Le te bejme me shume shembuj
vetem per t'u siguruar qe po ecim mire
Le te ndertojme disa trekendesha kenddrejte
dhe une dua te jem shume i qarte.
Ajo qe kam thene deri tani vlen vetem per trekendesha kenddrejte
Nese do te gjesh funksione trigonometrike te kendeve qe s'jane ne trekendesha kenddrejte
do te duhet te ndertosh trekendesha kenddrejte
Por te perqendrohemi tek kenddrejtet tani
Pra, kemi nje trekendesh,
ku le te themi gjatesia ketu poshte eshte shtate
dhe gjatesia ne kete ane ketu lart
eshte, te themi, kater.
Le te gjejme sa do te jete hipotenuza.
Le ta quajme hipotenuzen "h,"
e dime qe h ne katror do te jete shtate ne katror plus kater ne katror,
e dime nga teorema e Pitagores,
qe hipotenuza ne katror
eshte sa shuma e katroreve te dy brinjeve te tjera.
h ne katror eshte 7 ne katror plus 4 ne katror.
Pra, kjo eshte 49 plus 16,
49 plus 16,
49 plus 10 eshte 59, plus 6 eshte 65.
Eshte 65. Pra, h ne katror,
prit ta shkruaj: h ne katror, tjeter nuance te verdhe,
pra, kemi h ne katror baraz me 65.
E bera tamam? 49 plus 10 eshte 59, plus 6 eshte 65,
ose mund te themi qe h eshte baraz, nese marrim rrenjen e te dy aneve,
rrenja katrore
rrenja katrore e 65. Dhe s'mund ta thjeshtojme.
Kjo eshte 13.
Kjo eshte njesoj si 13 here 5,
te dyja jane katrore perfekte dhe
dhe jane numra prime, prandaj s'i thjeshtojme dot me.
Kjo eshte baraz me rrenjen e 65es.
Tani te gjejme vleren e funksionit trigonometrik per kete kend ketu.
Ta quajme kendim ketu lart theta.
Kurdo qe ta beni
gjithmone duhet ta shkruani, une te pakten keshtu e bej,
"sph knh tpn"
sph...
...sph knh tpn. Kam disa kujtime
nga mesuesja e trigonometrise.
Ndoshta e kam lexuar ne ndonje liber. S'e di, s'e di, ndoshta...mbi
nje princeshe indiane e quajtur "Soh Kah Toa," s'e di
por ia vlen ta mbani mend,
mund te zbatojme "sph knh tpn"
Ta zeme se duam te gjeme kosinusin.
Duam te gjejme kosinusin e kendit tone.
Duam te gjejme kosinusin e kendit dhe ti thua "sph knh tpn!"
P.sh., "knh." "Knh" per kosinusin,
"Knh" na thote
kosinusi = brinja Ngjitur mbi Hipotenuze
Kosinusi eshte Ngjitur permbi Hipotenuze (knh)
Te shohim theten; cila eshte brinja ngjitur?
E dime qe hipotenuza,
E dime qe hipotenuza eshte kjo brinja ketu
S'mund te jete ana tjeter. E vetmja ane tjeter qe eshte ngjitur dhe s'eshte
hipotenuza, eshte kjo katra.
Brinja ngjitur ketu, kjo brinje eshte,
eshte tamam ngjitur me kendin,
eshte nja nga brinjet qe krijon kendin
eshte 4 pjestuar me hipotenuze
Hipotenuza eshte rrenja e 65es.
Pra, eshte 4 permbi rrenjen e 65es.
Mbase te duhet te zhdukesh rrenjen nga emeruesi, dmth
s'na pelqen te kemi numer irracional ne emerues,
si rrenja e 65es,
nese do ta shkruash pa rrenje ne emerues,
shumezo numeruesin me emeruesin,
pra, me rrenjen e 65es.
Kjo s'e ndryshon numrin,
Se shumezon e pjeston me te njejtin numer,
pra, po shumezojme me 1.
Numri nuk ndryshon, por s'ka me rrenje ne emerues.
Numeruesi eshte
4 here rrenja e 65es.
dhe numeruesi, rrenja e 65es here vetveten eshte 65.
S' shpetuam nga rrenja, eshte ende aty, por ne numerues.
Te bejme funksione te tjera trigonometrike
ose te pakten nje tjeter funksion baze.
Do te mesojme me vone qe ka shume prej tyre
por te gjitha vijne nga keto.
Te mendojme c'shenje ka theta. "Sph knh tpn."
"Spn" me tregon per sinusin. Sinusi eshte brinja perballe permbi hipotenuze
Sinusi = brinja perballe mbi hipotenuze.
Per kete kend cila eshte brinja perballe?
Shohim perballe, eshte perballe shtates
Shtata eshte brinja perballe.
Ja, kjo, kjo eshte brinja perballe
dhe pastaj hipotenuza, perballe mbi h.
Hipotenuza eshte rrenja e 65es.
Rrenja e 65es
dhe nese do te heqim rrenjen nga emeruesi
shumezojme me rrenjen e 65es mbi rrenjen e 65es
dhe tek numeruesi del 7 here rrenja e 65es
dhe emeruesi del 65 perseri.
Tani te gjejme tangentin!
Te gjejme tangentin.
Nese ju pyes per tangentin
e kendit theta
kthehemi tek "sph knh tpn."
"Tpn" na tregon per tangentin
na tregon...
qe tangenti
eshte brinja perballe mbi ate ngjitur
eshte brinja perballe permbi
brinja perballe permbi ate ngjitur
Per kete kend, cila eshte brinja perballe? E kemi gjetur.
Eshte 7. Eshte 7.
Kendi eshte perballe 7es.
Pra, 7 permbi brinjen ngjitur.
Kjo katra eshte ajo ngjitur.
Katra eshte ngjitur. Brinja ngjitur 4.
Pra, 7 permbi 4
dhe mbaruam.
I gjetem funksionet trig. te thetes. Prape.
Bejme nje tjeter.
Do ta bej me konkrete, se tani vetem thame:
"Cili eshte tg i x apo thetes?" Me konkret
Te themi...
te vizatojme nje trekendesh kenddrejte,
nje tjeter kenddrejte.
Do te kemi te bejme vetem me kenddrejte.
Ta zeme hipotenuza eshte 4
dhe kjo brinja eshte 2
dhe kjo brinja eshte 2 here rrenja e 3shit.
Ta verifikojme.
Nqs kjo brinja ngrihet ne katror, kemi...
2 here rrenja e 3shit e gjitha ne katror
plus 2 ne katror baraz me cfare?
Kjo eshte 2. 4 here 3.
kater here tre plus kater
dhe kjo do te jete 12 plus 4 baraz me 16
dhe 16 eshte 4 ne katror. Kjo eshte 4 ne katror
eshte 4 ne katror. Sipas Pitagores
dhe nese mbani mend trekendeshat 30, 60, 90
qe mund te keni mesuar ne gjeometri,
mund te shihni qe ky eshte trekendesh 30, 60, 90.
Ky trekendeshi ketu,
duhet ta kisha vizatuar si kenddrejte
ky eshte kendi yne 30 grade
dhe ky ketu, ky kendi ketu eshte
kend 60 grade
dhe eshte 30, 60, 90, sepse
brinja perballe 30 eshte 1/2 e hipotenuzes
dhe brinja perballe 60 eshte rrenja e 3 here brinjen tjeter.
Kjo s'eshte hipotenuza.
Ne nuk do te...
Qellimi s'eshte rasti 30, 60, 90 dhe pse e permenda.
Te gjejme funksionet trig. per kende te tjera
Nese dikush ju pyet...
cili eshte sinusi i 30 gradeshit?
Mbani mned 30 eshte nje nga kendet e ketij trekendeshi
Por kurdo keni kend 30 dhe rast kenddrejte
Do te flasim per te tjera perkufizime, por sinusi i 30
ky kend ketu eshte 30 grade, qe te perdor rastin kenddrejte
dhe te mbajme mend "sph knh tpn"
Ta rishkruajme "sph, knh, tpn."
"sinusi na thote" (jo) sph = perballe/hipo
sinusi i 30 eshte kendi perballe,
kendi perballe, pra, 2 permbi hipotenuze
Hipotenuza eshte 4 ketu.
Eshte 2/4, pra 1/2.
Sinusi i 30 gradeve do e shihni = 1/2.
Po kosinusi?
Cili eshte kosinusi i 30 gradeve?
Kthehemi tek "sph knh tpn."
"Knh" na ndihmon per kosinusin.
Kosinusi = brinja ngjitur/hipotenuze.
Per kendin 30 gradet kemi brinjen ngjitur.
Kjo eshte brinja ngjitur. Eshte prane kendit.
S'eshte hipotenuza, por prane hipotenuzes.
Eshte 2 here rrenja e treshit
brinja ngjitur permbi hipotenuzen, permbi