Willkommen bei der Präsentation zum Lösen von Ungleichungen
oder ich denke, dass Sie sie algebraische Ungleichungen nennen könnten.
Fangen wir an.
Nehmen wir an
x > 5, ok?
x könnte also 5.01 sein, es könnte 5.5 sein, es könnte eine Million sein.
Es kann nur nicht 4 oder 3 oder 0 oder -8 sein.
Um das zu veranschaulichen,
zeichnen wir eine Zahlengerade.
Das ist die Zahlengerade.
Und wenn das 5 ist, x kann nicht gleich 5 sein
also zeichnen wir einen großen Kreis hier
und wir kennzeichnen
alle Werte die x annehmen kann.
Also x könnte 5.000001 sein,
Es muss nur ein wenig größer als 5 sein
und für alle diese trifft das zu, stimmt's?
Also schreiben wir ein paar Zahlen auf, für die das zutrifft.
für 6 stimmt das, für 10,
und für 100 stimmt das auch.
Jetzt, Multiplizieren bzw. Dividieren wir beide Seiten dieser,
wir könnten sagen Gleichung
oder Ungleichung, mit -1, möchte ich, dass ihr versteht was passiert.
Also, was ist die Ordnung zwischen - x und-5?
Und wenn ich sage, was ist der Ordnung,
meine ich, ist sie größer, oder ist sie kleiner als -5?
Nun, der Wert 6 stimmt für x,
also -6, ist das größer als oder kleiner als -5?
-6 ist kleiner als -5, nicht wahr?
Ich zeichne hier eine Zahlengerade.
Wenn wir hier -5 haben, zeichnen wir einen Kreis herum
da wir wissen, dass es nicht -5 sein kann.
weil wir nur entscheiden
zwischen größer oder kleiner als.
So, wir sagen, dass 6 für x stimmt, -6 ist hier, richtig?
-6.
-6 Ist also weniger als -5, auch -10 und -100 und auch -1.000.000
Also es stellt sich heraus, dass -x kleiner ist als -5
Das ist alles, was ihr euch merken müsst.
Wenn ihr mit Ungleichheiten in Algebra arbeitet
Ungleichheiten können Sie sie so behandeln,-
also ein > oder ein < Zeichen, behandelt man gleich wie ein = Zeichen
Der einzige Unterschied ist: Wenn ihr beide Seiten der Gleichung
mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert.
Dann müsst ihr das Zeichen umdrehen.
Das ist alles, was ihr euch merken müsst
Machen wir ein paar Beispiele um das zu festigen
Wenn ihr das vergesst, müsst ihr euch nur daran erinnern
wenn x > 5 ist, dann ist -x < -5
probiert einfach ein paar Zahlen aus
Dabei entwickelt ihr ein gutes Gespür dafür.
Machen wir ein paar Beispiele
Also sagen wir, dass 3 x + 2 ist kleiner oder gleich 1 ist
Nun, das ist eine ziemlich einfache Gleichung
Wir sagen 3 x, subtrahieren wir auf beiden Seiten 2
Wenn wir hinzufügen oder abziehen
passiert gar nichts mit der Ungleichung
Also, wenn du von beiden Seiten 2 abziehst
Erhälst du 3 x ist kleiner oder gleich -1, richtig?
Und jetzt werden wir beide Seiten durch 3 teilen
wir bekommen x ist kleiner als oder gleich -1/3
Seht ihr, wir haben nichts geändert.
weil wir beide Seiten durch eine positive 3 dividiert haben
Ok? Wir hätten diese Gleichung auch etwas anders lösen können
Was wäre passiert, wenn wir 1 von beiden Seiten abgezogen hätten
Also das ist eine weitere Möglichkeit, die zur Lösung führt
Was wäre passiert, wenn wir gesagt hätten, 3 x + 1 ist kleiner oder gleich 0
Ich habe nur auf beiden Seiten 1 subtrahiert
Und jetzt subtrahiere ich 3x von beiden Seiten
Ich erhalte 1 ist kleiner oder gleich -3x
Ich habe hier und hier 3x abgezogen
Jetzt muss ich beide Seiten durch eine negative Zahl dividieren.
Richtig? Weil ich beide Seiten durch -3 dividiere,
Also erhalte ich -1/3 auf dieser Seite
und basierend auf dem, was wir gerade gelernt haben,
weil wir gerade durch eine negative Zahl divideren
Müssen wir das Verhältniszeichen umdrehen, richtig?
Es war kleiner oder gleich
und wird zu einem größer oder gleich x
Nun haben wir die gleiche Antwort bekommen
obwohl wir anders gerechnet haben?
Hier ist herausgekommen x ist kleiner oder gleich -1/3
Und wir haben hier -1/3 ist größer oder gleich x.
Das ist die gleiche Anwort, oder? x ist kleiner oder gleich -1/3.
Das ist das tolle an Algebra,
man kann Beispiele auf mehrere verschiedene Arten lösen
und kommt immer auf das gleiche Ergebnis,
solange man alles richtig macht.
Machen wir noch ein paar Beispiele,-
ein etwas Schwierigeres:
-8x plus 7 ist größer als 5x plus 2
Ziehen wir 5x von beiden Seiten ab, -13x + 7 > 2.
Jetzt ziehen wir 7 auf beiden Seiten ab
Wir erhalten -13x > -5
Jetzt werden wir beide Seiten der Gleichung durch -13 dividieren
ganz einfach
das ist einfach x
und auf dieser Seite -5/-13 ist das gleiche wie 5/13
die Minus heben sich auf
und weil wir durch eine negative Zahl dividiert haben
Müssen wir das Zeichen umdrehen.
x < 5/13
Und noch einmal, wie am Anfang,
Wenn du mir nicht glaubst, probiere es einfach mit einigen Zahlen aus.
Ich erinnere mich, als ich das zum ersten Mal gelernt habe
habe ich dem Lehrer nicht geglaubt und Zahlen ausprobiert
und so wurde ich davon überzeugt, dass es funktioniert
Wenn du beide Seiten der Gleichung
durch eine negative Zahl dividierst, drehe das Zeichen um!
Und denke daran: nur beim Multiplizieren oder Dividieren
nicht, beim Addieren oder Subtrahieren
Ich denke, das sollte einen guten ersten Überblick
zum Lösen von Ungleichungen geben.
Das ist wirklich nicht viel Neues
Man löste eine Ungleichung
ganz gleich wie
man eine normale lineare Gleichung lösen würde
Der einzige Unterschied ist: Wenn du beide Seiten
der Gleichung mit einer negative Zahl multiplizierst oder dividierst,
Dann drehe das Verhältniszeichen um!
Ich denke du bist jetzt bereit ein paar Übungsaufgaben zu lösen.
Viel Spass.