Наприклад, маємо прямокутник, ось такий прямокутник, і дві діагоналі в ньому.
Ось одна діагональ
і друга. Прямокутник має висоту h
тож ось ця відстань становить h, а ширина прямокутника w.
Ширина прямокутника дорівнює w.
У цьому відео ми спробуємо довести, що
всі ці чотири трикутники мають однакову площу.
З першого погляду може бути достатньо очевидним, що
цей нижній трикутник має таку ж площу, як верхній.
Ось цей, ніби перевернутий трикутник.
Те, що вони мають однакову площу - може бути досить очевидним.
У них однаковий розмір основи,
це ширина прямокутника, і у них однакова висота, оскільки
відстань ось тут становить половину висоти прямокутника.
Вони симетричні, тож це рівні трикутники.
У них однакові пропорції.
Тож, з аналогічних міркувань, очевидно, можна стверджувати, що
лівий трикутник має таку ж площу, що й трикутник праворуч.
Мабуть, це так само очевидно.
Але що, мабуть, не так очевидно - це те, що ці оранжеві трикутники
мають таку ж площу, як зелено- сині трикутники.
І саме це ми будемо доводити.
Все, що для цього потрібно - обчислити площі
різних трикутників.
Спершу опрацюємо оранжеві трикутники.
І перед тим, як зробити це, пригадаємо
що таке площа трикутника.
Площа трикутника дорівнює половині добутку основи трикутника,
на висоту, проведену до неї.
Це основи геометрії.
Знаючи це, обчислимо площу
оранжевого трикутника.
Площа оранжевого трикутника.
Вона становить 1/2 помножити на основу.
А основа оранжевого трикутника - це ось ця
відстань - тобто w.
Маємо 1/2 на w.
Візьму інший колір; той, яким
я писав w. Отже 1/2 w.
Яка висота трикутника?
Який розмір цієї висоти? Яка тут відстань?
Ми вже розглянули - це рівно половина
висоти прямокутника.
Отже, 1/2 висоти прямокутника.
Що отримуємо в результаті?
У нас є 1/2 на 1/2 це 1/4 на ширину і на висоту.
Тож площа цього трикутника - 1/4 на ширину і на висоту.
Тепер цей трикутник.
Такі ж аргументи; у них однакова площа.
Тепер площа цих зелених, чи
зелено-синіх трикутників?
Що ж, ще раз - запишемо зеленим - площа
рівна половині основи.
Тож ці два ніби повернуті на бік.
Найзручніша основа для цих трикутників - це ось ця відстань.
Або якщо розглядати цей трикутник - ось ця відстань;
Це висота прямокутника. Тож тепер маємо справу з
основою, котра у даному випадку дорівнює висоті прямокутника.
Не хочу заплутувати.
Висота трикутника тепер рівна чому?
Ось ці трикутники, повернуті на бік,
тож яка тут відстань?
Ну, це рівно половина ширини прямокутника, так?
У нас тут рівно половина загальної відстані.
Ця точка знаходиться рівно посередині між
двома сторонами з цього боку і цими сторонами з цього боку.
Тож відстань ось тут - це 1/2 ширини.
Або висота цих бічних трикутників становить 1/2 ширини прямокутника.
Трохи заплутано: основа рівна висоті прямокутника.
А висота рівна 1/2 ширини прямокутника. Але якщо виконати розрахунки
площа дорівнює 1/2 на 1/2, тобто
1/4 на висоту на ширину.
Або можна записати 1/4 на ширину на висоту,
тобто така сама площа.
Отже, площа рівна 1/4 на ширину на висоту, що дорівнює
площі цих оранжевих трикутників.
І це досить логічно, бо кожен із них становить рівно 1/4
площі прямокутника.
Сподіваюсь, вам сподобалось.
Переклад на українську: Оксана Пасічник, рев'ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд "Magneticone.org"