1
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
4 sur racine carrée de 65.

2
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65

3
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Quel est le cosinus

4
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
a une longueur de 2

5
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
c'est 2

6
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
c'est-à-dire racine carrée de 3

7
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
cah

8
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
de 30 degrés

9
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
de 65.

10
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
de me dire

11
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
donc sur 4

12
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
est toujours égal à un demi

13
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
et si ce côté-ci

14
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
fois 3

15
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
la tangente

16
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
la tangente c'est 7 sur 4

17
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
même si je viens de le faire

18
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
on a "rationalisé"

19
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
plus 16,

20
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
que vaut la tangente de 60 degrés?

21
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
racine carrée de 3

22
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
si on prend la racine carrée des deux côtés,

23
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
soit 2 racine carrée de 3

24
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sont des triangles rectangles

25
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sur l'hypoténuse

26
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sur l'hypoténuse (H).

27
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sur l'hypoténuse.

28
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sur le côté adjacent

29
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
sur racine carrée de 3

30
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
toa

31
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
un demi.

32
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre

33
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
les fonctions trigonométriques.

34
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Construisons des triangles rectangles.

35
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition,

36
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez

37
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra

38
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles.

39
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7,

40
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
et disons que ce côté ici est de 4.

41
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse.

42
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
nous allons appeller h l'hypoténuse

43
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons

44
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
ça grâce au théorème de Pythagore,

45
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
que l'hypoténuse au carré est égale à

46
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
la somme des carrés

47
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré.

48
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
Donc ceci est égal à 49

49
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
49 plus 16

50
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49 plus 10 font 59, plus 6 font

51
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
65.

52
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
Donc h au carré

53
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
h au carré est égal à 65.

54
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6

55
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
font 65, on peut aussi dire que h est égal à,

56
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
h est égal à la racine carrée de 65.

57
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
Et on ne peut pas simplifier cette expression:

58
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
65, c'est 13 fois 5,

59
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits,

60
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression.

61
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Donc h est égal à la racine carrée

62
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta.

63
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
Quand on fait ça,

64
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
il faut écrire - moi ça m'aide -

65
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
"soh cah toa".

66
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
soh...

67
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
...soh cah toa. Je me rappelle ça

68
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
de mon professeur de trigonométrie,

69
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus,

70
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa",

71
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
et c'est un moyen mnémotechnique efficace.

72
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle

73
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!"

74
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus:

75
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse

76
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse.

77
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A)

78
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Revenons à théta. Quel côté est son adjacent?

79
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Nous savons que l'hypoténuse

80
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici.

81
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
Le seul côté qui est adjacent à thêta

82
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici.

83
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
Le côté adjacent ici,

84
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle,

85
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
c'est 4

86
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65,

87
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
donc c'est 4 sur racine carrée de 65.

88
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur,

89
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur

90
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur,

91
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur

92
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
par racine carrée de 65.

93
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même,

94
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
donc en fait nous multiplions par 1.

95
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur.

96
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65,

97
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65.

98
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur.

99
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.

100
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.

101
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales.

102
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa"

103
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
SOH = Sinus Opposite Hypoténuse

104
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.

105
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.

106
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Pour cet angle, quel côté est l'opposé?

107
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7

108
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
donc le côté opposé est le 7.

109
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
Voici donc le côté opposé

110
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse,

111
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65

112
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65

113
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
sur racine carrée de 65

114
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65,

115
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
et au dénominateur, juste 65.

116
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Et maintenant, la tangente!

117
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Alors, la tangente.

118
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Si je vous demande la tangente

119
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
la tangente de thêta

120
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
si on se souvient de soh cah toa

121
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente

122
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent

123
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
Donc la tangente est égale

124
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
au côté opposé sur le coté adjacent

125
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
au côté opposé sur le coté adjacent

126
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent

127
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
donc pour cet angle

128
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
nous savons que le côté opposé est 7

129
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7

130
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
donc c'est 7

131
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
et le côté adjacent, c'est 4 ici

132
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
donc puisque le côté adjacent est 4

133
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
la tangente c'est 7 sur 4

134
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
et voilà

135
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
on a trouvé toutes les fractions pour thêta.

136
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
Faisons-en un autre, un peu plus concret.

137
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets

138
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Si je dessine un autre triangle rectangle,

139
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
voilà un autre triangle rectangle

140
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
on ne parle que de triangle rectangle

141
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
tous les triangles avec lesquels on travaille

142
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
si l'hypoténuse

143
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
a une longueur de 4

144
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3

145
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
on peut voir ce que ça donne

146
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Si on met ce côté au carré,

147
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
ça donne 2 racine carrée de 3 au carré

148
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
+ 2 au carré, ça donne quoi?

149
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
2 au carré ça fait 4

150
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4 fois 3 plus 4

151
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
donc ça fait 12 plus 4 donc 16

152
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
et 16, c'est 4 au carré

153
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié.

154
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90

155
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
que vous avez pu apprendre en géométrie,

156
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit

157
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit

158
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés

159
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
et par conséquent, cet angle ici,

160
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
c'est un angle de 60 degrés

161
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
et c'est un 30 60 90 car

162
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse

163
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à

164
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse

165
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90

166
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
cherchons plutôt les fractions trigonométriques

167
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Si je vous demande

168
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
quel est le sinus de 30 degrés

169
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle

170
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle

171
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
plus tard on verra des définitions plus générales

172
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle

173
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
et si on se rappelle de son cah toa

174
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
soh

175
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

176
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé

177
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
que voici, soit 2

178
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
sur l'hypoténuse, qui est 4 ici.

179
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi

180
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
le sinus de 30 degrés

181
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
Maintenant

182
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
Quel est le cosinus

183
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
on en revient toujours à soh cah toa

184
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse

185
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
donc pour l'angle de 30 degrés

186
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
voici le côté adjacent

187
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
juste à côté de l'angle

188
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse

189
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
le côté adjacent

190
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2,

191
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
ça donne racine carrée de 3 sur 2

192
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Et maintenant,

193
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
la tangente de 30 degrés

194
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
on en revient toujours à soh cah toa

195
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
soh cah toa

196
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent

197
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Pour l'angle de 30 degrés,

198
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
le côté opposé c'est 2

199
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3

200
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
puisque adjacent, ça veut dire à côté

201
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
voilà le côté adjacent

202
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
donc 2 racine carrée de 3

203
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent)

204
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
1 sur racine carrée de 3

205
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3

206
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
on aura

207
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
donc le numérateur est égal à racine carrée de 3

208
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
et le dénominateur est égal à 3

209
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
on a "rationalisé"

210
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Maintenant, avec le même triangle

211
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés

212
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
quel est le sinus de 60 degrés

213
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
je pense que vous commencez à maîtriser

214
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa)

215
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
le côté opposé est ici

216
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
soit 2 racine carrée de 3

217
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

218
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

219
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

220
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse

221
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2

222
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
et maintenant le cosinus de 60 degrés?

223
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah)

224
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
l'adjacent est à côté de l'angle soit 2

225
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
sur l'hypoténuse soit 4

226
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
donc ceci est égal à

227
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
Enfin,

228
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
que vaut la tangente de 60 degrés?

229
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa)

230
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
l'opposé de l'angle de 60 degrés

231
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
c'est 2 racine carrée de 3

232
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
c'est 2 racine carrée de 3

233
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
et l'adjacent

234
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
de ce même angle

235
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2

236
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
donc opposé sur adjacent, ça fait

237
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
2 racine carrés de 3 sur 2

238
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
Regardez les similitudes

239
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés.
Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés.

240
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique.

241
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices

242
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
dans les prochaines vidéos.