0:00:00.800,0:00:03.017
Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα

0:00:03.017,0:00:07.036
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

0:00:07.036,0:00:11.447
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα

0:00:11.447,0:00:13.668
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα

0:00:13.668,0:00:15.186
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής

0:00:15.186,0:00:18.042
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.

0:00:18.042,0:00:23.475
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου

0:00:23.475,0:00:25.704
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα

0:00:25.704,0:00:27.867
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.

0:00:27.867,0:00:31.344
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο

0:00:31.344,0:00:33.897
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7

0:00:33.897,0:00:37.757
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς

0:00:37.757,0:00:39.452
είναι 4

0:00:39.452,0:00:42.516
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας

0:00:42.516,0:00:45.720
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"

0:00:45.720,0:00:52.200
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4

0:00:52.200,0:00:55.194
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

0:00:55.194,0:00:57.469
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το

0:00:57.469,0:01:01.974
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών

0:01:01.974,0:01:04.533
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4

0:01:04.533,0:01:09.776
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)

0:01:09.776,0:01:11.800
49 συν 16

0:01:11.800,0:01:18.553
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε

0:01:18.553,0:01:21.107
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h

0:01:21.107,0:01:25.705
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα

0:01:25.705,0:01:28.818
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε

0:01:28.818,0:01:33.533
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε

0:01:33.533,0:01:37.600
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών

0:01:37.600,0:01:39.200
τετραγωνική ρίζα

0:01:39.200,0:01:42.933
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω

0:01:42.933,0:01:44.699
αυτή είναι δέκα τρία

0:01:44.699,0:01:47.463
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε

0:01:47.463,0:01:50.388
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα

0:01:50.388,0:01:51.804
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.

0:01:51.804,0:01:55.467
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.

0:01:55.467,0:02:02.114
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ

0:02:02.114,0:02:05.457
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ

0:02:05.457,0:02:06.533
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό

0:02:06.533,0:02:09.467
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-

0:02:09.467,0:02:11.714
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ

0:02:11.714,0:02:13.120
ημ

0:02:13.120,0:02:16.464
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης

0:02:16.464,0:02:18.786
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία

0:02:18.786,0:02:21.293
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;

0:02:21.293,0:02:23.867
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο

0:02:23.867,0:02:26.123
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης

0:02:26.123,0:02:27.564
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:02:27.564,0:02:31.046
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο

0:02:31.046,0:02:34.436
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ

0:02:34.436,0:02:37.965
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:02:37.965,0:02:40.800
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"

0:02:40.800,0:02:43.027
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥ<u>ΠΥ</u>ΠΑ" μας λέει

0:02:43.027,0:02:46.371
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα

0:02:46.371,0:02:51.433
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα

0:02:51.433,0:02:55.798
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη

0:02:55.798,0:02:57.702
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα

0:02:57.702,0:03:00.767
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά

0:03:00.767,0:03:04.761
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή

0:03:04.761,0:03:07.133
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα

0:03:07.133,0:03:10.473
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά

0:03:10.473,0:03:14.374
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία

0:03:14.374,0:03:15.754
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία

0:03:15.754,0:03:17.133
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα

0:03:17.133,0:03:21.108
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:21.108,0:03:25.380
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:25.380,0:03:29.142
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής

0:03:29.142,0:03:32.625
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή

0:03:32.625,0:03:35.227
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:35.227,0:03:39.359
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή

0:03:39.359,0:03:41.634
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή

0:03:41.634,0:03:43.306
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:43.306,0:03:45.094
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό

0:03:45.094,0:03:48.122
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του

0:03:48.122,0:03:49.111
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα

0:03:49.111,0:03:52.780
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή

0:03:52.780,0:03:54.127
έτσι ο αριθμητής γίνεται

0:03:54.127,0:03:57.800
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:57.800,0:04:03.461
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή

0:04:07.130,0:04:09.777
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

0:04:09.777,0:04:12.401
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις

0:04:12.401,0:04:14.399
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές

0:04:14.399,0:04:15.443
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές

0:04:15.443,0:04:19.733
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:04:19.733,0:04:25.474
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)

0:04:25.474,0:04:29.200
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα

0:04:29.200,0:04:31.372
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)

0:04:31.372,0:04:34.390
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;

0:04:34.390,0:04:38.430
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά

0:04:38.430,0:04:41.200
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά

0:04:41.200,0:04:44.468
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά

0:04:44.468,0:04:47.800
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)

0:04:47.800,0:04:51.109
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:51.109,0:04:52.966
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:52.966,0:04:55.133
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό

0:04:55.133,0:04:59.933
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:59.933,0:05:04.298
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:05:04.298,0:05:07.966
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε

0:05:07.966,0:05:10.474
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !

0:05:10.474,0:05:12.796
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη

0:05:12.796,0:05:14.793
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη

0:05:14.793,0:05:17.394
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)

0:05:17.394,0:05:20.784
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:05:20.784,0:05:23.106
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη

0:05:23.106,0:05:24.800
αυτό μας λέει

0:05:24.800,0:05:27.053
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη

0:05:27.053,0:05:29.867
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς

0:05:29.867,0:05:33.137
είναι ίση με την απέναντι πάνω

0:05:33.137,0:05:35.867
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη

0:05:35.867,0:05:38.709
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι

0:05:38.709,0:05:41.124
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά

0:05:41.124,0:05:42.533
Η απέναντι είναι επτά

0:05:42.533,0:05:46.372
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά

0:05:46.372,0:05:48.200
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη

0:05:48.200,0:05:51.295
Αυτή η πλευρά 4είναι η παρακείμενη. Έτσι η παρακείμενη πλευρά είναι τέσσερα.

0:05:51.295,0:05:54.330
΄Ετσι είναι ο λόγος τέσσερα πρός επτά (4/7)

0:05:54.330,0:05:56.133
και έτσι έχουμε τελειώσει

0:05:56.133,0:05:59.375
Υπολογίσαμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας θ

0:05:59.375,0:06:00.416
Ας κάνουμε ακόμη μία

0:06:00.416,0:06:02.719
Θα κάνουμε αυτό λίγο πολύ σαφές.

0:06:02.719,0:06:06.434
"ΠΑ" ποιά είναι η εφαπτομένη της γωνίας χ, ποία η εφαπτομένη της γωνίας θ. Ας το κάνουμε αυτό ποίο σαφές

0:06:06.434,0:06:08.431
Ας πούμε

0:06:08.431,0:06:10.799
Ας πούμε. Ας μου επιτρέψετε να σχεδιάσω άλλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο

0:06:10.799,0:06:13.772
Αυτό εδώ είναι ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο

0:06:13.772,0:06:17.533
Κάθε τι που θα εξετάσουμε, αυτό θα αφορά ορθογώνια τρίγωνα

0:06:17.533,0:06:21.109
Ας υποθέσουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος τέσσερα

0:06:21.109,0:06:26.357
Ας υποθέσουμε αυτή εδώ η πλευρά έχει μήκος δύο

0:06:26.357,0:06:31.790
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος αυτής εδώ της πλευράς θα είναι ίση με δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:06:31.790,0:06:33.462
Μπορεί να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό εδώ είναι σωστό;

0:06:33.462,0:06:36.467
Αν πάρουμε το τετράγωνο αυτής εδώ της πλευράς, θα έχουμε, ας το γράψουμε

0:06:36.467,0:06:38.803
δυο φορές το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας του τρία

0:06:38.803,0:06:42.471
συν το τετράγωνο του δυο, το οποίο είναι ίσον με τι;

0:06:42.471,0:06:46.467
αυτό είναι δύο. Αυτό θα είναι τέσσερες φορές το τρία

0:06:46.467,0:06:49.763
τέσσερες φορές το τρία συν τέσσερα

0:06:49.763,0:06:53.478
και αυτό εδώ θα είναι ίσο με δώδεκα συν τέσσερα που είναι ίσο με δέκα έξι

0:06:53.478,0:06:57.800
και το δέκα έξι είναι πραγματικά το τετράγωνο του τέσσερα. Δηλαδή αυτό είναι ίσον με το τετράγωνο το τέσσερα.

0:06:57.800,0:07:01.790
και αυτό μα κάνει το τετράγωνο του τέσσερα. Αυτό δηλαδή ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα

0:07:01.790,0:07:06.133
και αν θυμάστε κάποιες από τις εργασίες σας από τις γωνίες των 30,60 και 90 μοιρών

0:07:06.133,0:07:07.781
που μπορεί να έχετε μάθει στην γεωμετρία

0:07:07.781,0:07:11.450
ίσως θα μπορέσετε να αναγνωρίσετε ότι αυτό εδώ είναι ένα τρίγωνο με γωνίες 30, 60 και 90 μοιρών.

0:07:11.450,0:07:13.133
Αυτή η δεξιά γωνία είναι η γωνία των ενενήντα μοιρών

0:07:13.133,0:07:15.867
θα μπορούσα να έχω πάει να ζωγραφίσω αυτό το τρίγωνο αντί να πάω να αποδείξω ότι αυτό εδώ είναι ορθογώνιο τρίγωνο

0:07:15.867,0:07:20.366
αυτή εδώ η γωνία είναι γωνία τριάντα μοιρών

0:07:20.366,0:07:23.385
και αυτή εδώ η γωνία είναι, επάνω εδώ

0:07:23.385,0:07:26.125
είναι γωνία εξήντα μοιρών

0:07:26.125,0:07:27.797
και είναι τριάντα δεκαέξι ενενήντα επειδή

0:07:27.797,0:07:31.791
η πλευρά απέναντι από την γωνία των τριάντα μοιρών είναι η μισή από την υποτείνουσα

0:07:31.791,0:07:36.800
και τότε η πλευρά απέναντι από την γωνία των εξήντα μοιρών είναι ίση με το τρία επί το τετράγωνο του μήκους της άλλης πλευράς

0:07:36.800,0:07:38.432
αυτή εδώ δεν είναι η υποτείνουσα

0:07:38.432,0:07:40.159
Έτσι αυτό μας λέει ότι δεν τα καταφέραμε

0:07:40.159,0:07:43.415
αυτό υποθέτουμε δεν είναι μια επανάληψη του τριγώνου με γωνίες τριάντα, εξήντα, και ενενήντα μοιρών

0:07:43.415,0:07:46.933
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των διαφορετικών γωνιών

0:07:46.933,0:07:51.295
Έτσι αν είχαμε να ρωτήσουμε εσάς ή οποιοδήποτε άλλον τι είναι

0:07:51.295,0:07:54.639
το ημίτονο των τριάντα μοιρών

0:07:54.639,0:07:58.447
και να θυμάστε γωνία 30 μοιρών είναι μία από τις γωνίες σε αυτό το τρίγωνο άρα θα πρέπει να ισχύει

0:07:58.447,0:08:01.698
κάθε φορά που έχεις γωνία τριάντα μοιρών και ασχολείσαι με ορθογώνια τρίγωνα

0:08:01.698,0:08:05.135
Θα έχουμε ευρύτερη ορισμούς στο μέλλον, αλλά αν πεις ημίτονο τριάντα μοιρών

0:08:05.135,0:08:09.035
Ουάου, αυτή εδώ η γωνία είναι τριάντα μοιρών, έτσι θα μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την ορθή γωνία

0:08:09.035,0:08:12.133
και έτσι θα πρέπει να θυμάμαι "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:08:12.133,0:08:17.116
Γράφουμε αυτό . "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:08:17.116,0:08:22.782
"το ημίτονο μα λέει" (διόρθωση) το ΑΥ μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο, το ημίτονο είναι ίσο με την απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας

0:08:22.782,0:08:26.358
το ημίτονο γωνίας τριάντα μοιρών είναι η απέναντι πλευρά

0:08:26.358,0:08:30.723
αυτή είναι η απέναντι πλευρά η οποία είναι ίση με δύο δια της υποτείνουσας

0:08:30.723,0:08:32.395
Η υποτείνουσα εδώ είναι ίση με τέσσερα

0:08:32.395,0:08:35.646
είναι ίση με δύο τέταρτα που είναι το ίδιο με ένα δεύτερο

0:08:35.646,0:08:40.800
το ημίτονο των τριάντα μοιρών θα δείς ότι πάντα είναι ίσο με ένα δεύτερο

0:08:40.800,0:08:44.144
και τώρα με τι είναι ίσο το συνημίτονο

0:08:44.144,0:08:46.867
ποιό είναι το συνημίτονο των τριάντα μοιρών;

0:08:46.867,0:08:50.135
και πάλι ας πάμε πείσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:08:50.135,0:08:52.643
το "ΠΥ" μας λέει τι θα κάνουμε για το συνημίτονο

0:08:52.643,0:08:56.033
Το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης δια της υποτεινούσης

0:08:56.033,0:08:59.051
Έτσι όταν κοιτάζουμε την γωνία των τριάντα μοιρών αυτή η πλευρά είναι η παρακείμενη

0:08:59.051,0:09:01.791
Αυτή εδώ η πλευρά είναι η παρακείμενη. είναι αμέσως μετά

0:09:01.791,0:09:05.467
δεν είναι η υποτείνουσα. είναι η παρακείμενη δια της υποτείνουσας

0:09:05.467,0:09:09.129
είναι δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:09:09.129,0:09:13.633
η παράπλευρη δια της υποτείνουσας η παράπλευρη δια τέσσερα

0:09:13.633,0:09:16.977
ή αν θέλουμε να απλοποιήσουμε αυτό διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με δυο

0:09:16.977,0:09:20.646
είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο

0:09:20.646,0:09:22.782
Τέλος ας βρούμε την εφαπτομένη

0:09:22.782,0:09:27.800
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών

0:09:27.800,0:09:30.305
πάμε πάλι πείσο στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:09:30.305,0:09:31.699
"ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:09:31.699,0:09:34.800
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη

0:09:34.800,0:09:38.804
πηγαίνουμε στην γωνία των τριάντα μοιρών γιατί αυτή είναι η γωνία που ενδιαφερόμαστε να βρούμε την εφαπτομένη

0:09:38.804,0:09:42.101
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών. Η απέναντι είναι δύο

0:09:42.101,0:09:46.200
η απέναντι είναι δύο και η παράπλευρη είναι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία

0:09:46.200,0:09:48.045
Είναι στην συνέχεια αυτής. Είναι παράπλευρη αυτής

0:09:48.045,0:09:49.439
Παράπλευρος σημαίνει αμέσως μετά

0:09:49.439,0:09:52.039
έτσι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία

0:09:52.039,0:09:54.454
έτσι αυτό είναι ίσο με ότι μένει αν απλοποιήσουμε τα δύο

0:09:54.454,0:09:56.776
ένα δια της τετραγωνικής ρίζας του τρία

0:09:56.776,0:10:00.723
ή μπορεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:10:00.723,0:10:05.367
Έτσι έχουμε τετραγωνική ρίζα του τρία δια τετραγωνική του τρία επί τετραγωνική ρίζα του τρία

0:10:05.367,0:10:08.804
έτσι θα είναι ο αριθμητής ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:10:08.804,0:10:12.473
και ο παρανομαστής θα είναι ίσον με τρία

0:10:12.473,0:10:15.800
έτσι η απλοποίηση που κάναμε μας έδωσε την τετραγωνική ρίζα του τρία δια τρία

0:10:15.800,0:10:17.442
Αρκετά καλά

0:10:17.442,0:10:20.693
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο τρίγωνο για να υπολογίσουμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την γωνία των εξήντα μοιρών

0:10:20.693,0:10:22.457
μια και έχουμε Ίδη ζωγραφίσει αυτό

0:10:22.457,0:10:28.328
έτσι ας δούμε ... ποιο είναι το ημίτονο των εξήντα μοιρών;

0:10:28.328,0:10:30.166
και νομίζω ότι μπορείτε επιτυχώς να βρείτε αυτό τώρα.

0:10:30.166,0:10:34.253
Μια και αυτό είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:10:34.253,0:10:36.668
για την γωνία των εξήντα μοιρών ποία είναι η απέναντι πλευρά;

0:10:36.668,0:10:39.315
αυτό που προκύπτει είναι δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία

0:10:39.315,0:10:42.566
δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι ίση με δύο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:10:42.566,0:10:45.306
και από την γωνία των εξήντα μοιρών η παρακείμενη πλευρά ουαου λάθος

0:10:45.306,0:10:47.999
είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας

0:10:47.999,0:10:50.507
έτσι είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας

0:10:50.507,0:10:54.315
επομένως είναι δύο επί τετραγωνική ρίζα του τρία δια τέσσερα. Τέσσερα είναι η υποτείνουσα.

0:10:54.315,0:10:59.981
επομένως είναι ίσον μετά την απλοποίηση, με τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο

0:10:59.981,0:11:05.507
Και τώρα ποιό είναι το συνημίτονο των εξήντα μοιρών; το συνημίτονο των εξήντα μοιρών.

0:11:05.507,0:11:10.244
ας θυμηθούμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Το συνημίτονο είναι η παράπλευρη δια της υποτείνουσας

0:11:10.244,0:11:13.667
παρακείμενη πλευρά είναι πλευρά μήκους δύο, η κάθετη πλευρά που ορίζει την γωνία των εξήντα μοιρών

0:11:13.667,0:11:17.907
Επομένως αυτό είναι δύο δια της υποτείνουσας που είναι τέσσερα

0:11:17.907,0:11:20.972
Δηλαδή αυτό είναι ίσο με το εν δεύτερο

0:11:20.972,0:11:24.176
και τελικά πόσο είναι η εφαπτομένη;

0:11:24.176,0:11:27.984
πόσο είναι η εφαπτομένη των εξήντα μοιρών;

0:11:27.984,0:11:32.349
Καλά γνωρίζουμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Η εφαπτομένη είναι απέναντι πλευράς δια της παρακείμενης

0:11:32.349,0:11:34.671
η απέναντι πλευρά από την γωνία των εξήντα μοιρών

0:11:34.671,0:11:36.400
είναι ίση με δύο επί την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:11:36.400,0:11:38.000
δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία

0:11:38.000,0:11:39.919
και η παρακείμενη σ' αυτή

0:11:39.919,0:11:42.733
η παρακείμενη σ' αυτή είναι ίση με δύο.

0:11:42.733,0:11:44.800
Η παρακείμενη πλευρά στην γωνία των εξήντα μοιρών είναι δύο.

0:11:44.800,0:11:48.650
Έτσι η απέναντί δια της παρακείμενης είναι, δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο

0:11:48.650,0:11:52.644
η οποία είναι ακριβώς ίση με την τετραγωνική ρίζα του τρία

0:11:52.644,0:11:54.641
Και τώρα θέλουμε να δούμε πως αυτές σχετίζονται.

0:11:54.641,0:11:57.984
Το ημίτονο των τριάντα μοιρών είναι ίσον με το συνημίτονο των εξήντα μοιρών

0:11:57.984,0:12:01.333
Το συνημίτονο των 30 μοιρών είναι το ίδιο με το ημίτονο των 60 μοιρών

0:12:01.333,0:12:03.966
και αυτό μας οδηγεί να δούμε ότι το ένα είναι αντίστροφό του άλλου

0:12:03.966,0:12:05.635
και νομίζω αν σκεφτείτε λίγο για αυτό το τρίγωνο

0:12:05.635,0:12:07.105
αυτό αρχίζει να έχει νόημα. Γιατί;

0:12:07.105,0:12:08.461
θα συνεχίσουμε να επεκτείνουμε αυτό

0:12:08.461,9:59:59.000
δίνοντας σας περισσότερες ασκήσεις πρακτικής στα επόμενα βίντεο