Хайде да направим още много примери,
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълници.
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,
като искам добре да поясня...
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.
Да кажем, че имам един триъгълник,
при които дължината тук долу е 7,
а дължината на тази страна тук горе
е, да кажем, 4.
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.
Наричаме хипотенузата h – знаем,
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,
като знаем това от теоремата на Питагор,
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.
Това е равно на 49 плюс 16,
49 плюс 16,
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.
Това е 65. Това е h на квадрат,
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –
h на квадрат е равно на 65.
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –
корен квадратен
от 65. И изобщо не можем да опростим това.
Това е 13.
Това е същото като 13 по 5,
като и двете от тези не са точни квадрати и
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.
Това е равно на корен квадратен от 65.
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.
Нека наречем този ъгъл тита.
Когато правиш това,
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –
"со ка тоа" ("soh cah toa").
со (soh)...
...со ка тоа (soh cah toa). Смътно си спомням
учителя си по тригонометрия.
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква
индианска принцеса наречена Со Ка Тоа (soh cah toa) или нещо такова,
но е много полезна мнемоника,
така че можем да приложим "со ка тоа" (soh cah toa).
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Со ка тоа!"
Трябва ни "ка". "Ка" ни казва какво да правим с косинуса,
частта "ка" ни казва
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?
Знаем, че хипотенузата
е тази страна ето тук.
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не
е хипотенузата, това е тази, която е 4.
Прилежащата страна тук, ето тази страна,
буквално е точно до ъгъла,
тя е една от страните, която оформя ъгъла.
Това е 4 върху хипотенузата.
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,
че не искат да има ирационално число в знаменателя
като например корен квадратен от 65,
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,
можеш да умножиш числителя и знаменателя
по корен квадратен от 65.
Това очевидно няма да промени числото,
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,
тоест, умножаваме числото по едно.
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.
Числителят става
4 по корен квадратен от 65,
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.