4 sur racine carrée de 65.
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
Quel est le cosinus
a une longueur de 2
c'est 2
c'est-à-dire racine carrée de 3
cah
de 30 degrés
de 65.
de me dire
donc sur 4
est toujours égal à un demi
et si ce côté-ci
fois 3
la tangente
la tangente c'est 7 sur 4
même si je viens de le faire
on a "rationalisé"
plus 16,
que vaut la tangente de 60 degrés?
racine carrée de 3
si on prend la racine carrée des deux côtés,
soit 2 racine carrée de 3
sont des triangles rectangles
sur l'hypoténuse
sur l'hypoténuse (H).
sur l'hypoténuse.
sur le côté adjacent
sur racine carrée de 3
toa
un demi.
Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre
les fonctions trigonométriques.
Construisons des triangles rectangles.
Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition,
cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez
les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra
construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles.
Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7,
et disons que ce côté ici est de 4.
Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse.
nous allons appeller h l'hypoténuse
nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons
ça grâce au théorème de Pythagore,
que l'hypoténuse au carré est égale à
la somme des carrés
des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré.
Donc ceci est égal à 49
49 plus 16
49 plus 10 font 59, plus 6 font
65.
Donc h au carré
h au carré est égal à 65.
C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6
font 65, on peut aussi dire que h est égal à,
h est égal à la racine carrée de 65.
Et on ne peut pas simplifier cette expression:
65, c'est 13 fois 5,
ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits,
ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression.
Donc h est égal à la racine carrée
Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta.
Quand on fait ça,
il faut écrire - moi ça m'aide -
"soh cah toa".
soh...
...soh cah toa. Je me rappelle ça
de mon professeur de trigonométrie,
ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus,
une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa",
et c'est un moyen mnémotechnique efficace.
Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle
Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!"
Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus:
CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse
Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse.
CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A)
Revenons à théta. Quel côté est son adjacent?
Nous savons que l'hypoténuse
Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici.
Le seul côté qui est adjacent à thêta
et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici.
Le côté adjacent ici,
qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle,
c'est 4
Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65,
donc c'est 4 sur racine carrée de 65.
Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur,
ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur
donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur,
vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur
par racine carrée de 65.
Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même,
donc en fait nous multiplions par 1.
Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur.
Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65,
et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65.
Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur.
Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.
Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.
On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales.
Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa"
SOH = Sinus Opposite Hypoténuse
Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.
Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.
Pour cet angle, quel côté est l'opposé?
Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7
donc le côté opposé est le 7.
Voici donc le côté opposé
et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse,
L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65
et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65
sur racine carrée de 65
alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65,
et au dénominateur, juste 65.
Et maintenant, la tangente!
Alors, la tangente.
Si je vous demande la tangente
la tangente de thêta
si on se souvient de soh cah toa
grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente
TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent
Donc la tangente est égale
au côté opposé sur le coté adjacent
au côté opposé sur le coté adjacent
la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent
donc pour cet angle
nous savons que le côté opposé est 7
puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7
donc c'est 7
et le côté adjacent, c'est 4 ici
donc puisque le côté adjacent est 4
la tangente c'est 7 sur 4
et voilà
on a trouvé toutes les fractions pour thêta.
Faisons-en un autre, un peu plus concret.
Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets
Si je dessine un autre triangle rectangle,
voilà un autre triangle rectangle
on ne parle que de triangle rectangle
tous les triangles avec lesquels on travaille
si l'hypoténuse
a une longueur de 4
et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3
on peut voir ce que ça donne
Si on met ce côté au carré,
ça donne 2 racine carrée de 3 au carré
+ 2 au carré, ça donne quoi?
2 au carré ça fait 4
4 fois 3 plus 4
donc ça fait 12 plus 4 donc 16
et 16, c'est 4 au carré
Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié.
Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90
que vous avez pu apprendre en géométrie,
vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit
J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit
et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés
et par conséquent, cet angle ici,
c'est un angle de 60 degrés
et c'est un 30 60 90 car
le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse
et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à
racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse
Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90
cherchons plutôt les fractions trigonométriques
Si je vous demande
quel est le sinus de 30 degrés
sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle
mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle
plus tard on verra des définitions plus générales
Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle
et si on se rappelle de son cah toa
soh
Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé
que voici, soit 2
sur l'hypoténuse, qui est 4 ici.
Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi
le sinus de 30 degrés
Maintenant
Quel est le cosinus
on en revient toujours à soh cah toa
Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse
donc pour l'angle de 30 degrés
voici le côté adjacent
juste à côté de l'angle
c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse
le côté adjacent
en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2,
ça donne racine carrée de 3 sur 2
Et maintenant,
la tangente de 30 degrés
on en revient toujours à soh cah toa
soh cah toa
D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent
Pour l'angle de 30 degrés,
le côté opposé c'est 2
et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3
puisque adjacent, ça veut dire à côté
voilà le côté adjacent
donc 2 racine carrée de 3
donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent)
1 sur racine carrée de 3
et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3
on aura
donc le numérateur est égal à racine carrée de 3
et le dénominateur est égal à 3
on a "rationalisé"
Maintenant, avec le même triangle
regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés
quel est le sinus de 60 degrés
je pense que vous commencez à maîtriser
le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa)
le côté opposé est ici
soit 2 racine carrée de 3
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse
c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse
ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2
et maintenant le cosinus de 60 degrés?
le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah)
l'adjacent est à côté de l'angle soit 2
sur l'hypoténuse soit 4
donc ceci est égal à
Enfin,
que vaut la tangente de 60 degrés?
la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa)
l'opposé de l'angle de 60 degrés
c'est 2 racine carrée de 3
c'est 2 racine carrée de 3
et l'adjacent
de ce même angle
le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2
donc opposé sur adjacent, ça fait
2 racine carrés de 3 sur 2
Regardez les similitudes
Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés.
Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés.
et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique.
On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices
dans les prochaines vidéos.