CAH TOA Давайте найдем значения тригонометрических функций Какой катет является прилежащим? Катет, прилежащий к углу в 60° - Квадратный корень из шестидесяти пяти. Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Синус 30°- это косинус 60°. Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет) Тангенс 30°... Это будет равно 4 • 3 + 4. более четырех в течение трех до половины за гипотенузу в течение четырех за квадратный корень из трех или кто-либо ещё спросил бы у вас: имеет длину два иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить квадратные корни обеих сторон, √65. на гипотенузу. плюс шестнадцать, половины прямоугольными треугольниками. скажем, что эта сторона здесь т. е. разделить на 4. тридцать градусов хотя я только что это сделал… чему равен cos 30°? Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии. Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников. Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках. Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7. И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4. И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем... давайте назовём гипотенузу h. Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем из теоремы Пифагора... что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, h² = 7² + 4², и это равно 49 плюс 16. сорок девять плюс шестнадцать, Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65… То есть эта h²... давайте я запишу… h²… это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65. Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 - это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь квадратный корень Мы никак не можем это упростить. Это то же самое, что и 13 умножить на 5; эти числа не являются точными квадратами, да и к тому же являются это упростить. Это равно √65. вот этого верхнего угла, назовём его θ. Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает, если перед глазами записано - SOH CAH TOA. SOH CAH TOA. У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии… из моих А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю. В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)... Но это очень полезный приём для запоминания… и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла. SOH CAH TOA. Итак, CAH. CAH говорит нам о том, как найти косинус. CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ? Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона. мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу, и не является гипотенузой - это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь… находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол. Это 4 разделить на гипотенузу. Поэтому это равно 4 разделить на √65. за Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65. И если бы вы хотели записать это без иррационального числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель на √65. Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя, т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от иррациональности в знаменателе. Числитель становится равен 4√65, а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65. Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе. Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции. По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле очень много, но они все выведены из основных функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ. Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу. Итак, для этого угла какой катет является противолежащим? Он находится напротив стороны 7. Так, противолежащий катет равен 7. Это противолежащий катет. И гипотенуза равна √65. И опять же, если бы мы хотели избавиться от это на √65, деленный на √65. на квадратный корень из шестидесяти пяти В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65. шестьдесят пять раз. Теперь давайте найдём тангенс. Если бы я спросил вас о тангенсе θ… Так что, если я задать вам касательной Опять же обратитесь к SOH CAH TOA. еще раз вернуться к SOH CAH Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс. Она говорит нам, что тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий. за противоположной над соседними Какой катет является противолежащим к этому углу? Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу 7 - лежит напротив 7. Поэтому это 7 разделить на... Это катет длиной 4 - прилежащий. Прилежащий катет - это 4. Поэтому это 7 разделить на 4. Готово! Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ. Давайте сделаем ещё один пример. Более конкретный пример. До сих пор мы говорили: Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем... И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник. Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь... Сейчас мы имеем дело только с Скажем, длина гипотенузы равна 4. Скажем, что длина вот этой стороны равна 2. И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3. Мы можем проверить, что это подходит. Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу. (2√3)² + 2² = равно чему? Это 2… это в четыре раза три плюс четыре И это будет равно 12 + 4, что равно 16. А 16 - это действительно 4². Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается. И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно, прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол. Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник. Этот угол - это наш угол в 30°. И этот угол наверху - это угол в 60°. шестьдесят градусов угол И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на другую сторону, не гипотенузу. Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов, Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов. Если бы я у вас спросил, Чему равен sin 30°? И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30° подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником. В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°… Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA. Давайте я запишу это ещё раз. SOH SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Sin 30° - это противолежащий катет… это противолежащий катет, который равен 2, деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4. Это 2/4, или 1/2. Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2. Теперь чему равен косинус, то, что косинус Опять же вернитесь к SOH CAH TOA: CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это прилежащий катет, деленный на гипотенузу. Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона, прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза. это не гипотенузы Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе. разделить на гипотенузу, Или если мы упростим это, разделив числитель и знаменатель на 2, получится √3/2. Наконец, давайте найдем тангенс. Тангенс тридцать градусов Мы возвращаемся к SOH CAH TOA. SOH CAH тоа SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему. Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. Противолежащий - это 2. Тангенс 30°.. Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3. Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет. Прилежащий - значит, тот, который находится рядом. Итак, 2√3. Значит, это равно... Двойки сокращаются… 1 разделить на √3. Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3.. Т.е. умножить на √3, деленный на √3. Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3. Мы избавились от иррационального знаменателя. Хорошо. Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы найти тригонометрические соотношения для угла в 60°, так как мы его уже нарисовали. так что Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет является противолежащим? Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3. И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения, это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать… Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2. Чему равен cos 60°? cos 60°… Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°. Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4. Т. е. это равно 1/2. И, наконец... Чему равен тангенс? Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°. 2√3, а прилежащий катет равен 2. это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий. 2√3 разделить на 2, что просто равно √3. И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны. Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°. А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике, Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность попрактиковаться в следующих уроках.