1
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
CAH

2
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
TOA

3
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
of sixty degrees

4
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Давайте найдем значения тригонометрических функций

5
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Какой катет является прилежащим?

6
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Катет, прилежащий к углу в 60° -

7
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Квадратный корень из трех

8
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Квадратный корень из шестидесяти пяти.

9
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65.

10
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Синус 30°- это косинус 60°.

11
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)

12
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Тангенс 30°...

13
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Это будет равно 4 • 3 + 4.

14
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
более четырех

15
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
в течение трех

16
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
до половины

17
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
за гипотенузу в течение четырех

18
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
за квадратный корень из трех

19
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
или кто-либо ещё спросил бы у вас:

20
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
имеет длину два

21
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить

22
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
квадратные корни обеих сторон, √65.

23
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
на гипотенузу.

24
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
плюс шестнадцать,

25
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
половины

26
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
прямоугольными треугольниками.

27
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
скажем, что эта сторона здесь

28
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
т. е. разделить на 4.

29
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
тридцать градусов

30
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
хотя я только что это сделал…

31
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
чему равен cos 30°?

32
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что

33
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии.

34
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников.

35
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают

36
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти

37
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника,

38
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках.

39
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7.

40
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.

41
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем...

42
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
давайте назовём гипотенузу h.

43
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем

44
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
из теоремы Пифагора...

45
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
что квадрат гипотенузы равен

46
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
сумме квадратов катетов,

47
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
h² = 7² + 4²,

48
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
и это равно 49 плюс 16.

49
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
сорок девять плюс шестнадцать,

50
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65…

51
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
То есть эта h²...

52
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
давайте я запишу… h²…

53
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65.

54
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -

55
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь

56
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
квадратный корень

57
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
Мы никак не можем это упростить. Это то же самое,

58
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
что и 13 умножить на 5; эти числа не являются

59
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
точными квадратами, да и к тому же являются

60
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
это упростить.

61
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Это равно √65.

62
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
вот этого верхнего угла, назовём его θ.

63
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит

64
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
записать… по крайней мере, мне помогает,

65
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.

66
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
SOH CAH TOA.

67
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии…

68
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
из моих

69
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю.

70
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)...

71
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
Но это очень полезный приём для запоминания…

72
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла.

73
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
SOH CAH TOA. Итак, CAH.

74
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
CAH говорит нам о том, как найти косинус.

75
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это

76
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
отношение прилежащего катета к гипотенузе.

77
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному

78
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?

79
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.

80
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь

81
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая

82
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
прилежит к этому углу, и не является гипотенузой -

83
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…

84
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.

85
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
Это 4 разделить на гипотенузу.

86
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
Поэтому это равно 4 разделить на √65.

87
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
за

88
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно

89
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.

90
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
И если бы вы хотели записать это без иррационального

91
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель

92
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
на √65.

93
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,

94
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от

95
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
иррациональности в знаменателе.

96
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
Числитель становится равен 4√65,

97
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.

98
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.

99
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.

100
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле

101
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
очень много, но они все выведены из основных

102
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.

103
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус.

104
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

105
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.

106
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?

107
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Он находится напротив стороны 7.

108
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
Так, противолежащий катет равен 7.

109
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
Это противолежащий катет.

110
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
И гипотенуза равна √65.

111
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
И опять же, если бы мы хотели избавиться от

112
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
это на √65, деленный на √65.

113
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
на квадратный корень из шестидесяти пяти

114
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.

115
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
шестьдесят пять раз.

116
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Теперь давайте найдём тангенс.

117
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…

118
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Так что, если я задать вам касательной

119
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.

120
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
еще раз вернуться к SOH CAH

121
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.

122
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
Она говорит нам, что тангенс равен отношению

123
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
противолежащего катета к прилежащему.

124
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий.

125
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
за

126
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
противоположной над соседними

127
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
Какой катет является противолежащим к этому углу?

128
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу
7 -

129
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
лежит напротив 7.

130
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Поэтому это 7 разделить на...

131
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
Это катет длиной 4 - прилежащий.

132
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Прилежащий катет - это 4.

133
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
Поэтому это 7 разделить на 4.

134
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
Готово!

135
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.

136
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
Давайте сделаем ещё один пример.

137
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
Более конкретный пример. До сих пор мы говорили:
Чему равен tan x? Чему равен tan θ?

138
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем...

139
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.

140
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...

141
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Сейчас мы имеем дело только с

142
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Скажем, длина гипотенузы равна 4.

143
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
Скажем, что длина вот этой стороны равна 2.

144
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.

145
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
Мы можем проверить, что это подходит.

146
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу.

147
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
(2√3)² + 2² = равно чему?

148
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
Это 2…

149
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
это

150
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
в четыре раза три плюс четыре

151
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.

152
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
А 16 - это действительно 4².

153
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.

154
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с
углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,

155
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это

156
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.

157
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.

158
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
Этот угол - это наш угол в 30°.

159
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
И этот угол наверху - это угол в 60°.

160
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
шестьдесят градусов угол

161
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что

162
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

163
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на

164
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
другую сторону, не гипотенузу.

165
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,

166
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.

167
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Если бы я у вас спросил,

168
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
Чему равен sin 30°?

169
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°

170
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 
30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.

171
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…

172
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный

173
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.

174
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Давайте я запишу это ещё раз. SOH

175
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

176
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
Sin 30° - это противолежащий катет…

177
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
это противолежащий катет, который равен 2,

178
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.

179
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
Это 2/4, или 1/2.

180
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.

181
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
Теперь чему равен косинус,

182
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
то, что косинус

183
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:

184
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это
прилежащий катет, деленный на гипотенузу.

185
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,

186
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.

187
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
это не гипотенузы

188
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.

189
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
разделить на гипотенузу,

190
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
Или если мы упростим это, разделив числитель
и знаменатель на 2,

191
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
получится √3/2.

192
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Наконец, давайте найдем тангенс.

193
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Тангенс тридцать градусов

194
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.

195
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
SOH CAH тоа

196
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.

197
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. 
Противолежащий - это 2.

198
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
Тангенс 30°..

199
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.

200
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.

201
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.

202
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
Итак, 2√3.

203
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
Значит, это равно...

204
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.

205
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..

206
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.

207
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.

208
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
Мы избавились от иррационального знаменателя.

209
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
Хорошо.

210
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы
найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,

211
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
так как мы его уже нарисовали.

212
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
так что

213
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать.

214
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA.

215
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
Для угла в 60° какой катет является противолежащим?

216
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.

217
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,

218
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…

219
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4.

220
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2.

221
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
Чему равен cos 60°?

222
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
cos 60°…

223
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

224
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.

225
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.

226
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
Т. е. это равно 1/2.

227
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
И, наконец...

228
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
Чему равен тангенс?

229
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

230
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°.

231
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
2√3,

232
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
а прилежащий катет равен 2.

233
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
и прилегающих к

234
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
рядом с этой

235
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.

236
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
2√3 разделить на 2, что просто равно √3.

237
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны.

238
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.

239
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике,

240
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим

241
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
вам возможность попрактиковаться в следующих
уроках.