0:00:00.800,0:00:03.017
Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα

0:00:03.017,0:00:07.036
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

0:00:07.036,0:00:11.447
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα

0:00:11.447,0:00:13.668
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα

0:00:13.668,0:00:15.186
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής

0:00:15.186,0:00:18.042
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.

0:00:18.042,0:00:23.475
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου

0:00:23.475,0:00:25.704
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα

0:00:25.704,0:00:27.867
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.

0:00:27.867,0:00:31.344
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο

0:00:31.344,0:00:33.897
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7

0:00:33.897,0:00:37.757
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς

0:00:37.757,0:00:39.452
είναι 4

0:00:39.452,0:00:42.516
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας

0:00:42.516,0:00:45.720
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"

0:00:45.720,0:00:52.200
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4

0:00:52.200,0:00:55.194
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

0:00:55.194,0:00:57.469
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το

0:00:57.469,0:01:01.974
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών

0:01:01.974,0:01:04.533
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4

0:01:04.533,0:01:09.776
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)

0:01:09.776,0:01:11.800
49 συν 16

0:01:11.800,0:01:18.553
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε

0:01:18.553,0:01:21.107
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h

0:01:21.107,0:01:25.705
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα

0:01:25.705,0:01:28.818
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε

0:01:28.818,0:01:33.533
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε

0:01:33.533,0:01:37.600
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών

0:01:37.600,0:01:39.200
τετραγωνική ρίζα

0:01:39.200,0:01:42.933
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω

0:01:42.933,0:01:44.699
αυτή είναι δέκα τρία

0:01:44.699,0:01:47.463
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε

0:01:47.463,0:01:50.388
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα

0:01:50.388,0:01:51.804
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.

0:01:51.804,0:01:55.467
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.

0:01:55.467,0:02:02.114
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ

0:02:02.114,0:02:05.457
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ

0:02:05.457,0:02:06.533
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό

0:02:06.533,0:02:09.467
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-

0:02:09.467,0:02:11.714
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ

0:02:11.714,0:02:13.120
ημ

0:02:13.120,0:02:16.464
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης

0:02:16.464,0:02:18.786
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία

0:02:18.786,0:02:21.293
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;

0:02:21.293,0:02:23.867
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο

0:02:23.867,0:02:26.123
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης

0:02:26.123,0:02:27.564
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:02:27.564,0:02:31.046
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο

0:02:31.046,0:02:34.436
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ

0:02:34.436,0:02:37.965
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:02:37.965,0:02:40.800
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"

0:02:40.800,0:02:43.027
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥ<u>ΠΥ</u>ΠΑ" μας λέει

0:02:43.027,0:02:46.371
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα

0:02:46.371,0:02:51.433
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα

0:02:51.433,0:02:55.798
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη

0:02:55.798,0:02:57.702
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα

0:02:57.702,0:03:00.767
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά

0:03:00.767,0:03:04.761
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή

0:03:04.761,0:03:07.133
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα

0:03:07.133,0:03:10.473
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά

0:03:10.473,0:03:14.374
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία

0:03:14.374,0:03:15.754
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία

0:03:15.754,0:03:17.133
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα

0:03:17.133,0:03:21.108
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:21.108,0:03:25.380
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:25.380,0:03:29.142
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής

0:03:29.142,0:03:32.625
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή

0:03:32.625,0:03:35.227
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:35.227,0:03:39.359
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή

0:03:39.359,0:03:41.634
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή

0:03:41.634,0:03:43.306
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:43.306,0:03:45.094
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό

0:03:45.094,0:03:48.122
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του

0:03:48.122,0:03:49.111
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα

0:03:49.111,0:03:52.780
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή

0:03:52.780,0:03:54.127
έτσι ο αριθμητής γίνεται

0:03:54.127,0:03:57.800
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:03:57.800,0:04:03.461
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή

0:04:07.130,0:04:09.777
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

0:04:09.777,0:04:12.401
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις

0:04:12.401,0:04:14.399
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές

0:04:14.399,0:04:15.443
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές

0:04:15.443,0:04:19.733
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:04:19.733,0:04:25.474
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)

0:04:25.474,0:04:29.200
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα

0:04:29.200,0:04:31.372
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)

0:04:31.372,0:04:34.390
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;

0:04:34.390,0:04:38.430
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά

0:04:38.430,0:04:41.200
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά

0:04:41.200,0:04:44.468
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά

0:04:44.468,0:04:47.800
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)

0:04:47.800,0:04:51.109
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:51.109,0:04:52.966
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:52.966,0:04:55.133
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό

0:04:55.133,0:04:59.933
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:04:59.933,0:05:04.298
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε

0:05:04.298,0:05:07.966
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε

0:05:07.966,0:05:10.474
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !

0:05:10.474,0:05:12.796
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη

0:05:12.796,0:05:14.793
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη

0:05:14.793,0:05:17.394
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)

0:05:17.394,0:05:20.784
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"

0:05:20.784,0:05:23.106
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη

0:05:23.106,0:05:24.800
αυτό μας λέει

0:05:24.800,0:05:27.053
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη

0:05:27.053,0:05:29.867
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς

0:05:29.867,0:05:33.137
είναι ίση με την απέναντι πάνω

0:05:33.137,0:05:35.867
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη

0:05:35.867,0:05:38.709
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι

0:05:38.709,0:05:41.124
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά

0:05:41.124,0:05:42.533
Η απέναντι είναι επτά

0:05:42.533,0:05:46.372
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά

0:05:46.372,0:05:48.200
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη

0:05:48.200,0:05:51.295
Αυτή η πλευρά 4είναι η παρακείμενη. Έτσι η παρακείμενη πλευρά είναι τέσσερα.

0:05:51.295,0:05:54.330
΄Ετσι είναι ο λόγος τέσσερα πρός επτά (4/7)

0:05:54.330,0:05:56.133
και έτσι έχουμε τελειώσει

0:05:56.133,0:05:59.375
Υπολογίσαμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας θ

0:05:59.375,0:06:00.416
Ας κάνουμε ακόμη μία

0:06:00.416,0:06:02.719
Θα κάνουμε αυτό λίγο πολύ σαφές.

0:06:02.719,0:06:06.434
"ΠΑ" ποιά είναι η εφαπτομένη της γωνίας χ, εφαπτομένη της γωνίας