0:00:01.500,0:00:03.430 Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním. 0:00:03.430,0:00:06.220 Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit. 0:00:06.220,0:00:10.980 Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících. 0:00:10.980,0:00:15.190 V poslední prezentaci jsme se naučili, 0:00:15.190,0:00:19.830 že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona, 0:00:19.830,0:00:25.600 se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona. 0:00:25.600,0:00:26.850 Vypočítáme si ještě pár úloh. 0:00:26.850,0:00:30.680 Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku 0:00:30.680,0:00:33.010 - Znovu. Toto platí pouze 0:00:33.010,0:00:35.760 pro 45-45-90 trojúhelníky. 0:00:35.760,0:00:37.870 A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte, 0:00:37.870,0:00:39.780 že ten druhý úhel bude také 45 stupňů. 0:00:39.780,0:00:42.960 Kdybych vám řekl, 0:00:42.960,0:00:44.690 že tato přepona je, řekněme, 10... 0:00:44.690,0:00:46.510 - víme, že tohle je přepona, 0:00:46.510,0:00:48.340 protože je naproti pravému úhlu - 0:00:48.340,0:00:50.680 ...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x. 0:00:50.680,0:00:54.300 Víme, že x se rovná 0:00:54.300,0:00:55.490 (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona, 0:00:55.490,0:01:01.440 takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10. 0:01:01.440,0:01:07.700 Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2. 0:01:07.700,0:01:07.990 Ano? 0:01:07.990,0:01:08.910 10 děleno 2. 0:01:08.910,0:01:12.160 Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2. 0:01:12.160,0:01:15.630 A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné. 0:01:15.630,0:01:15.900 Ano? 0:01:15.900,0:01:18.490 Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník, 0:01:18.490,0:01:20.280 protože tyto dva úhly jsou stejné. 0:01:20.280,0:01:23.770 Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2. 0:01:23.770,0:01:25.830 A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte. 0:01:25.830,0:01:27.460 Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu. 0:01:27.460,0:01:32.050 Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou 0:01:32.050,0:01:37.420 plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou 0:01:37.420,0:01:39.090 a přepona je 10, 0:01:39.090,0:01:41.130 takže se to rovná 100. 0:01:41.130,0:01:43.170 Nebo je to prostě 25 krát 2, 0:01:43.170,0:01:43.855 což je 50, 0:01:48.250,0:01:49.590 plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.) 0:01:49.590,0:01:51.380 - a to se rovná 100. 0:01:51.380,0:01:53.780 A samozřejmě víme, že je to pravda. 0:01:53.780,0:01:54.620 Fungovalo to. 0:01:54.620,0:01:56.290 Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty 0:01:56.290,0:01:57.740 - takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec. 0:01:57.740,0:01:59.260 () 0:01:59.260,0:02:00.820 Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě), 0:02:00.820,0:02:03.590 jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli. 0:02:03.590,0:02:05.890 Nyní se totiž chystám představit další 0:02:05.890,0:02:06.620 druh trojúhelníků. 0:02:06.620,0:02:11.160 A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu, 0:02:11.160,0:02:14.490 a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme. 0:02:14.490,0:02:16.980 () 0:02:16.980,0:02:18.780 Toto je další druh trojúhelníku 0:02:18.780,0:02:20.140 zvaný 30-60-90 trojúhelník. 0:02:25.550,0:02:28.220 A když mi na to nezbude čas, 0:02:28.220,0:02:31.120 tak udělám další prezentaci. 0:02:31.120,0:02:33.965 Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník. 0:02:38.610,0:02:42.710 Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme. 0:02:42.710,0:02:43.920 Toto je pravý úhel. 0:02:43.920,0:02:48.260 A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů... 0:02:48.260,0:02:49.940 Víme, že úhly v trojúhelníku 0:02:49.940,0:02:51.730 musí v součtu dát 180 stupňů. 0:02:51.730,0:02:56.570 Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x, 0:02:56.570,0:03:02.400 tak x plus 30 plus 90 se rovná 180, 0:03:02.400,0:03:04.310 protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180. 0:03:04.310,0:03:07.770 Víme, že x se rovná 60. 0:03:07.770,0:03:08.600 Ano? 0:03:08.600,0:03:10.870 Takže tento úhel má 60 stupňů. 0:03:10.870,0:03:14.370 A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník, 0:03:14.370,0:03:17.320 protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů. 0:03:17.320,0:03:24.320 A kdybych vám řekl, že přepona je... 0:03:24.320,0:03:27.130 - místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h - 0:03:27.130,0:03:30.020 a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme? 0:03:30.020,0:03:32.700 Můžeme to vypočítat za pomoci 0:03:32.700,0:03:34.210 Pythagorovy věty. 0:03:34.210,0:03:36.410 A teď udělám malý trik. 0:03:36.410,0:03:42.780 Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho 0:03:42.780,0:03:45.990 a nakreslím ho obráceně. 0:03:45.990,0:03:47.950 A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený 0:03:47.950,0:03:48.690 na druhou stranu. 0:03:48.690,0:03:48.910 Ano? 0:03:48.910,0:03:51.040 Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme, 0:03:51.040,0:03:53.140 že tyhle dva úhly jsou vedlejší. 0:03:53.140,0:03:55.890 Mohli byste si zopakovat modul o úhlech, 0:03:55.890,0:03:58.980 jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu, 0:03:58.980,0:04:00.000 dají v součtu 180 stupňů. 0:04:00.000,0:04:01.680 Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90. 0:04:01.680,0:04:02.390 A můžete se na to podívat. 0:04:02.390,0:04:04.010 Dává to smysl. 0:04:04.010,0:04:06.040 A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník 0:04:06.040,0:04:06.890 je úplně stejný jako tenhle trojúhelník. 0:04:06.890,0:04:09.130 Je jen otočený na druhou stranu. 0:04:09.130,0:04:12.400 Víme, že tento úhel je 30 stupňů. 0:04:12.400,0:04:16.510 A také víme, že tento úhel je 60 stupňů. 0:04:16.510,0:04:18.190 Ano? 0:04:18.190,0:04:20.450 Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů, 0:04:20.450,0:04:26.490 tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud 0:04:26.490,0:04:30.230 až sem - je 60 stupňů. 0:04:30.230,0:04:31.770 Ano? 0:04:31.770,0:04:34.760 Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů 0:04:34.760,0:04:38.920 a tenhle vpravo také 60 stupňů, 0:04:38.920,0:04:43.910 tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky, 0:04:43.910,0:04:47.860 víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné, 0:04:47.860,0:04:52.030 tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné. 0:04:52.030,0:04:53.440 Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí? 0:04:53.440,0:04:55.490 Tahle strana a tahle strana. 0:04:55.490,0:04:58.720 Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h. 0:04:58.720,0:05:01.200 Ano? 0:05:01.200,0:05:03.680 Ale tento úhel je také 60 stupňů. 0:05:03.680,0:05:07.600 Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů, 0:05:07.600,0:05:10.760 tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné. 0:05:10.760,0:05:13.800 Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí, 0:05:13.800,0:05:15.370 jsou tato strana a tato strana. 0:05:15.370,0:05:19.460 Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h. 0:05:19.460,0:05:21.270 Ano? 0:05:21.270,0:05:23.470 Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů 0:05:23.470,0:05:26.680 a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé, 0:05:26.680,0:05:27.810 takže to je rovnostranný trojúhelník. 0:05:27.810,0:05:29.670 A to je něco, co byste si měli pamatovat. 0:05:29.670,0:05:32.080 Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník 0:05:32.080,0:05:33.830 je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte. 0:05:33.830,0:05:36.030 Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné 0:05:36.030,0:05:39.370 a všechny strany stejně dlouhé. 0:05:39.370,0:05:40.420 Ale...hmm. 0:05:40.420,0:05:43.090 Když jsme původně řešili tuto úlohu, 0:05:43.090,0:05:44.050 tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku. 0:05:44.050,0:05:48.970 Víme, že celá tahle strana má délku h. 0:05:48.970,0:05:53.670 Ale jestli má celá ta strana délku h, 0:05:53.670,0:05:56.530 tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku) 0:05:56.530,0:05:58.480 - a začmárávám to schválně. 0:05:58.480,0:06:00.490 Zkusili jsme jinou barvu. 0:06:00.490,0:06:02.180 Tohle bude polovina té strany (strany h). 0:06:02.180,0:06:03.460 Ano? 0:06:03.460,0:06:07.890 Protože to je h/2 a tohle je také h/2. 0:06:07.890,0:06:08.770 Přímo tady. 0:06:12.380,0:06:14.990 Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku, 0:06:14.990,0:06:17.730 tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona, 0:06:17.730,0:06:21.540 protože to je strana naproti pravému úhlu. 0:06:21.540,0:06:26.350 Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony. 0:06:26.350,0:06:28.140 A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli? 0:06:28.140,0:06:29.840 Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník, 0:06:29.840,0:06:31.570 čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník. 0:06:31.570,0:06:33.490 Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá 0:06:33.490,0:06:34.490 jako přepona. 0:06:34.490,0:06:36.760 A tohle je polovina z celé té strany, 0:06:36.760,0:06:38.420 takže to je polovina z přepony. 0:06:38.420,0:06:39.090 Pamatujte si to. 0:06:39.090,0:06:43.060 Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony. 0:06:43.060,0:06:46.530 Překreslím to na jiné straně, protože si myslím, 0:06:46.530,0:06:48.120 že to začíná být nepřehledné. 0:06:48.120,0:06:49.880 Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně. 0:06:54.630,0:06:56.570 Tohle je pravý úhel. 0:06:56.570,0:06:59.700 Tohle je přepona - ta strana tady. 0:06:59.700,0:07:05.080 Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili, 0:07:05.080,0:07:09.830 že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá - 0:07:09.830,0:07:12.180 se rovná polovině přepony. 0:07:15.190,0:07:17.300 Když se tohle rovná polovině přepony, 0:07:17.300,0:07:19.450 tak čemu se rovná tato strana? 0:07:19.450,0:07:22.660 V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu. 0:07:22.660,0:07:25.685 Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou - 0:07:25.685,0:07:31.470 pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou. 0:07:31.470,0:07:43.330 Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou. 0:07:43.330,0:07:48.370 Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou, 0:07:48.370,0:07:51.690 se rovná h na druhou. 0:07:51.690,0:07:53.630 Když od obou stran odečteme h na druhou, 0:07:53.630,0:08:01.270 tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4). 0:08:01.270,0:08:07.930 To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4, 0:08:07.930,0:08:14.150 což se rovná 3/4 z h na druhou. 0:08:14.150,0:08:17.110 A znovu...→ to se rovná A na druhou. 0:08:17.110,0:08:19.710 Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem. 0:08:19.710,0:08:21.730 () 0:08:21.730,0:08:27.170 Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná... 0:08:27.170,0:08:30.920 - odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2 0:08:30.920,0:08:36.270 () 0:08:36.270,0:08:40.510 a odmocnina z h na druhou je prostě h. 0:08:41.430,0:08:42.350 Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu). 0:08:42.350,0:08:43.990 Tohle rozhoduje o délce strany. 0:08:43.990,0:08:45.630 Asi jsem neměl použít A. 0:08:45.630,0:08:53.070 Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h. 0:08:53.070,0:08:53.670 Takže tak. 0:08:53.670,0:08:56.320 Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě. 0:08:56.320,0:08:59.320 () 0:08:59.320,0:09:01.360 Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů- 0:09:01.360,0:09:04.750 Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník, 0:09:04.750,0:09:08.080 tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů 0:09:08.080,0:09:10.500 je polovina přepony. 0:09:10.500,0:09:14.010 A víme, že strana naproti 60 stupňů 0:09:14.010,0:09:18.410 je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona. 0:09:18.410,0:09:22.250 V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat. 0:09:22.250,0:09:24.120 Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to, 0:09:24.120,0:09:26.950 protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech. 0:09:26.950,0:09:30.850 → Jak použít tuhle informaci, 0:09:30.850,0:09:34.740 abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku. 0:09:34.740,0:09:35.900 () 0:09:35.900,0:09:37.780 Uvidíme se u další prezentace.