ambos lados
de sesenta y cinco.
digamos que este lado de aquí
dos, esto será cuatro por tres
la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
la raíz cuadrada de tres.
la raíz de sesenta y cinco
mide dos
más dieciséis,
sobre cuatro
sobre la hipotenusa.
sobre... el lado adyacente
son triángulos rectángulos
Hagamos unos ejemplos más para comprobar que estamos
entendiendo bien esta función trigonométrica.
Vamos a construir unos cuántos triángulos rectángulos.
Construyámonos algunos triángulos rectángulos, y quiero dejar muy clara la forma en que
lo he definido hasta ahora así que si estás intentando encontrar las funciones
trigonométricas de ángulos que no son de triángulos rectángulos, veremos que
necesitaremos construir triángulos rectángulos, pero centrémonos en los triángulos rectángulos por ahora.
Digamos que tengo un triángulo y que este lado de aquí abajo es siete,
y digamos que este lado de aquí arriba es cuatro.
Averigüemos cuánto valdrá esta hipotenusa de aquí. Sabemos
-llamemos a la hipotenusa "h"-
sabemos que "h" al cuadrado será igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado,
lo sabemos por el teorema de Pitágoras,
que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
"h" al cuadrado es igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado.
Así que es igual a cuarenta y nueve
cuarenta y nueve más dieciséis,
cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más seis es
sesenta y cinco. Es sesenta y cinco así que esta "h" al cuadrado
escribo: "h" al cuadrado
-es otro tono de amarillo- así que tenemos que "h" al cuadrado es igual a
sesenta y cinco. ¿Lo he hecho bien? Cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más otros seis
es sesenta y cinco, o podríamos decir que "h" es igual a, si tomamos la raíz cuadrada de
raíz cuadrada
raíz cuadrada de sesenta y cinco. Y no lo podemos simplificar en absoluto
esto es trece
así que es lo mismo que trece por cinco, ninguno de ellos es un cuadrado perfecto y
ambos son primos, así que no podemos simplificar más.
Esto es igual a la raíz cuadrada
Ahora encontremos las funciones trigonométricas para este ángulo de aquí arriba. Llamemos a éste angulo de aquí arriba theta.
Así que cuando lo hagas
siempre querrás escribir -al menos a mí me funciona escribirlo-
"soh cah toa" ("soh cah toa")
soh (soh)
soh cah toa (soh cah toa). Tengo un vago recuerdo
de mi
profesor de trigonometría, tal vez lo leí en algún libro, no lo recuerdo - sobre
una princesa india llamada "soh cah toa" o algo así, pero es muy útil
mnemotécnicamente, así que podemos usar "soh cah toa". Encontremos
digamos que queremos encontrar el coseno. Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo.
Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo, dices: "¡soh cah toa!"
Así que el "cah". "Cah" nos dice qué hacer con el coseno,
el "cah" nos dice
que el coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
El coseno es igual al adyacente
Veamos la theta, ¿qué lado es el adyacente?
Bueno, sabemos que la hipotenusa
sabemos que la hipotenusa es este lado de aquí
así que no puede ser ése lado. El único otro lado que es adyacente y que no es
la hipotenusa, es este cuatro.
Así que el lado adyacente de aquí, este lado está,
está literalmente pegado junto al ángulo, es uno de los lados que forma el ángulo
es cuatro
La hipotenusa que ya conocemos es la raíz cuadrada de sesenta y cinco, así que es cuatro
sobre
A veces querrán que racionalices el denominador lo que significa que no les gusta
tener un número irracional en el denominador, como la raíz de sesenta y cinco
y si quieren que reescribas esto sin un
número irracional en el denominador, puedes multiplicar el numerador y el denominador
por la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
Esto no cambiará el valor numérico, porque estamos multiplicando y dividiendo por lo mismo, así que
multiplicando el número por uno. Eso no cambiará el número, pero al menos nos libra del
número irracional del denominador. Así que el numerador se convierte
en cuatro por raíz de sesenta y cinco, y el denominador,
raíz cuadrada de sesenta y cinco por raíz cuadrada de sesenta y cinco, que simplemente es sesenta y cinco.
No nos hemos librado del número irracional, todavía está ahí, pero ahora en el numerador.
Ahora calculemos el resto de funciones trigonométricas
o al menos las otras funciones trigonométricas principales. Veremos más adelante que hay un montón
de funciones, pero que todas se derivan de éstas
así que pensemos cuál es el seno de theta. De nuevo miremos el "soh cah toa"
el "soh" nos dice qué hacer con el seno. Seno es el opuesto sobre la hipotenusa.
Seno es igual a
opuesto sobre hipotenusa. Seno es opuesto sobre hipotenusa.
¿Cuál es el lado opuesto para este ángulo?
Simplemente vamos al opuesto del ángulo, aquél al que se abre, es opuesto al de siete
así que el opuesto es el siete.
Este de aquí - este es el lado opuesto
y luego
la hipotenusa, es el opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es
y de nuevo si queremos racionalizar esto, podemos multiplicar por la raíz de sesenta y cinco
sobre la raíz de sesenta y cinco
y en el numerador, obtendremos siete por la raíz de sesenta y cinco y en el denominador tendremos
simplemente sesenta y cinco otra vez.
¡Ahora hagamos la tangente!
Hagamos la tangente.
Si pregunto la tangente
de - la tangente de theta
volvemos a "soh cah toa"
el "toa" nos dice qué hacer con la tangente
nos dice
nos dice que la tangente
es igual al opuesto sobre el adyacente. Es igual al opuesto
sobre
opuesto sobre adyacente
así que para este ángulo
el opuesto ya lo hemos encontrado antes, es el siete, que se abre al siete
el siete
así que es siete
el cuatro es el adyacente
este cuatro es adyacente así que el lado adyacente es cuatro
así que es siete
y ya está.
Como hemos encontrado todas las razones trigonométricas de theta hagamos otro
hagamos otro. Voy a hacerlo algo más concreto porque ahora mismo hemos estado diciendo
tangente de x, tangente de theta. Hagámoslo algo más concreto
digamos
déjame dibujar otro triángulo rectángulo
esto es otro triángulo rectángulo
lo único con lo que vamos a trabajar
digamos que la hipotenusa
mide cuatro
y digamos que esta distancia de aquí será el doble de la raíz de tres,
podemos verificarlo
si elevamos al cuadrado este lado, déjame escribirlo... dos por la raíz cuadrada
de tres al cuadrado
más dos al cuadrado es igual a
esto es
cuatro por tres más cuatro
será igual a doce más cuatro igual a dieciséis y dieciséis es
cuatro al cuadrado, así que esto es igual a cuatro al cuadrado.
Si es igual a cuatro al cuadrado satisface el teorema de Pitágoras
el adyacente a sesenta grados es dos
así que el opuesto sobre el adyacente
dos por raíz de tres dividido por dos, lo cuál es igual a
Solo quiero que veamos cómo están relacionados
el seno de treinta grados es lo mismo que el coseno de sesenta grados. El coseno de treinta grados es lo mismo que el seno de sesenta grados
y entonces estos son el inverso el uno del otro y creo que si piensas un poco acerca de este triángulo
empezará a cobrar sentido el porqué. Seguiremos expandiendo esto y practicando más en
los próximos vídeos