:01:43,170 --> 00:01:43,855
což je 50,
38
00:01:48,250 --> 00:01:49,590
plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.)
39
00:01:49,590 --> 00:01:51,380
- a to se rovná 100.
40
00:01:51,380 --> 00:01:53,780
A samozřejmě víme, že je to pravda.
41
00:01:53,780 --> 00:01:54,620
Fungovalo to.
42
00:01:54,620 --> 00:01:56,290
Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty
43
00:01:56,290 --> 00:01:57,740
- takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec.
44
00:01:57,740 --> 00:01:59,260
()
45
00:01:59,260 --> 00:02:00,820
Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě),
46
00:02:00,820 --> 00:02:03,590
jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli.
47
00:02:03,590 --> 00:02:05,890
Nyní se totiž chystám představit další
48
00:02:05,890 --> 00:02:06,620
druh trojúhelníků.
49
00:02:06,620 --> 00:02:11,160
A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu,
50
00:02:11,160 --> 00:02:14,490
a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme.
51
00:02:14,490 --> 00:02:16,980
()
52
00:02:16,980 --> 00:02:18,780
Toto je další druh trojúhelníku
53
00:02:18,780 --> 00:02:20,140
zvaný 30-60-90 trojúhelník.
54
00:02:25,550 --> 00:02:28,220
A když mi na to nezbude čas,
55
00:02:28,220 --> 00:02:31,120
tak udělám další prezentaci.
56
00:02:31,120 --> 00:02:33,965
Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník.
57
00:02:38,610 --> 00:02:42,710
Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme.
58
00:02:42,710 --> 00:02:43,920
Toto je pravý úhel.
59
00:02:43,920 --> 00:02:48,260
A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů...
60
00:02:48,260 --> 00:02:49,940
Víme, že úhly v trojúhelníku
61
00:02:49,940 --> 00:02:51,730
musí v součtu dát 180 stupňů.
62
00:02:51,730 --> 00:02:56,570
Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x,
63
00:02:56,570 --> 00:03:02,400
tak x plus 30 plus 90 se rovná 180,
64
00:03:02,400 --> 00:03:04,310
protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180.
65
00:03:04,310 --> 00:03:07,770
Víme, že x se rovná 60.
66
00:03:07,770 --> 00:03:08,600
Ano?
67
00:03:08,600 --> 00:03:10,870
Takže tento úhel má 60 stupňů.
68
00:03:10,870 --> 00:03:14,370
A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník,
69
00:03:14,370 --> 00:03:17,320
protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů.
70
00:03:17,320 --> 00:03:24,320
A kdybych vám řekl, že přepona je...
71
00:03:24,320 --> 00:03:27,130
- místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h -
72
00:03:27,130 --> 00:03:30,020
a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme?
73
00:03:30,020 --> 00:03:32,700
Můžeme to vypočítat za pomoci
74
00:03:32,700 --> 00:03:34,210
Pythagorovy věty.
75
00:03:34,210 --> 00:03:36,410
A teď udělám malý trik.
76
00:03:36,410 --> 00:03:42,780
Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho
77
00:03:42,780 --> 00:03:45,990
a nakreslím ho obráceně.
78
00:03:45,990 --> 00:03:47,950
A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený
79
00:03:47,950 --> 00:03:48,690
na druhou stranu.
80
00:03:48,690 --> 00:03:48,910
Ano?
81
00:03:48,910 --> 00:03:51,040
Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme,
82
00:03:51,040 --> 00:03:53,140
že tyhle dva úhly jsou vedlejší.
83
00:03:53,140 --> 00:03:55,890
Mohli byste si zopakovat modul o úhlech,
84
00:03:55,890 --> 00:03:58,980
jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu,
85
00:03:58,980 --> 00:04:00,000
dají v součtu 180 stupňů.
86
00:04:00,000 --> 00:04:01,680
Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90.
87
00:04:01,680 --> 00:04:02,390
A můžete se na to podívat.
88
00:04:02,390 --> 00:04:04,010
Dává to smysl.
89
00:04:04,010 --> 00:04:06,040
A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník
90
00:04:06,040 --> 00:04:06,890
je úplně stejný jako tenhle trojúhelník.
91
00:04:06,890 --> 00:04:09,130
Je jen otočený na druhou stranu.
92
00:04:09,130 --> 00:04:12,400
Víme, že tento úhel je 30 stupňů.
93
00:04:12,400 --> 00:04:16,510
A také víme, že tento úhel je 60 stupňů.
94
00:04:16,510 --> 00:04:18,190
Ano?
95
00:04:18,190 --> 00:04:20,450
Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů,
96
00:04:20,450 --> 00:04:26,490
tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud
97
00:04:26,490 --> 00:04:30,230
až sem - je 60 stupňů.
98
00:04:30,230 --> 00:04:31,770
Ano?
99
00:04:31,770 --> 00:04:34,760
Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů
100
00:04:34,760 --> 00:04:38,920
a tenhle vpravo také 60 stupňů,
101
00:04:38,920 --> 00:04:43,910
tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky,
102
00:04:43,910 --> 00:04:47,860
víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné,
103
00:04:47,860 --> 00:04:52,030
tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné.
104
00:04:52,030 --> 00:04:53,440
Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí?
105
00:04:53,440 --> 00:04:55,490
Tahle strana a tahle strana.
106
00:04:55,490 --> 00:04:58,720
Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h.
107
00:04:58,720 --> 00:05:01,200
Ano?
108
00:05:01,200 --> 00:05:03,680
Ale tento úhel je také 60 stupňů.
109
00:05:03,680 --> 00:05:07,600
Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů,
110
00:05:07,600 --> 00:05:10,760
tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné.
111
00:05:10,760 --> 00:05:13,800
Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí,
112
00:05:13,800 --> 00:05:15,370
jsou tato strana a tato strana.
113
00:05:15,370 --> 00:05:19,460
Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h.
114
00:05:19,460 --> 00:05:21,270
Ano?
115
00:05:21,270 --> 00:05:23,470
Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů
116
00:05:23,470 --> 00:05:26,680
a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé,
117
00:05:26,680 --> 00:05:27,810
takže to je rovnostranný trojúhelník.
118
00:05:27,810 --> 00:05:29,670
A to je něco, co byste si měli pamatovat.
119
00:05:29,670 --> 00:05:32,080
Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník
120
00:05:32,080 --> 00:05:33,830
je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte.
121
00:05:33,830 --> 00:05:36,030
Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné
122
00:05:36,030 --> 00:05:39,370
a všechny strany stejně dlouhé.
123
00:05:39,370 --> 00:05:40,420
Ale...hmm.
124
00:05:40,420 --> 00:05:43,090
Když jsme původně řešili tuto úlohu,
125
00:05:43,090 --> 00:05:44,050
tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku.
126
00:05:44,050 --> 00:05:48,970
Víme, že celá tahle strana má délku h.
127
00:05:48,970 --> 00:05:53,670
Ale jestli má celá ta strana délku h,
128
00:05:53,670 --> 00:05:56,530
tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku)
129
00:05:56,530 --> 00:05:58,480
- a začmárávám to schválně.
130
00:05:58,480 --> 00:06:00,490
Zkusili jsme jinou barvu.
131
00:06:00,490 --> 00:06:02,180
Tohle bude polovina té strany (strany h).
132
00:06:02,180 --> 00:06:03,460
Ano?
133
00:06:03,460 --> 00:06:07,890
Protože to je h/2 a tohle je také h/2.
134
00:06:07,890 --> 00:06:08,770
Přímo tady.
135
00:06:12,380 --> 00:06:14,990
Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku,
136
00:06:14,990 --> 00:06:17,730
tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona,
137
00:06:17,730 --> 00:06:21,540
protože to je strana naproti pravému úhlu.
138
00:06:21,540 --> 00:06:26,350
Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony.
139
00:06:26,350 --> 00:06:28,140
A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli?
140
00:06:28,140 --> 00:06:29,840
Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník,
141
00:06:29,840 --> 00:06:31,570
čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník.
142
00:06:31,570 --> 00:06:33,490
Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá
143
00:06:33,490 --> 00:06:34,490
jako přepona.
144
00:06:34,490 --> 00:06:36,760
A tohle je polovina z celé té strany,
145
00:06:36,760 --> 00:06:38,420
takže to je polovina z přepony.
146
00:06:38,420 --> 00:06:39,090
Pamatujte si to.
147
00:06:39,090 --> 00:06:43,060
Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony.
148
00:06:43,060 --> 00:06:46,530
Překreslím to na jiné straně, protože si myslím,
149
00:06:46,530 --> 00:06:48,120
že to začíná být nepřehledné.
150
00:06:48,120 --> 00:06:49,880
Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně.
151
00:06:54,630 --> 00:06:56,570
Tohle je pravý úhel.
152
00:06:56,570 --> 00:06:59,700
Tohle je přepona - ta strana tady.
153
00:06:59,700 --> 00:07:05,080
Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili,
154
00:07:05,080 --> 00:07:09,830
že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá -
155
00:07:09,830 --> 00:07:12,180
se rovná polovině přepony.
156
00:07:15,190 --> 00:07:17,300
Když se tohle rovná polovině přepony,
157
00:07:17,300 --> 00:07:19,450
tak čemu se rovná tato strana?
158
00:07:19,450 --> 00:07:22,660
V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu.
159
00:07:22,660 --> 00:07:25,685
Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou -
160
00:07:25,685 --> 00:07:31,470
pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou.
161
00:07:31,470 --> 00:07:43,330
Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou.
162
00:07:43,330 --> 00:07:48,370
Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou,
163
00:07:48,370 --> 00:07:51,690
se rovná h na druhou.
164
00:07:51,690 --> 00:07:53,630
Když od obou stran odečteme h na druhou,
165
00:07:53,630 --> 00:08:01,270
tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4).
166
00:08:01,270 --> 00:08:07,930
To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4,
167
00:08:07,930 --> 00:08:14,150
což se rovná 3/4 z h na druhou.
168
00:08:14,150 --> 00:08:17,110
A znovu...→ to se rovná A na druhou.
169
00:08:17,110 --> 00:08:19,710
Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem.
170
00:08:19,710 --> 00:08:21,730
()
171
00:08:21,730 --> 00:08:27,170
Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná...
172
00:08:27,170 --> 00:08:30,920
- odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2
173
00:08:30,920 --> 00:08:36,270
()
174
00:08:36,270 --> 00:08:40,510
a odmocnina z h na druhou je prostě h.
175
00:08:41,430 --> 00:08:42,350
Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu).
176
00:08:42,350 --> 00:08:43,990
Tohle rozhoduje o délce strany.
177
00:08:43,990 --> 00:08:45,630
Asi jsem neměl použít A.
178
00:08:45,630 --> 00:08:53,070
Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h.
179
00:08:53,070 --> 00:08:53,670
Takže tak.
180
00:08:53,670 --> 00:08:56,320
Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě.
181
00:08:56,320 --> 00:08:59,320
()
182
00:08:59,320 --> 00:09:01,360
Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů-
183
00:09:01,360 --> 00:09:04,750
Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník,
184
00:09:04,750 --> 00:09:08,080
tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů
185
00:09:08,080 --> 00:09:10,500
je polovina přepony.
186
00:09:10,500 --> 00:09:14,010
A víme, že strana naproti 60 stupňů
187
00:09:14,010 --> 00:09:18,410
je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona.
188
00:09:18,410 --> 00:09:22,250
V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat.
189
00:09:22,250 --> 00:09:24,120
Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to,
190
00:09:24,120 --> 00:09:26,950
protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech.
191
00:09:26,950 --> 00:09:30,850
→ Jak použít tuhle informaci,
192
00:09:30,850 --> 00:09:34,740
abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku.
193
00:09:34,740 --> 00:09:35,900
()
194
00:09:35,900 --> 00:09:37,780
Uvidíme se u další prezentace.