Myślę
Myślę, że większość ludzi wie jak obliczyć pole trójkąta
jeśli znamy długość jego podstawy
oraz wysokości.
Na przykład, jeśli to jest mój trójkąt to ten odcinek
jest jego podstawą b, a jego wysokość (tutaj) ma długość h
to pole tego trójkąta, jak łatwo zgadnąć
wynosi połowę iloczynu długości podstawy (b)
oraz wysokości (h).
Na przykład, jeżeli długość podstawy wynosi 5
a długość wysokości 6, to pole wyniesie 1/2 razy 5 razy 6,
co nam da 1/2 razy 30. Ostatecznie pole wyniesie 15.
Istnieje inny, mniej znany wzór na pole trójkąta,
który pozwala policzyć pole, jeżeli znamy tylko długości jego krawędzi.
Czyli różnica polega na braku znajomości długości wysokości.
Na przykład: jak obliczycie pole trójkąta,
jeśli podam wam tylko długości jego krawędzi?
Niech naszymi danymi będą a, b oraz c --
długości boków trójkąta.
Jak to policzyć?
Do rozwiązania tego problemu użyjemy
wzoru Herona
Ten film nie służy udowodnieniu tego wzoru,
tym zajmiemy się następnym razem.
Aby przeprowadzić dowód nie jest potrzebna żadna zaawansowana wiedza,
właściwie wszystkie potrzebne narzędzia już posiadacie.
W zasadzie potrzebne jest tylko twierdzenie Pitagorasa
oraz dużo przekształceń algebraicznych.
Ale teraz tylko pokaże wam jak ten wzór wygląda,
oraz jak go używać. Wtedy może dostrzeżecie,
że jest on prosty i łatwy do zapamiętania.
A nie wszyscy o tym wiedzą, więc można tym zabłysnąć w towarzystwie.
Aby użyć wzoru Herona musimy najpierw wprowadzić kolejną zmienną S,
która będzie oznaczać połowę
długości obwodu trójkąta:
suma a, b i c podzielona przez 2
Kiedy już policzymy wartość S,
to pole trójkąta wyniesie pierwiastek kwadratowy z
iloczynu S (to ta policzona właśnie wartość),
S minus a, S minus b, oraz S minus c.
To jest właśnie wzór Herona.
To wyrażenie.
Pozwólcie, że to wyróżnię.
Czyli to nazywamy wzorem Herona.
Wygląda to trochę skomplikowanie, na pewno jest
bardziej skomplikowane nić połowa iloczynu
długości podstawy i wysokości.
Teraz zrobimy jeden, albo dwa przykłady, aby pokazać,
że nie jest to wcale takie złe.
Przyjmijmy, że mamy dany trójkąt.
Zostawię wzór na górze.
Narysujemy nasz trójkąt przyjmując, że jego boki
mają długości kolejno 9, 11 i 16.
Możemy zastosować wzór Herona.
W tej sytuacji S będzie połową obwodu.
Więc suma 9, 11 i 16 dzielona przez 2
równa się 20 plus 16 równa się 36
dzielona na dwa to 18.
Wtedy pole ze wzoru Herona wyniesie
pierwiastek z S (18) razy S - a (S - 9), ...
równe 18 - 9 razy 18 - 11 razy 18 - 16.
Co się staje ...
Co jest równe pierwiastkowi z
18 razy 9 razy 7 razy 2
Co jest równe ... -- 2 razy 18 to 36.
Zamienimy kolejność.
Otrzymujemy pierwiastek z 36 razy 9 razy 7,
co jest równe pierwiastkowi z 36 razy
pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 7.
Pierwiastek z 36 to 6.
To jest 3.
Nie bierzemy pod uwagę ujemnych wyników,
ponieważ nie ma boków o ujemnej długości.
Na końcu otrzymujemy
18 pierwiastków z 7
Jak zauważyliście użycie wzoru Herona
do obliczenia pola trójkąta
zajęło tylko kilka minut,
a nawet mniej.
Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane.