CAH
TOA
Давайте найдем значения тригонометрических функций
Какой катет является прилежащим?
Катет, прилежащий к углу в 60° -
Квадратный корень из шестидесяти пяти.
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65.
Синус 30°- это косинус 60°.
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)
Тангенс 30°...
Это будет равно 4 • 3 + 4.
более четырех
в течение трех
до половины
за гипотенузу в течение четырех
за квадратный корень из трех
или кто-либо ещё спросил бы у вас:
имеет длину два
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить
квадратные корни обеих сторон, √65.
на гипотенузу.
плюс шестнадцать,
половины
прямоугольными треугольниками.
скажем, что эта сторона здесь
т. е. разделить на 4.
тридцать градусов
хотя я только что это сделал…
чему равен cos 30°?
Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что
мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии.
Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников.
Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают
только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника,
Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках.
Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7.
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.
И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем...
давайте назовём гипотенузу h.
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем
из теоремы Пифагора...
что квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов,
h² = 7² + 4²,
и это равно 49 плюс 16.
сорок девять плюс шестнадцать,
Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65…
То есть эта h²...
давайте я запишу… h²…
это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65.
Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь
квадратный корень
Мы никак не можем это упростить. Это то же самое,
что и 13 умножить на 5; эти числа не являются
точными квадратами, да и к тому же являются
это упростить.
Это равно √65.
вот этого верхнего угла, назовём его θ.
Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит
записать… по крайней мере, мне помогает,
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.
SOH CAH TOA.
У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии…
из моих
А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю.
В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)...
Но это очень полезный приём для запоминания…
и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла.
SOH CAH TOA. Итак, CAH.
CAH говорит нам о том, как найти косинус.
CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это
отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая
прилежит к этому углу, и не является гипотенузой -
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.
Это 4 разделить на гипотенузу.
Поэтому это равно 4 разделить на √65.
за
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.
И если бы вы хотели записать это без иррационального
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель
на √65.
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от
иррациональности в знаменателе.
Числитель становится равен 4√65,
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле
очень много, но они все выведены из основных
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.
Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус.
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?
Он находится напротив стороны 7.
Так, противолежащий катет равен 7.
Это противолежащий катет.
И гипотенуза равна √65.
И опять же, если бы мы хотели избавиться от
это на √65, деленный на √65.
на квадратный корень из шестидесяти пяти
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.
шестьдесят пять раз.
Теперь давайте найдём тангенс.
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…
Так что, если я задать вам касательной
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.
еще раз вернуться к SOH CAH
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.
Она говорит нам, что тангенс равен отношению
противолежащего катета к прилежащему.
Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий.
за
противоположной над соседними
Какой катет является противолежащим к этому углу?
Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу 7 -
лежит напротив 7.
Поэтому это 7 разделить на...
Это катет длиной 4 - прилежащий.
Прилежащий катет - это 4.
Поэтому это 7 разделить на 4.
Готово!
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.
Давайте сделаем ещё один пример.
Более конкретный пример. До сих пор мы говорили: Чему равен tan x? Чему равен tan θ?
Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем...
И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...
Сейчас мы имеем дело только с
Скажем, длина гипотенузы равна 4.
Скажем, что длина вот этой стороны равна 2.
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.
Мы можем проверить, что это подходит.
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу.
(2√3)² + 2² = равно чему?
Это 2…
это
в четыре раза три плюс четыре
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.
А 16 - это действительно 4².
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.
Этот угол - это наш угол в 30°.
И этот угол наверху - это угол в 60°.
шестьдесят градусов угол
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на
другую сторону, не гипотенузу.
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.
Если бы я у вас спросил,
Чему равен sin 30°?
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.
Давайте я запишу это ещё раз. SOH
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
Sin 30° - это противолежащий катет…
это противолежащий катет, который равен 2,
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.
Это 2/4, или 1/2.
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.
Теперь чему равен косинус,
то, что косинус
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это прилежащий катет, деленный на гипотенузу.
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.
это не гипотенузы
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.
разделить на гипотенузу,
Или если мы упростим это, разделив числитель и знаменатель на 2,
получится √3/2.
Наконец, давайте найдем тангенс.
Тангенс тридцать градусов
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.
SOH CAH тоа
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. Противолежащий - это 2.
Тангенс 30°..
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.
Итак, 2√3.
Значит, это равно...
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.
Мы избавились от иррационального знаменателя.
Хорошо.
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,
так как мы его уже нарисовали.
так что
Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать.
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA.
Для угла в 60° какой катет является противолежащим?
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4.
4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2.
Чему равен cos 60°?
cos 60°…
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.
Т. е. это равно 1/2.
И, наконец...
Чему равен тангенс?
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°.
2√3,
а прилежащий катет равен 2.
это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.
2√3 разделить на 2, что просто равно √3.
И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны.
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.
А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике,
Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим
вам возможность попрактиковаться в следующих уроках.