a un medio
ambos lados
aunque lo acabo de hacer.
cah
de sesenta grados.
de sesenta y cinco.
digamos que este lado de aquí
dos, esto será cuatro por tres
el coseno
es dos
la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
la raíz cuadrada de tres.
la raíz de sesenta y cinco
la tangente
mide dos
más dieciséis,
o si alguien te preguntara cuánto es
raíz cuadrada de tres
sobre
sobre cuatro
sobre hipotenusa, sobre cuatro
sobre la hipotenusa.
sobre raíz cuadrada de tres
sobre tres
sobre... el lado adyacente
son triángulos rectángulos
toa
treinta grados
un medio
Hagamos unos ejemplos más para comprobar que estamos
entendiendo bien esta función trigonométrica.
Vamos a construir unos cuántos triángulos rectángulos.
Construyámonos algunos triángulos rectángulos, y quiero dejar muy clara la forma en que
lo he definido hasta ahora así que si estás intentando encontrar las funciones
trigonométricas de ángulos que no son de triángulos rectángulos, veremos que
necesitaremos construir triángulos rectángulos, pero centrémonos en los triángulos rectángulos por ahora.
Digamos que tengo un triángulo y que este lado de aquí abajo es siete,
y digamos que este lado de aquí arriba es cuatro.
Averigüemos cuánto valdrá esta hipotenusa de aquí. Sabemos
-llamemos a la hipotenusa "h"-
sabemos que "h" al cuadrado será igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado,
lo sabemos por el teorema de Pitágoras,
que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
"h" al cuadrado es igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado.
Así que es igual a cuarenta y nueve
cuarenta y nueve más dieciséis,
cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más seis es
sesenta y cinco. Es sesenta y cinco así que esta "h" al cuadrado
escribo: "h" al cuadrado
-es otro tono de amarillo- así que tenemos que "h" al cuadrado es igual a
sesenta y cinco. ¿Lo he hecho bien? Cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más otros seis
es sesenta y cinco, o podríamos decir que "h" es igual a, si tomamos la raíz cuadrada de
raíz cuadrada
raíz cuadrada de sesenta y cinco. Y no lo podemos simplificar en absoluto
esto es trece
así que es lo mismo que trece por cinco, ninguno de ellos es un cuadrado perfecto y
ambos son primos, así que no podemos simplificar más.
Esto es igual a la raíz cuadrada
Ahora encontremos las funciones trigonométricas para este ángulo de aquí arriba. Llamemos a éste angulo de aquí arriba theta.
Así que cuando lo hagas
siempre querrás escribir -al menos a mí me funciona escribirlo-
"soh cah toa" ("soh cah toa")
soh (soh)
soh cah toa (soh cah toa). Tengo un vago recuerdo
de mi
profesor de trigonometría, tal vez lo leí en algún libro, no lo recuerdo - sobre
una princesa india llamada "soh cah toa" o algo así, pero es muy útil
mnemotécnicamente, así que podemos usar "soh cah toa". Encontremos
digamos que queremos encontrar el coseno. Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo.
Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo, dices: "¡soh cah toa!"
Así que el "cah". "Cah" nos dice qué hacer con el coseno,
el "cah" nos dice
que el coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
El coseno es igual al adyacente
Veamos la theta, ¿qué lado es el adyacente?
Bueno, sabemos que la hipotenusa
sabemos que la hipotenusa es este lado de aquí
así que no puede ser ése lado. El único otro lado que es adyacente y que no es
la hipotenusa, es este cuatro.
Así que el lado adyacente de aquí, este lado está,
está literalmente pegado junto al ángulo, es uno de los lados que forma el ángulo
es cuatro
La hipotenusa que ya conocemos es la raíz cuadrada de sesenta y cinco, así que es cuatro
sobre
A veces querrán que racionalices el denominador lo que significa que no les gusta
tener un número irracional en el denominador, como la raíz de sesenta y cinco
y si quieren que reescribas esto sin un
número irracional en el denominador, puedes multiplicar el numerador y el denominador
por la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
Esto no cambiará el valor numérico, porque estamos multiplicando y dividiendo por lo mismo, así que
multiplicando el número por uno. Eso no cambiará el número, pero al menos nos libra del
número irracional del denominador. Así que el numerador se convierte
en cuatro por raíz de sesenta y cinco, y el denominador,
raíz cuadrada de sesenta y cinco por raíz cuadrada de sesenta y cinco, que simplemente es sesenta y cinco.
No nos hemos librado del número irracional, todavía está ahí, pero ahora en el numerador.
Ahora calculemos el resto de funciones trigonométricas
o al menos las otras funciones trigonométricas principales. Veremos más adelante que hay un montón
de funciones, pero que todas se derivan de éstas
así que pensemos cuál es el seno de theta. De nuevo miremos el "soh cah toa"
el "soh" nos dice qué hacer con el seno. Seno es el opuesto sobre la hipotenusa.
Seno es igual a
opuesto sobre hipotenusa. Seno es opuesto sobre hipotenusa.
¿Cuál es el lado opuesto para este ángulo?
Simplemente vamos al opuesto del ángulo, aquél al que se abre, es opuesto al de siete
así que el opuesto es el siete.
Este de aquí - este es el lado opuesto
y luego
la hipotenusa, es el opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es
y de nuevo si queremos racionalizar esto, podemos multiplicar por la raíz de sesenta y cinco
sobre la raíz de sesenta y cinco
y en el numerador, obtendremos siete por la raíz de sesenta y cinco y en el denominador tendremos
simplemente sesenta y cinco otra vez.
¡Ahora hagamos la tangente!
Hagamos la tangente.
Si pregunto la tangente
de - la tangente de theta
volvemos a "soh cah toa"
el "toa" nos dice qué hacer con la tangente
nos dice
nos dice que la tangente
es igual al opuesto sobre el adyacente. Es igual al opuesto
sobre
opuesto sobre adyacente
así que para este ángulo
el opuesto ya lo hemos encontrado antes, es el siete, que se abre al siete
el siete
así que es siete
el cuatro es el adyacente
este cuatro es adyacente así que el lado adyacente es cuatro
así que es siete
y ya está.
Como hemos encontrado todas las razones trigonométricas de theta hagamos otro
hagamos otro. Voy a hacerlo algo más concreto porque ahora mismo hemos estado diciendo
tangente de x, tangente de theta. Hagámoslo algo más concreto
digamos
déjame dibujar otro triángulo rectángulo
esto es otro triángulo rectángulo
lo único con lo que vamos a trabajar
digamos que la hipotenusa
mide cuatro
y digamos que esta distancia de aquí será el doble de la raíz de tres,
podemos verificarlo
si elevamos al cuadrado este lado, déjame escribirlo... dos por la raíz cuadrada
de tres al cuadrado
más dos al cuadrado es igual a
esto es
cuatro por tres más cuatro
será igual a doce más cuatro igual a dieciséis y dieciséis es
cuatro al cuadrado, así que esto es igual a cuatro al cuadrado.
Si es igual a cuatro al cuadrado satisface el teorema de Pitágoras
y si recuerdas algo de los triángulos de treinta sesenta noventa sobre los que puede que hayas
aprendido en geometría, puede que reconozcas que este
es un triángulo treinta sesenta noventa y que este de aquí es el ángulo rectángulo que debería
haber dibujado desde el principio para marcar que es un triángulo rectángulo
este ángulo de aquí es nuestro ángulo de treinta grados
y este ángulo de aquí arriba, este ángulo es
un ángulo de sesenta grados
y es un triángulo treinta sesenta noventa porque
el lado opuesto al de treinta grados es la mitad de la hipotenusa
y que además el lado opuesto al de sesenta grados es el cuadrado de tres por el otro lado
no es la hipotenusa
y eso es todo. Esto no pretende ser un repaso de los triángulos treinta sesenta noventa
Así que vamos a encontrar las razones trigonométricas de los diferentes ángulos
así que si te pregutara
cuánto es el seno de treinta grados
y recuerda que treinta grados es uno de los ángulos en este triángulopero esto es aplicable
siempre que tengas un ángulo de treinta grados y estés tratando con un triángulo rectángulo
tendremos definiciones más amplias en el futuro, pero si tienes seno de treinta grados
y este ángulo de aquí es de treinta grados así que puedo usar este triángulo rectángulo
y solo tenemos que recordar soh cah toa
reescribirlo de forma que
soh nos dice qué hacer con el seno. Seno es opuesto sobre hipotenusa
seno de treinta grados es el lado opuesto
que es el lado opuesto que es dos
sobre la hipotenusa. Aquí la hipotenusa es cuatro.
Es dos cuartos que es lo mismo que un medio
seno de treinta grados serás que siempre será igual
ahora, cuánto vale
cuánto es el coseno de
de nuevo volvemos a soh cah toa.
Cah nos dice qué hacer con el coseno. Coseno es adyacente sobre hipotenusa
así que para el ángulo de treinta grados es el adyacente. Este de aquí es
el adyacente, está justo al lado
no es la hipotenusa
es el adyacente sobre la hipotenusa así que es dos
adyacente
o si simplificamos dividiendo numerador y denominador por dos es la raíz cuadrada de tres
sobre dos
finalmente hacemos
tangente de treinta grados
volvemos a soh cah toa
soh cah toa
toa nos dice qué hacer con la tangente, es el opuesto sobre el adyacente
vamos al ángulo de treinta grados porque es lo que nos interesa, tangente de treinta
tangente de treinta, el opuesto es dos
el opuesto es dos y el adyacente es dos raíz cuadrada de tres que está justo al lado.
El adyacente
adyacente significa justo al lado
así que dos raíz cuadrada de tres
así que esto es igual a
los dos se cancelan, uno sobre raíz cuadrada de tres
o podemos multiplicar numerador y denominador por la raíz cuadrada de tres
así que tenemos
así que esto será igual al numerador, raíz cuadrada de tres, y luego el denominador
justo aquí será tres porque hemos racionalizado la raíz cuadrada de tres
Ahora usemos el mismo triángulo para encontrar las razones para el ángulo de sesenta
como ya lo tenemos dibujado
cuánto es
cuánto es el seno de sesenta grados y creo que ya le estás cogiendo el tranquillo
seno es el opuesto sobre el adyacente. Soh de soh cah toa. Del ángulo de sesenta grados qué lado
es el opuesto
cuál se abre a las dos raíces cuadradas de tres de forma que el lado opuesto es dos por raíz cuadrada de tres
y del ángulo de sesenta grados, el ady- oh perdón, es el
opuesto sobre la hipotenusa, no quiero confundirte.
Así que es el opuesto sobre la hipotenusa
así que es dos por raíz cuadrada de tres sobre cuatro, cuatro es la hipotenusa,
así que es igual a, esto se simplifica a raíz cuadrada de tres sobre dos.
Cuánto es el coseno de sesenta grados. Cosenos de sesenta grados.
Recuerda, soh cah toa. Coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
Adyacentes son los dos lados junto al ángulo de sesenta grados así que es dos
sobre la hipotenusa, que es cuatro,
así que es igual a
y finalmente
cuánto es la tangente, cuánto es la tangente
Soh cah toa, tangente es opuesto sobre adyacente
opuesto de sesenta grados
es dos raíz cuadrada de tres
dos raíz cuadrada de tres
y adyacente a ese
adyacente a ese
el adyacente a sesenta grados es dos
así que el opuesto sobre el adyacente
dos por raíz de tres dividido por dos, lo cuál es igual a
Solo quiero que veamos cómo están relacionados
el seno de treinta grados es lo mismo que el coseno de sesenta grados. El coseno de treinta grados es lo mismo que el seno de sesenta grados
y entonces estos son el inverso el uno del otro y creo que si piensas un poco acerca de este triángulo
empezará a cobrar sentido el porqué. Seguiremos expandiendo esto y practicando más en
los próximos vídeos