...
Podľa mňa k všeobecným vedomostiam určite patrí vedieť určiť obsah
trojuholníka, ak poznáme dĺžku jeho základne
a jeho výšku.
Tak, napríklad, toto je môj trojuholník, a táto dĺžka tu
-- táto základňa -- má dĺžku b a výška tuto
má dĺžku h, je všeobecne známe, že obsah tohto
trojuholníka sa bude rovnať jedna polovica krát základňa
krát výška.
Takže, napríklad, keby mala základňa dĺžku 5 a výška
6, tak náš obsah by bol jedna polovica krát 5 krát 6,
čo je jedna polovica krát 30 -- a to sa rovná 15.
No čo už tak dobre známe nie je, je ako zistiť obsah
trojuholníka, keď poznáte len dĺžky strán trojuholníka.
Keď nepoznáte výšku.
Tak, napríklad, ako zistíte obsah trojuholníka
keď vám dám len dĺžky strán.
Povedzme, že toto je strana a, strana b a strana c. a, b , c sú
dĺžky týchto strán.
Tak ako zistíte obsah?
Aby sme ho zistili, použijeme niečo, čo sa nazýva
Herónov vzorec.
...
A v tomto videu ho nebudem dokazovať.
Dokážem to až v ďalšom videu.
A na to dokazovanie už máte
všetky potrebné nástroje.
V skutočnosti potrebujete len Pytagorovu vetu
a veľa vzrušujúcej algebry.
Ale teraz vám len ukážem ten vzorec a ako
ho používať, a potom snáď oceníte, že je
dosť jednoduchý a jednoducho zapamätateľný.
A môže to byť pekný trik na ohurovanie ľudí.
Takže, Herónov vzorec hovorí, že máme najprv vypočítať túto tretiu premennú
S, čo je v podstate obvod tohto
trojuholníka deleno 2.
a plus b plus c, deleno 2.
Keď už poznáte S, obsah vášho trojuholníka -- tohto
trojuholníka tu -- sa bude rovnať odmocnine
z S -- tejto premennej S tu, ktorú ste práve vypočítali ---
krát S mínus a, krát S mínus b, krát S mínus c.
Toto tu je Herónov vzorec.
Toto spojenie.
Dám to do rámčeka.
Takže toto tu je Herónov vzorec.
A ak to vyzerá trochu skľučujúco -- je to rozhodne o trochu
skľučujúcejšie ako len jedna polovica krát základňa
krát výška.
Vyskúšajme to na jednom-dvoch príkladoch a uvidíte
že v skutočnosti to nie je také zlé.
Tak povedzme, že mám trojuholník.
Vzorec nechám tu hore.
Povedzme, že mám trojuholník so stranami
dĺžky 9, 11, a 16.
Tak použime Herónov vzorec.
S v tomto prípade bude obvod deleno 2.
Takže 9 plus 11 plus 16, deleno 2.
To sa rovná 9 plus 11 -- to je 20 -- plus 16 je
36, deleno 2 je 18.
A obsah podľa Herónovho vzorca sa bude rovnať
odmocnine z S -- 18 -- krát S mínus a -- S mínus 9.
18 mínus 9, krát 18 mínus 11, krát 18 mínus 16.
...
A to sa bude rovnať odmocnine z 18
krát 9 krát 7 krát 2.
Čo sa rovná -- pozrime sa, 2 krát 18 je 36.
Len to trochu preusporiadam.
Toto sa rovná odmocnine z 36 krát 9 krát 7,
čo sa rovná odmocnine z 36 krát
odmocnina z 9 krát odmocnina zo 7.
Odmocnina z 36 je 6.
Toto je 3.
A nemáme tu žiadne odmocniny zo záporných čísel,
lebo nemôžete mať záporné dĺžky strán.
Takže toto sa bude rovnať 18 krát
odmocnina zo 7.
Takže len tak, videli ste to, použitím Herónovho vzorca
trvalo len pár minút, alebo aj menej než to,
zistiť, že obsah tohto trojuholníka
tu sa rovná 18 krát odmocnina zo 7.
Snáď aj vám to prišlo celkom šikovné.
...