WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.550 Myślę 00:00:00.550 --> 00:00:03.240 Myślę, że większość ludzi wie jak obliczyć pole trójkąta 00:00:03.240 --> 00:00:06.030 jeśli znamy długość jego podstawy 00:00:06.030 --> 00:00:07.250 oraz wysokości. 00:00:07.250 --> 00:00:10.540 Na przykład, jeśli to jest mój trójkąt to ten odcinek 00:00:10.540 --> 00:00:14.910 jest jego podstawą b, a jego wysokość (tutaj) ma długość h 00:00:14.910 --> 00:00:19.080 to pole tego trójkąta, jak łatwo zgadnąć 00:00:19.080 --> 00:00:23.170 wynosi połowę iloczynu długości podstawy (b) 00:00:23.170 --> 00:00:24.440 oraz wysokości (h). 00:00:24.440 --> 00:00:30.240 Na przykład, jeżeli długość podstawy wynosi 5 00:00:30.240 --> 00:00:37.180 a długość wysokości 6, to pole wyniesie 1/2 razy 5 razy 6, 00:00:37.180 --> 00:00:41.770 co nam da 1/2 razy 30. Ostatecznie pole wyniesie 15. 00:00:41.770 --> 00:00:45.120 Istnieje inny, mniej znany wzór na pole trójkąta, 00:00:45.120 --> 00:00:48.250 który pozwala policzyć pole, jeżeli znamy tylko długości jego krawędzi. 00:00:48.250 --> 00:00:49.740 Czyli różnica polega na braku znajomości długości wysokości. 00:00:49.740 --> 00:00:53.470 Na przykład: jak obliczycie pole trójkąta, 00:00:53.470 --> 00:00:55.570 jeśli podam wam tylko długości jego krawędzi? 00:00:55.570 --> 00:01:00.530 Niech naszymi danymi będą a, b oraz c -- 00:01:00.530 --> 00:01:01.640 długości boków trójkąta. 00:01:01.640 --> 00:01:03.360 Jak to policzyć? 00:01:03.360 --> 00:01:05.270 Do rozwiązania tego problemu użyjemy 00:01:05.270 --> 00:01:06.430 wzoru Herona 00:01:06.430 --> 00:01:12.210 wzoru Herona 00:01:12.210 --> 00:01:13.790 Ten film nie służy udowodnieniu tego wzoru, 00:01:13.790 --> 00:01:15.200 tym zajmiemy się następnym razem. 00:01:15.200 --> 00:01:17.400 Aby przeprowadzić dowód nie jest potrzebna żadna zaawansowana wiedza, 00:01:17.400 --> 00:01:18.720 właściwie wszystkie potrzebne narzędzia już posiadacie. 00:01:18.720 --> 00:01:20.480 W zasadzie potrzebne jest tylko twierdzenie Pitagorasa 00:01:20.480 --> 00:01:22.220 oraz dużo przekształceń algebraicznych. 00:01:22.220 --> 00:01:24.230 Ale teraz tylko pokaże wam jak ten wzór wygląda, 00:01:24.230 --> 00:01:26.760 oraz jak go używać. Wtedy może dostrzeżecie, 00:01:26.760 --> 00:01:28.590 że jest on prosty i łatwy do zapamiętania. 00:01:28.590 --> 00:01:31.660 A nie wszyscy o tym wiedzą, więc można tym zabłysnąć w towarzystwie. 00:01:31.660 --> 00:01:36.320 Aby użyć wzoru Herona musimy najpierw wprowadzić kolejną zmienną S, 00:01:36.320 --> 00:01:38.640 która będzie oznaczać połowę 00:01:38.640 --> 00:01:40.660 długości obwodu trójkąta: 00:01:40.660 --> 00:01:45.810 suma a, b i c podzielona przez 2 00:01:45.810 --> 00:01:49.480 Kiedy już policzymy wartość S, 00:01:49.480 --> 00:01:55.840 to pole trójkąta wyniesie pierwiastek kwadratowy z 00:01:55.840 --> 00:01:59.710 iloczynu S (to ta policzona właśnie wartość), 00:01:59.710 --> 00:02:10.540 S minus a, S minus b, oraz S minus c. 00:02:10.540 --> 00:02:12.480 To jest właśnie wzór Herona. 00:02:12.480 --> 00:02:13.830 To wyrażenie. 00:02:13.830 --> 00:02:16.130 Pozwólcie, że to wyróżnię. 00:02:16.130 --> 00:02:18.700 Czyli to nazywamy wzorem Herona. 00:02:18.700 --> 00:02:21.610 Wygląda to trochę skomplikowanie, na pewno jest 00:02:21.610 --> 00:02:24.290 bardziej skomplikowane nić połowa iloczynu 00:02:24.290 --> 00:02:25.290 długości podstawy i wysokości. 00:02:25.290 --> 00:02:28.040 Teraz zrobimy jeden, albo dwa przykłady, aby pokazać, 00:02:28.040 --> 00:02:31.350 że nie jest to wcale takie złe. 00:02:31.350 --> 00:02:33.320 Przyjmijmy, że mamy dany trójkąt. 00:02:33.320 --> 00:02:35.300 Zostawię wzór na górze. 00:02:35.300 --> 00:02:37.460 Narysujemy nasz trójkąt przyjmując, że jego boki 00:02:37.460 --> 00:02:44.920 mają długości kolejno 9, 11 i 16. 00:02:44.920 --> 00:02:47.040 Możemy zastosować wzór Herona. 00:02:47.040 --> 00:02:51.190 W tej sytuacji S będzie połową obwodu. 00:02:51.190 --> 00:02:56.630 Więc suma 9, 11 i 16 dzielona przez 2 00:02:56.630 --> 00:03:00.430 równa się 20 plus 16 równa się 36 00:03:00.430 --> 00:03:04.660 dzielona na dwa to 18. 00:03:04.660 --> 00:03:09.430 Wtedy pole ze wzoru Herona wyniesie 00:03:09.430 --> 00:03:19.380 pierwiastek z S (18) razy S - a (S - 9), ... 00:03:19.380 --> 00:03:27.790 równe 18 - 9 razy 18 - 11 razy 18 - 16. 00:03:27.790 --> 00:03:31.490 Co się staje ... 00:03:31.490 --> 00:03:38.200 Co jest równe pierwiastkowi z 00:03:38.200 --> 00:03:44.730 18 razy 9 razy 7 razy 2 00:03:44.730 --> 00:03:47.340 Co jest równe ... -- 2 razy 18 to 36. 00:03:47.340 --> 00:03:48.900 Zamienimy kolejność. 00:03:48.900 --> 00:03:56.700 Otrzymujemy pierwiastek z 36 razy 9 razy 7, 00:03:56.700 --> 00:04:05.540 co jest równe pierwiastkowi z 36 razy 00:04:05.540 --> 00:04:09.330 pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 7. 00:04:09.330 --> 00:04:14.130 Pierwiastek z 36 to 6. 00:04:14.130 --> 00:04:16.040 To jest 3. 00:04:16.040 --> 00:04:17.750 Nie bierzemy pod uwagę ujemnych wyników, 00:04:17.750 --> 00:04:19.920 ponieważ nie ma boków o ujemnej długości. 00:04:19.920 --> 00:04:23.460 Na końcu otrzymujemy 00:04:23.460 --> 00:04:26.120 18 pierwiastków z 7 00:04:26.120 --> 00:04:28.060 Jak zauważyliście użycie wzoru Herona 00:04:28.060 --> 00:04:30.760 do obliczenia pola trójkąta 00:04:30.760 --> 00:04:33.420 zajęło tylko kilka minut, 00:04:33.420 --> 00:04:38.710 a nawet mniej. 00:04:38.710 --> 00:04:42.040 Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane. 00:04:42.040 --> 00:04:42.331 Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane.