4 sur racine carrée de 65. L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65 Quel est le cosinus a une longueur de 2 c'est 2 c'est-à-dire racine carrée de 3 cah de 30 degrés de 65. de me dire donc sur 4 est toujours égal à un demi et si ce côté-ci fois 3 la tangente la tangente c'est 7 sur 4 même si je viens de le faire on a "rationalisé" plus 16, que vaut la tangente de 60 degrés? racine carrée de 3 si on prend la racine carrée des deux côtés, soit 2 racine carrée de 3 sont des triangles rectangles sur l'hypoténuse sur l'hypoténuse (H). sur l'hypoténuse. sur le côté adjacent sur racine carrée de 3 toa un demi. Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre les fonctions trigonométriques. Construisons des triangles rectangles. Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition, cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles. Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7, et disons que ce côté ici est de 4. Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse. nous allons appeller h l'hypoténuse nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons ça grâce au théorème de Pythagore, que l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré. Donc ceci est égal à 49 49 plus 16 49 plus 10 font 59, plus 6 font 65. Donc h au carré h au carré est égal à 65. C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6 font 65, on peut aussi dire que h est égal à, h est égal à la racine carrée de 65. Et on ne peut pas simplifier cette expression: 65, c'est 13 fois 5, ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits, ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression. Donc h est égal à la racine carrée Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta. Quand on fait ça, il faut écrire - moi ça m'aide - "soh cah toa". soh... ...soh cah toa. Je me rappelle ça de mon professeur de trigonométrie, ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus, une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa", et c'est un moyen mnémotechnique efficace. Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!" Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus: CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse. CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A) Revenons à théta. Quel côté est son adjacent? Nous savons que l'hypoténuse Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici. Le seul côté qui est adjacent à thêta et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici. Le côté adjacent ici, qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle, c'est 4 Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65, donc c'est 4 sur racine carrée de 65. Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur, ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur, vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 65. Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même, donc en fait nous multiplions par 1. Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur. Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65, et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65. Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur. Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales. Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales. On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales. Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa" SOH = Sinus Opposite Hypoténuse Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse. Pour cet angle, quel côté est l'opposé? Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7 donc le côté opposé est le 7. Voici donc le côté opposé et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse, L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65 et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65 sur racine carrée de 65 alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65, et au dénominateur, juste 65. Et maintenant, la tangente! Alors, la tangente. Si je vous demande la tangente la tangente de thêta si on se souvient de soh cah toa grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent Donc la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent au côté opposé sur le coté adjacent la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent donc pour cet angle nous savons que le côté opposé est 7 puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7 donc c'est 7 et le côté adjacent, c'est 4 ici donc puisque le côté adjacent est 4 la tangente c'est 7 sur 4 et voilà on a trouvé toutes les fractions pour thêta. Faisons-en un autre, un peu plus concret. Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets Si je dessine un autre triangle rectangle, voilà un autre triangle rectangle on ne parle que de triangle rectangle tous les triangles avec lesquels on travaille si l'hypoténuse a une longueur de 4 et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3 on peut voir ce que ça donne Si on met ce côté au carré, ça donne 2 racine carrée de 3 au carré + 2 au carré, ça donne quoi? 2 au carré ça fait 4 4 fois 3 plus 4 donc ça fait 12 plus 4 donc 16 et 16, c'est 4 au carré Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié. Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90 que vous avez pu apprendre en géométrie, vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés et par conséquent, cet angle ici, c'est un angle de 60 degrés et c'est un 30 60 90 car le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90 cherchons plutôt les fractions trigonométriques Si je vous demande quel est le sinus de 30 degrés sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle plus tard on verra des définitions plus générales Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle et si on se rappelle de son cah toa soh Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé que voici, soit 2 sur l'hypoténuse, qui est 4 ici. Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi le sinus de 30 degrés Maintenant Quel est le cosinus on en revient toujours à soh cah toa Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse donc pour l'angle de 30 degrés voici le côté adjacent juste à côté de l'angle c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse le côté adjacent en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2, ça donne racine carrée de 3 sur 2 Et maintenant, la tangente de 30 degrés on en revient toujours à soh cah toa soh cah toa D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent Pour l'angle de 30 degrés, le côté opposé c'est 2 et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3 puisque adjacent, ça veut dire à côté voilà le côté adjacent donc 2 racine carrée de 3 donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent) 1 sur racine carrée de 3 et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3 on aura donc le numérateur est égal à racine carrée de 3 et le dénominateur est égal à 3 on a "rationalisé" Maintenant, avec le même triangle regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés quel est le sinus de 60 degrés je pense que vous commencez à maîtriser le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa) le côté opposé est ici soit 2 racine carrée de 3 et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2 et maintenant le cosinus de 60 degrés? le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah) l'adjacent est à côté de l'angle soit 2 sur l'hypoténuse soit 4 donc ceci est égal à Enfin, que vaut la tangente de 60 degrés? la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa) l'opposé de l'angle de 60 degrés c'est 2 racine carrée de 3 c'est 2 racine carrée de 3 et l'adjacent de ce même angle le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2 donc opposé sur adjacent, ça fait 2 racine carrés de 3 sur 2 Regardez les similitudes Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés. Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés. et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique. On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices dans les prochaines vidéos.