WEBVTT 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 4 sur racine carrée de 65. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Quel est le cosinus 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 a une longueur de 2 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 c'est 2 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 c'est-à-dire racine carrée de 3 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 cah 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 de 30 degrés 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 de 65. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 de me dire 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 donc sur 4 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 est toujours égal à un demi 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 et si ce côté-ci 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 fois 3 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 la tangente 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 la tangente c'est 7 sur 4 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 même si je viens de le faire 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 on a "rationalisé" 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 plus 16, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 que vaut la tangente de 60 degrés? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 racine carrée de 3 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 si on prend la racine carrée des deux côtés, 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 soit 2 racine carrée de 3 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sont des triangles rectangles 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sur l'hypoténuse 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sur l'hypoténuse (H). 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sur l'hypoténuse. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sur le côté adjacent 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 sur racine carrée de 3 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 toa 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 un demi. 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 les fonctions trigonométriques. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Construisons des triangles rectangles. 00:00:11.447 --> 00:00:13.668 Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition, 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez 00:00:18.042 --> 00:00:23.475 les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles. 00:00:27.867 --> 00:00:31.344 Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7, 00:00:33.897 --> 00:00:37.757 et disons que ce côté ici est de 4. 00:00:39.452 --> 00:00:42.516 Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse. 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 nous allons appeller h l'hypoténuse 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 ça grâce au théorème de Pythagore, 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 que l'hypoténuse au carré est égale à 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 la somme des carrés 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré. 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 Donc ceci est égal à 49 00:01:09.776 --> 00:01:11.800 49 plus 16 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 49 plus 10 font 59, plus 6 font 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 65. 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 Donc h au carré 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 h au carré est égal à 65. 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 font 65, on peut aussi dire que h est égal à, 00:01:37.600 --> 00:01:39.200 h est égal à la racine carrée de 65. 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 Et on ne peut pas simplifier cette expression: 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 65, c'est 13 fois 5, 00:01:44.699 --> 00:01:47.463 ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits, 00:01:50.388 --> 00:01:51.804 ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Donc h est égal à la racine carrée 00:01:55.467 --> 00:02:02.114 Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta. 00:02:05.457 --> 00:02:06.533 Quand on fait ça, 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 il faut écrire - moi ça m'aide - 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 "soh cah toa". 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 soh... 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 ...soh cah toa. Je me rappelle ça 00:02:16.464 --> 00:02:18.786 de mon professeur de trigonométrie, 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus, 00:02:21.293 --> 00:02:23.867 une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa", 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 et c'est un moyen mnémotechnique efficace. 00:02:27.564 --> 00:02:31.046 Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!" 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus: 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse. 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A) 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Revenons à théta. Quel côté est son adjacent? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Nous savons que l'hypoténuse 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici. 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 Le seul côté qui est adjacent à thêta 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici. 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 Le côté adjacent ici, 00:03:10.473 --> 00:03:14.374 qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle, 00:03:15.754 --> 00:03:17.133 c'est 4 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65, 00:03:21.108 --> 00:03:25.380 donc c'est 4 sur racine carrée de 65. 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur, 00:03:29.142 --> 00:03:32.625 ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur, 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 par racine carrée de 65. 00:03:43.306 --> 00:03:45.094 Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même, 00:03:48.122 --> 00:03:49.111 donc en fait nous multiplions par 1. 00:03:52.780 --> 00:03:54.127 Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur. 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65, 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales. 00:04:09.777 --> 00:04:12.401 Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales. 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales. 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa" 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 SOH = Sinus Opposite Hypoténuse 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Pour cet angle, quel côté est l'opposé? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 donc le côté opposé est le 7. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 Voici donc le côté opposé 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse, 00:04:47.800 --> 00:04:51.109 L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 sur racine carrée de 65 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65, 00:05:04.298 --> 00:05:07.966 et au dénominateur, juste 65. 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Et maintenant, la tangente! 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Alors, la tangente. 00:05:12.796 --> 00:05:14.793 Si je vous demande la tangente 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 la tangente de thêta 00:05:17.394 --> 00:05:20.784 si on se souvient de soh cah toa 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 Donc la tangente est égale 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 au côté opposé sur le coté adjacent 00:05:29.867 --> 00:05:33.137 au côté opposé sur le coté adjacent 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 donc pour cet angle 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 nous savons que le côté opposé est 7 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 donc c'est 7 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 et le côté adjacent, c'est 4 ici 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 donc puisque le côté adjacent est 4 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 la tangente c'est 7 sur 4 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 et voilà 00:05:56.133 --> 00:05:59.375 on a trouvé toutes les fractions pour thêta. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 Faisons-en un autre, un peu plus concret. 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Si je dessine un autre triangle rectangle, 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 voilà un autre triangle rectangle 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 on ne parle que de triangle rectangle 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 tous les triangles avec lesquels on travaille 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 si l'hypoténuse 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 a une longueur de 4 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 on peut voir ce que ça donne 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Si on met ce côté au carré, 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 ça donne 2 racine carrée de 3 au carré 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 + 2 au carré, ça donne quoi? 00:06:42.471 --> 00:06:46.467 2 au carré ça fait 4 00:06:46.467 --> 00:06:49.763 4 fois 3 plus 4 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 donc ça fait 12 plus 4 donc 16 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 et 16, c'est 4 au carré 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié. 00:07:01.790 --> 00:07:06.133 Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 que vous avez pu apprendre en géométrie, 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 et par conséquent, cet angle ici, 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 c'est un angle de 60 degrés 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 et c'est un 30 60 90 car 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse 00:07:38.432 --> 00:07:40.159 Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 cherchons plutôt les fractions trigonométriques 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Si je vous demande 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 quel est le sinus de 30 degrés 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 plus tard on verra des définitions plus générales 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 et si on se rappelle de son cah toa 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 soh 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 que voici, soit 2 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 sur l'hypoténuse, qui est 4 ici. 00:08:32.395 --> 00:08:35.646 Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi 00:08:35.646 --> 00:08:40.800 le sinus de 30 degrés 00:08:40.800 --> 00:08:44.144 Maintenant 00:08:44.144 --> 00:08:46.867 Quel est le cosinus 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 on en revient toujours à soh cah toa 00:08:50.135 --> 00:08:52.643 Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 donc pour l'angle de 30 degrés 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 voici le côté adjacent 00:09:01.791 --> 00:09:05.467 juste à côté de l'angle 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 le côté adjacent 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2, 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 ça donne racine carrée de 3 sur 2 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 Et maintenant, 00:09:22.782 --> 00:09:27.800 la tangente de 30 degrés 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 on en revient toujours à soh cah toa 00:09:30.305 --> 00:09:31.699 soh cah toa 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 Pour l'angle de 30 degrés, 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 le côté opposé c'est 2 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 puisque adjacent, ça veut dire à côté 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 voilà le côté adjacent 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 donc 2 racine carrée de 3 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent) 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 1 sur racine carrée de 3 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 on aura 00:10:05.367 --> 00:10:08.804 donc le numérateur est égal à racine carrée de 3 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 et le dénominateur est égal à 3 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 on a "rationalisé" 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Maintenant, avec le même triangle 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 quel est le sinus de 60 degrés 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 je pense que vous commencez à maîtriser 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa) 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 le côté opposé est ici 00:10:36.668 --> 00:10:39.315 soit 2 racine carrée de 3 00:10:42.566 --> 00:10:45.306 et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 et maintenant le cosinus de 60 degrés? 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah) 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 l'adjacent est à côté de l'angle soit 2 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 sur l'hypoténuse soit 4 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 donc ceci est égal à 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 Enfin, 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 que vaut la tangente de 60 degrés? 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa) 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 l'opposé de l'angle de 60 degrés 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 c'est 2 racine carrée de 3 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 c'est 2 racine carrée de 3 00:11:38.000 --> 00:11:39.919 et l'adjacent 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 de ce même angle 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 donc opposé sur adjacent, ça fait 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 2 racine carrés de 3 sur 2 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 Regardez les similitudes 00:11:54.641 --> 00:11:57.984 Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés. Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés. 00:12:01.333 --> 00:12:03.966 et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique. 00:12:05.635 --> 00:12:07.105 On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices 00:12:07.105 --> 00:12:08.461 dans les prochaines vidéos.