9:59:59.000,9:59:59.000
do przeciwprostokątnej.

9:59:59.000,9:59:59.000
dodać 16,

9:59:59.000,9:59:59.000
pierwiastek kwadratowy z 65

9:59:59.000,9:59:59.000
pierwiastek kwadratowy z 65.

9:59:59.000,9:59:59.000
podzielone przez 4

9:59:59.000,9:59:59.000
podzielone przez długość przeciwprostokątnej.

9:59:59.000,9:59:59.000
przez... który bok jest przyległy?

9:59:59.000,9:59:59.000
z 65.

9:59:59.000,9:59:59.000
z obydwu stron

0:00:00.800,0:00:03.017
Zróbmy mnóstwo przykładów, aby mieć pewność, że rozumiemy

0:00:03.017,0:00:07.036
dobrze tę funkcję trygonometryczną.

0:00:07.036,0:00:11.447
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.

0:00:11.447,0:00:13.668
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych; chcę, aby jasny był sposób, jaki zdefiniowałem

0:00:15.186,0:00:18.042
dotychczas, będzie on działał jedynie w trójkątach prostokątnych, więc jeżeli próbujemy znaleźć

0:00:18.042,0:00:23.475
funcje trygonometryczne kątów nie będących kątami trójkątów prostokątnych, zobaczymy, że

0:00:25.704,0:00:27.867
musimy skonstrułować trójkąty prostokątne, ale teraz skupmy się jedynie na trójkątach prostokątnych.

0:00:27.867,0:00:31.344
Powiedzmy, że mamy trójkąt, w którym ta długość wynosi siedem

0:00:33.897,0:00:37.757
i powiedzmy, że długość tego boku wynosi cztery.

0:00:39.452,0:00:42.516
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że

0:00:42.516,0:00:45.720
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —

0:00:45.720,0:00:52.200
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,

0:00:52.200,0:00:55.194
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,

0:00:55.194,0:00:57.469
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy

0:00:57.469,0:01:01.974
sumie kwadratów

0:01:01.974,0:01:04.533
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.

0:01:04.533,0:01:09.776
Jest to równe 49

0:01:09.776,0:01:11.800
49 + 16,

0:01:11.800,0:01:18.553
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi

0:01:18.553,0:01:21.107
65. A więc h podniesione do kwadratu

0:01:21.107,0:01:25.705
napiszmy: h do kwadratu

0:01:25.705,0:01:28.818
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe

0:01:28.818,0:01:33.533
65. Czy zrobiłem to porpawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6

0:01:33.533,0:01:37.600
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy

0:01:37.600,0:01:39.200
pierwiastek kwadratowy

0:01:39.200,0:01:42.933
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać

0:01:42.933,0:01:44.699
to jest 13

0:01:44.699,0:01:47.463
to to samo co 13 razy 5, obydwie nie są kwadratami

0:01:50.388,0:01:51.804
oraz obydwie są pierwsze, więc nie można uprościć zapisu bardziej.

0:01:51.804,0:01:55.467
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu

0:01:55.467,0:02:02.114
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta. Nazwijmy ten kąt theta.

0:02:05.457,0:02:06.533
Zawsze kiedy to robicie

0:02:06.533,0:02:09.467
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —

0:02:09.467,0:02:11.714
„soh cah toa”.

0:02:11.714,0:02:13.120
soh...

0:02:13.120,0:02:16.464
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia

0:02:16.464,0:02:18.786
mojego

0:02:18.786,0:02:21.293
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś

0:02:21.293,0:02:23.867
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatne

0:02:26.123,0:02:27.564
skróty pamięciowe, więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy

0:02:27.564,0:02:31.046
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus. Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.

0:02:34.436,0:02:37.965
chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”

0:02:37.965,0:02:40.800
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,

0:02:40.800,0:02:43.027
część „cah” mówi nam,

0:02:43.027,0:02:46.371
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]

0:02:46.371,0:02:51.433
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta

0:02:51.433,0:02:55.798
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?

0:02:55.798,0:02:57.702
Wiemy, że przeciwprostokątna

0:02:57.702,0:03:00.767
Wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony

0:03:00.767,0:03:04.761
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który

0:03:04.761,0:03:07.133
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.

0:03:07.133,0:03:10.473
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,

0:03:10.473,0:03:14.374
jest dokładnie obok kąta, jest jednym z boków tworzących kąt.

0:03:15.754,0:03:17.133
Jest równa 4

0:03:17.133,0:03:21.108
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4

0:03:21.108,0:03:25.380
podzielone przez

0:03:25.380,0:03:29.142
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianowinika, co oznacza, że

0:03:29.142,0:03:32.625
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna, jak pierwiastek z 65.

0:03:35.227,0:03:39.359
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie

0:03:39.359,0:03:41.634
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik

0:03:41.634,0:03:43.306
przez pierwiastek kwadratowy z 65.

0:03:43.306,0:03:45.094
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc

0:03:48.122,0:03:49.111
w istocie mnożymy przez 1. To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się

0:03:52.780,0:03:54.127
niewymierności z mianownika. Licznik przyjmie postać

0:03:54.127,0:03:57.800
4 razy pierwiastek z 65,

0:03:57.800,0:04:03.461
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.

0:04:07.130,0:04:09.777
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,

0:04:09.777,0:04:12.401
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,

0:04:14.399,0:04:15.443
ale one wszystkie pochodzą z nich,

0:04:15.443,0:04:19.733
więc pomyślmy, czym jest znak theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”

0:04:19.733,0:04:25.474
„soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]

0:04:25.474,0:04:29.200
Sinus jest równy

0:04:29.200,0:04:31.372
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

0:04:31.372,0:04:34.390
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?

0:04:34.390,0:04:38.430
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7

0:04:38.430,0:04:41.200
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.

0:04:41.200,0:04:44.468
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,

0:04:44.468,0:04:47.800
a następnie

0:04:47.800,0:04:51.109
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość

0:04:52.966,0:04:55.133
i ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65

0:04:55.133,0:04:59.933
podzielony przez pierwiastek z 65

0:04:59.933,0:05:04.298
i w licznikiu otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu

0:05:04.298,0:05:07.966
ponownie 65.

0:05:07.966,0:05:10.474
Teraz zajmijmy się tangensem!

0:05:10.474,0:05:12.796
Zajmijmy się tangensem.

0:05:12.796,0:05:14.793
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens

0:05:14.793,0:05:17.394
tangens kąta theta,

0:05:17.394,0:05:20.784
wracamy ponownie do soh cah

0:05:20.784,0:05:23.106
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens

0:05:23.106,0:05:24.800
mówi on nam

0:05:24.800,0:05:27.053
mówi nam, że tangens

0:05:27.053,0:05:29.867
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej

0:05:29.867,0:05:33.137
do

0:05:33.137,0:05:35.867
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej

0:05:35.867,0:05:38.709
więc dla tego kąta

0:05:38.709,0:05:41.124
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest narzeciw boku

0:05:41.124,0:05:42.533
o długości 7

0:05:42.533,0:05:46.372
więc to bok o długości 7

0:05:46.372,0:05:48.200
ten o długości 4 jest przyległy

0:05:48.200,0:05:51.295
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4

0:05:51.295,0:05:54.330
a więc jest to 7

0:05:54.330,0:05:56.133
i zakończyliśmy