ลองดูตัวอย่างกันดีกว่า
แค่ให้เรามั่นใจว่าเราเข้าใจฟังก์ชันตรีโกณฯ นี่ดีพอ
ลองสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมา
ผมอยากให้มันชัดเจน
วิธีที่ผมนิยามมันขึ้นมา, มันใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
หากคุณพยายามหาฟังก์ชันตรีโกณฯ ของมุมที่ไม่ได้อยู่ในสามเหลี่ยมมุมฉาก,
เราจะเห็นว่าเราต้องสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน,
แต่ตอนนี้ดูแค่สามเหลี่ยมมุมฉากก่อนนะ
สมมุติว่าผมมีสามเหลี่ยม
โดยสมมุติว่าความยาวนี่ตรงนี้คือ 7,
และสมมุติว่าความยาวด้านนี่บนนี้,
สมมุติว่ายาว 4
ลองหาว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเท่าไหร่
เรารู้ว่า -- เรียกด้านตรงข้ามมุมฉากว่า 'h' แล้วกัน --
เรารู้ว่า h กำลังสอง จะเท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง
เรารู้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรัส
ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง เท่ากับ
กำลังสองของแต่ละด้าน ผลรวมของแต่ละด้านที่เหลือกำลังสอง
h กำลังสอง เท่ากับ 7 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง
นี่ก็เท่ากับ 49 บวก 16
49 บวก 16
49 บวก 10 คือ 49, บวก 6 ได้ 65
มันคือ 65
ขอผมเขียนลงไปนะ: h กำลังสอง -- นั่นคืดสีเหลืองอีกแบบนึง --
เราได้ h กำลังสอง เท่ากับ 65
ผมทำถูกไหม? 49 บวก 10 ได้ 59, บวก 6 อีก ได้ 65,
หรือเราอาจบอกว่า h เท่ากับ, หากเราใส่สแควร์รูททั้งสองข้าง,
สแควร์รูท
สแควร์รูทของ 65 แล้วเราทำต่อไปไม่ได้อีก
นี่คือ 13
นี่เหมือนกับ 13 คูณ 5,
ทั้งสองตัวนี้ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ และ
ทั้งคู่ก็เป็นจำนวนเฉพาะ คุณเลยลดรูปมันอีกไม่ได้แล้ว
นี่เลยเท่ากับสแควร์รูทของ 65
ทีนี้ลองหาตรีโกณฯ, ลองหาฟังก์ชันตรีโกณฯ สำหรับมุมนี่ตรงนี้กัน
เรียกมุมบนนี้ว่า ทีต้า นะ
เมื่อไหร่ก็ตามที่คุณทำ
คุณควรเขียนลงไป -- อย่างน้อยสำหรับผม ควรเขียนลงไป --
"SOH CAH TOA"
SOH...
...SOH CAH TOA ผมจำได้เลือนราง
จากครูสอนตรีโกณมิติของผม
บางทีผมอาจจำมาจากหนังสือ ไม่รู้สิ -- คุณก็รู้, พวก...
เจ้าชายอินเดียชื่อ "SOH CAH TOA" หรืออะไรก็ช่าง,
แต่มันวลีช่วยจำที่มีประโยชน์,
เราก็ใช้ "SOH CAH TOA"
ลองหา, สมมุติว่าเราอยากหาโคไซน์
เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้
เราอยากหาโคไซน์ของมุมนี้, คุณก็บอกว่า "SOH CAH TOA!"
งั้น "CAH", "CAH" บอกเราว่าจะคิดโคไซน์ยังไง
"CAH" บอกเราว่า
โคไซน์คือด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์เท่ากับด้านประชิดส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ลองดูตรงนี้ที่ทีต้า, ด้านไหนคือด้านประชิด?
เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก,
เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านนี่ตรงนี้
มันเป็นด้านนั้นไม่ได้ อีกด้านก็อยู่ชิดกับมัน เลยไม่ใช่
ด้านตรงข้ามมุมฉาก, คือ 4 นี่
ดังนั้นด้านประชิดตรงนี้, ด้านนั่น,
มันก็คือด้านที่ติดกับมุม
มันคือด้านด้านหนึ่งที่ประกอบเป็นมุม
มันคือ 4 ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
เรารู้แล้วว่าด้านตรงข้ามมุมฉากคือสแควร์รูทของ 65
มันก็คือ 4 ส่วนสแควร์รูทของ 65
บางครั้งคนชอบให้คุณทำส่วนเป็นตรรกยะ ซึ่งหมายความว่า
เขาไม่ชอบให้เลขอตรรกยะอยู่เป็นตัวส่วน
อย่างเช่นสแควร์รูทของ 65
และหากเขา -- หากคุณอยากเขียนนี่ใหม่โดยไม่ให้ตัวส่วนเป็นอตรรกยะ,
คุณก็คูณทั้งเศษและส่วน
ด้วยสแควร์รูทของ 65
นี่จะไม่เปลี่ยนค่าตัวเลช
เพราะเราคูณมันด้วย อะไรสักอย่างส่วนตัวเอง,
มันเลยเหมือนคุณด้วยหนึ่ง
มันไม่เปลี่ยนเลข, แต่อย่างน้อยมันกำจัดเลขอตรรกยะในตัวส่วน
ตัวเศษจะกลายเป็น
4 คูณสแควร์รูทของ 65
และตัวส่วน, สแควร์รูทของ 65 คูณสแควร์รูทของ 65, จะเท่ากับ 65
เราไม่ได้กำจัดเลขอตรรกยะ, มันยังอยู่, แต่ตอนนี้มันอยู่ที่ตัวเศษ
ทีนี้ลองดูฟังก์ชันตรีโกณฯ อื่น
หรืออย่างน้อยก็ฟังก์ชันตรีโกณฯ พื้นฐานตัวอื่นกัน
เราจะเรียนต่อไปว่ามันยังมีอีกเยอะ
แต่พวกมันมาจากเจ้าพวกนี้
ลองนึกว่าไซน์ของทีต้าคืออะไร เหมือนเดิม ดูที่ "SOH CAH TOA"
"SOH" บอกวิธีจัดการไซน์ ไซน์คือ ตรงข้าม ส่วน ตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์เท่ากับด้านตรงข้ามส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์คือ ข้าม ส่วน ฉาก
สำหรับมุมนี้ ด้านไหนคือด้านตรงข้าม?
เราแค่ไปตรงข้าม, มันเปิดไปหา, มันตรงข้ามกับ 7
งั้นด้านตรงข้ามคือ 7
นี่คือ, ตรงนี้ -- นั่นคือด้านตรงข้าม
แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก, มันอยู่ตรงข้ามมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ สแควร์รูทของ 65
สแควร์รูทของ 65
เหมือนเดิม หากเราทำส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ,
เราก็คูณมันด้วยสแควร์รูทของ 65 ส่วนสแควร์รูทของ 65
และตัวเศษ, เราจะได้ 7 ส่วนสแควร์รูทของ 65
แล้วตัวส่วน เราจะได้ 65 เหมือนเดิม
ทีนี้ลองทำแทนเจนต์กัน!
ลองหาแทนเจนต์กัน
หากผมถามคุณว่าแทนเจนต์
แทนเจนต์ของทีต้า
เหมือนเดิม กลับไปที่ "SOH CAH TOA"
TOA บอกเราว่าทำยังไงกับแทนเจนต์
มันบอกเราว่า...
มันบอกเราว่าแทนเจนต์
เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วนด้านประชิด
เท่ากับด้านตรงข้าม ส่วน
ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านประชิด
สำหรับมุมนี้, ด้านตรงข้ามคืออะไร? เราหาไปแล้ว
มันคือ 7, มันเปิดหาด้าน 7
มันตรงข้ามกับ 7
มันก็คือ 7 ส่วนด้วย ด้านไหนคือด้านประชิด
4 นี่คือด้านประชิด
4 นี่คือชิด ด้านประชิดก็คือ 4
มันเลยเป็น 7 ส่วน 4,
แล้วเราก็ได้แล้ว
เราหาอัตราส่วนตรีโกณฯ ทั้งหมดของทีต้าได้แล้ว ลองทำอีกอันนึง
ลองดูอีกตัวอย่างนึง