Vamos fazer mais alguns exemplos,
para ter certeza que entenderemos bem essa coisa de Função Trigonométrica.
Então vamos construir alguns triângulos de angulo reto.
Vamos construir os triângulos
e eu quero deixar isso claro.
A maneira como eu defini até agora, só funcionará em triângulos retângulos.
então se você estiver tentando encontrar a função trigonométrica de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos,
veremos que teremos que construir primeiro triângulos retângulos,
mas por hora foquemos nos triângulos retângulos.
Digamos que eu tenha um triângulo,
onde essa distância aqui seja 7
e digamos que essa outra distância aqui,
digamos que seja 4.
Vamos descobrir qual será a hipotenusa aqui.
Então sabemos - chamaremos a hipotenusa de "h" -
sabemos que h ao quadrado será igual 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado,
sabemos isso pelo Teorema de Pitágoras,
que o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos valores dos outros dois lados.
h ao quadrado é igual a 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado.
Então o resultado é 49,
49 mais 16,
49 mais 10 é 59, mais 6 é 65.
Então h ao quadrado é 65,
deixe eu escrever: h ao quadrado - esse amarelo é diferente -
então temos h ao quadrado é igual a 65.
Fiz certo? 49 mais 10 é 59, mais 6 é 65,
ou poderíamos dizer que h é igual a, se tirarmos a raiz quadrada
dos dois lados,
raiz quadrada de 65. E não podemos simplificar mais do que isso
Aqui é 13.
É a mesma coisa de 13 vezes 5,
ambos não tem raízes perfeitas e
ambos são primos, por isso não dá pra simplificar mais do que isso.
Então isso é igual à raíz quadrada de 65.
Agora, vamos encontrar a função trigonométrica desse ângulo aqui em cima.
Vamos chamar esse ângulo de Theta.
Quando você for calcular
sempre anote tudo - para mim sempre dá certo quando faço anotações -
"Soh cah toa"
Soh...
...soh cah toa. Eu tenho memórias vagas
do meu professor de trigonometria.
Ou talvez eu tenha lido em algum livro, não sei - algo... sobre
algum tipo de princesa indiana chamada "Soh cah toa" ou algo assim,
mas é uma mnemônica muito útil,
então podemos aplicar "soh cah toa".
Vamos encontrar por exemplo o Cosseno.
Queremos encontrar o Cosseno do nosso ângulo.
para encotrar o Cosseno do ângulo, você diz: "soh cah toa!"
Então o "cah". "Cah" nos mostra o que fazer com o Cosaeno,
o "cah" nos diz
que o Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Cosseno significa cateto adjacente sobre hipotenusa.
Então olhemos Theta; qual lado é o adjacente?
Bem, sabemos que a hipotenusa,
sabemos que a hipotenusa é esse lado aqui.
Então não pode ser aquele lado. O único outro lado que é adjacente é o que
não é a hipotenusa, é este 4.
E o outro lado adjacente, esse lado está,
literalmente junto ao ângulo,
é um dos lados que forma o ângulo,
é 4 sobre a hipotenusa.
Já sabemos que a hipotenusa é a raiz quadrada de 65,
então faremos 4 sobre a raiz quadrada de 65.
E algumas vezes você terá que racionalizar o denominador, o que significa
que eles não gostam de ter um número irracional no denominador,
como a raíz quadrada de 65
como a raiz quadrada de 65,
e se eles - e caso você queira reescrever isso sem o número irracional no denominador,
você pode multiplicar o numerador e o denominador
pela raiz quadrada de 65.
Certamente isso não alterará o número,
pois o multiplicaremos por algo sobre si mesmo,
então estamos multiplicando o número por 1.
Isso não mudará o número, mas pelo menos eliminará o o número irracional do denominador.
Então o numerador recebe
4 vezes a raiz quadrada de 65.
e o denominador, raiz quadrada de 65 vezes raiz quadrada de 65, que será apenas 65.
Nós não nos livramos do número irracional, ele ainda está aí, só que agora no mumerador.
Agora vamos fazer outras funcões trignométricas
os tipos principais de funções.
Aprenderemos no futuro que existem várias delas
mas todas se derivam dessas.
então vejamos o que é o Theta. Mais uma vez diga "soh cah toa".
O "soh" mostra o que fazer com o Seno.
Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa.
Então para esse ângulo, qual lado é o seu oposto?
Apenas seguimos oposto a ele, pra onde ele abre, e o seu oposto é o 7
entao, o seu lado oposto é o 7.
Isso aqui - que é o lado oposto
e entao na hipotenusa, é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
A hipotenusa é a raiz quadrada de 65.
Raiz quadrada de 65.
e mais uma vez se quisermos racionalizar isso,
podemos multiplicar pela raíz quadrada de 65 sobre a raiz quadrada de 65
e o numerador, será 7 raiz quadrada de 65
e no denominador teremos apenas 65 novamente.
Agora faremos a Tangente!
Vamos fazer a Tangente.
Entao, se eu te perguntar a Tangente
de - a Tangente de Theta
mais uma vez repita "soh cah toa".
O "toa" nos mostra como fazer a Tangente
nos diz...
Nos diz que a Tangente
é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente.
É igual ao oposto sobre...
O oposto sobre o adjacente.
Então para esse ângulo, o que é o oposto? Isso nós já descobrimos.
É o 7. Pois abre pro 7.
Ele está oposto ao 7.
Então é 7 sobre o lado que é adjacente.
Bem, esse 4 é adjacente.
Esse 4 é adjacente. Então o lado adjacente é 4.
Então isso é 7 sobre 4,
e nós terminamos.
Descobrimos todos os tipos de relações trigonométricas para o Theta. Vamos fazer mais um.
Vamos fazer mais um.
Vou fazer esse um pouco mais concreto porque até agora só falamos sobre,
"Oh, Tangente de x, Tangente de Theta." Vamos fazer um exemplo mais concreto.
mais concreto
Digamos assim...
Digamos, deixe-me desenhar outro triângulo retângulo,
eis aqui outro triângulo retângulo bem aqui.
Em tudo o que estamos fazendo, tudo isso está sendo em triângulos retângulos.
Digamos que a Hipotenusa tem 4 de comprimento,
e digamos que esse comprimento aqui seja de 2,
e digamos que este comprimento bem aqui vá ser 2 vezes a raiz quadrada de 3.
Podemos verificar que isso funciona.
Se você elevar esse lado ao quadrado, então você terá - .deixe-me escrever isso -
2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado
mais 2 ao quadrado é igual a quê?
Isto é um 2. Isso irá ser 4 vezes 3.
4 vezes 3 mais 4,
que vai dar 12 mais 4, que é igual a 16.
E 16 é na verdade 4 ao quadrado. Então isso resulta em 4 ao quadrado,
que é igual a quatro ao quadrado. E satisfaz o Teorema de Pitágoras
e se você se lembrar, alguns dos seus exercícios sobre os triângulos de ângulos 30, 60 e 90 graus
que você deve ter aprendido em Geometria,
você reconhecerá que esse é um triângulo com ângulos de 30, 60 e 90 graus.
E esse aqui é o nosso ângulo reto.
- eu deveria ter marcado desde o começo para mostrar que este é um triângulo retângulo -
este ângulo aqui é o nosso ângulo de 30 graus
e esse aqui em cima, esse ângulo aqui é
o ângulo de 60 graus,
e ele é o 30-60-90 porquê
o Cateto oposto ao ângulo de 30 é a metade da Hipotenusa
e o lado oposto ao ângulo de 60 é a raiz de 3 vezes o outro lado
que não é a Hipotenusa.
Então assim, nós não iríamos...
Não era pra eu fazer uma revisão dos triângulos de 30, 60 e 90 graus.
Vamos encontrar os valores trigonométricos para ângulos diferentes.
Então se eu te pergunto, ou alguém vai lhe perguntar, qual é...
Qual é o Seno de 30 graus?
E lembrando que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo, mas você aplicaria
em qualquer lugar onde houvesse um ângulo de 30 graus e que você está lidando como triângulos retângulos.
Iremos ter definições mais amplas no futuro, mas se você disser Seno de 30 graus,
ei, esse ângulo aqui tem 30 graus, então vou fazer uso da técnica do triângulo retângulo,
e nós nos lembramos do "Soh cah toa"
Vamos reescrever isso. "Soh cah toa".
"Seno nos diz" (correção). Soh nos diz o que fazer com o Seno. Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Seno de 30 graus é o cateto oposto,
este é o cateto oposto que é 2 sobre a hipotenusa.
A hipotenusa aqui é quatro.
Que é 2 sobre 4, que é o mesmo que 1 sobre 2, ou 1/2.
Seno de 30 será sempre igual a 1/2.
Agora qual é o Cosseno?
Qual é o Cosseno de 30 graus?
Mais uma vez use "Soh cah toa".
O "cah" nos diz o que fazer com o Cosseno.
Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Então olhando para o ângulo de 30 graus é o adjacente.
Este, bem aqui é o cateto adjacente. Está bem aqui o adjacente está junto dele.
Ele não é a hipotenusa. É o adjacente sobre a hipotenusa.
Então é 2 raiz quadrada de 3
adjacente sobre...
E se simplificarmos e dividirmos o numerador e o denominador por 2, teremos a raíz quadrada de 3
sobre 2.
E por fim
tangente de 30 graus
de novo soh cah toa
soh cah toa
toa nos diz que a tangente é o oposto sobre o adjacente
você usa o ângulo de 30, porque é o que necessitamos, tangente de 30
o oposto é 2
o adjacente é 2 raíz quadrada de 3. Bem perto, junto
a ele
adjacente significa "perto de"
então 2 raíz quadrada de 3
é igual a
cancelemos os 2, um sobre raíz quadrada de 3
ou podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raíz quadrada de 3
e teremos
que será igual ao numerador raíz quadrada de 3 e o denominador
que será 3. Nós racionalizamos a raíz quadrada de 3
muito bem
agora vams usar o mesmo triângulo para descobrir os valores para o ângulo de 60
já está desenhado
entao qual é
o seno de 60 graus e espero que você esteja começando a entender agora
seno eh oposto sobre adjacente. Soh do soh cah toa. Qual lado é oposto
do ângulo de 60?
ele abre para 2 raíz quadrada de 3, então o oposto é 2 raíz quadrada de 3
e para o ângulo de 60 o cateto oposto
sobre a hipotenusa. Eu não quero te confundir
Oposto sobre a hipotenusa
então fica 2 raíz quadrada de 3 sobre 4. 4 é a hipotenusa.
o resultado é, simplicando, raíz quadrada de 3 sobre 2.
qual o coseno de 60 graus? Coseno de 60 graus.
Lembre de soh cah toa. Coseno eh adjacente sobre hipotenusa.
adjacente está do lado do ângulo de 60, então 2
sobre a hipotenusa que é 4
então isso é igual a
e finalmente
qual a tangente
Bem soh cah toa. Tangente eh o oposto sobre o adjacente.
oposto ao ângulo de 60
está 2 raíz quadrada de 3
.
e o adjacente
a ele
adjacente a 60 graus é 2
então, oposto sobre adjacente
2 raíz quadrada de 3 sobre 2, é igual a
Veja como eles se relacionam!
o seno de 30 é igual ao coseno de 60!
O coseno de 30 é igual ao seno de 60!
E esses caras aqui são o inverso um do outro!
Se você pensar um pouco sobre esse triângulo
tudo começa a fazer sentido. Amprofundaremos no assunto e praticaremos um pouco mais nos
próximos vídeos.