1 00:00:00,000 --> 00:00:00,550 Myślę 2 00:00:00,550 --> 00:00:03,240 Myślę, że większość ludzi wie jak obliczyć pole trójkąta 3 00:00:03,240 --> 00:00:06,030 jeśli znamy długość jego podstawy 4 00:00:06,030 --> 00:00:07,250 oraz wysokości. 5 00:00:07,250 --> 00:00:10,540 Na przykład, jeśli to jest mój trójkąt to ten odcinek 6 00:00:10,540 --> 00:00:14,910 jest jego podstawą b, a jego wysokość (tutaj) ma długość h 7 00:00:14,910 --> 00:00:19,080 to pole tego trójkąta, jak łatwo zgadnąć 8 00:00:19,080 --> 00:00:23,170 wynosi połowę iloczynu długości podstawy (b) 9 00:00:23,170 --> 00:00:24,440 oraz wysokości (h). 10 00:00:24,440 --> 00:00:30,240 Na przykład, jeżeli długość podstawy wynosi 5 11 00:00:30,240 --> 00:00:37,180 a długość wysokości 6, to pole wyniesie 1/2 razy 5 razy 6, 12 00:00:37,180 --> 00:00:41,770 co nam da 1/2 razy 30. Ostatecznie pole wyniesie 15. 13 00:00:41,770 --> 00:00:45,120 Istnieje inny, mniej znany wzór na pole trójkąta, 14 00:00:45,120 --> 00:00:48,250 który pozwala policzyć pole, jeżeli znamy tylko długości jego krawędzi. 15 00:00:48,250 --> 00:00:49,740 Czyli różnica polega na braku znajomości długości wysokości. 16 00:00:49,740 --> 00:00:53,470 Na przykład: jak obliczycie pole trójkąta, 17 00:00:53,470 --> 00:00:55,570 jeśli podam wam tylko długości jego krawędzi? 18 00:00:55,570 --> 00:01:00,530 Niech naszymi danymi będą a, b oraz c -- 19 00:01:00,530 --> 00:01:01,640 długości boków trójkąta. 20 00:01:01,640 --> 00:01:03,360 Jak to policzyć? 21 00:01:03,360 --> 00:01:05,270 Do rozwiązania tego problemu użyjemy 22 00:01:05,270 --> 00:01:06,430 wzoru Herona 23 00:01:06,430 --> 00:01:12,210 wzoru Herona 24 00:01:12,210 --> 00:01:13,790 Ten film nie służy udowodnieniu tego wzoru, 25 00:01:13,790 --> 00:01:15,200 tym zajmiemy się następnym razem. 26 00:01:15,200 --> 00:01:17,400 Aby przeprowadzić dowód nie jest potrzebna żadna zaawansowana wiedza, 27 00:01:17,400 --> 00:01:18,720 właściwie wszystkie potrzebne narzędzia już posiadacie. 28 00:01:18,720 --> 00:01:20,480 W zasadzie potrzebne jest tylko twierdzenie Pitagorasa 29 00:01:20,480 --> 00:01:22,220 oraz dużo przekształceń algebraicznych. 30 00:01:22,220 --> 00:01:24,230 Ale teraz tylko pokaże wam jak ten wzór wygląda, 31 00:01:24,230 --> 00:01:26,760 oraz jak go używać. Wtedy może dostrzeżecie, 32 00:01:26,760 --> 00:01:28,590 że jest on prosty i łatwy do zapamiętania. 33 00:01:28,590 --> 00:01:31,660 A nie wszyscy o tym wiedzą, więc można tym zabłysnąć w towarzystwie. 34 00:01:31,660 --> 00:01:36,320 Aby użyć wzoru Herona musimy najpierw wprowadzić kolejną zmienną S, 35 00:01:36,320 --> 00:01:38,640 która będzie oznaczać połowę 36 00:01:38,640 --> 00:01:40,660 długości obwodu trójkąta: 37 00:01:40,660 --> 00:01:45,810 suma a, b i c podzielona przez 2 38 00:01:45,810 --> 00:01:49,480 Kiedy już policzymy wartość S, 39 00:01:49,480 --> 00:01:55,840 to pole trójkąta wyniesie pierwiastek kwadratowy z 40 00:01:55,840 --> 00:01:59,710 iloczynu S (to ta policzona właśnie wartość), 41 00:01:59,710 --> 00:02:10,540 S minus a, S minus b, oraz S minus c. 42 00:02:10,540 --> 00:02:12,480 To jest właśnie wzór Herona. 43 00:02:12,480 --> 00:02:13,830 To wyrażenie. 44 00:02:13,830 --> 00:02:16,130 Pozwólcie, że to wyróżnię. 45 00:02:16,130 --> 00:02:18,700 Czyli to nazywamy wzorem Herona. 46 00:02:18,700 --> 00:02:21,610 Wygląda to trochę skomplikowanie, na pewno jest 47 00:02:21,610 --> 00:02:24,290 bardziej skomplikowane nić połowa iloczynu 48 00:02:24,290 --> 00:02:25,290 długości podstawy i wysokości. 49 00:02:25,290 --> 00:02:28,040 Teraz zrobimy jeden, albo dwa przykłady, aby pokazać, 50 00:02:28,040 --> 00:02:31,350 że nie jest to wcale takie złe. 51 00:02:31,350 --> 00:02:33,320 Przyjmijmy, że mamy dany trójkąt. 52 00:02:33,320 --> 00:02:35,300 Zostawię wzór na górze. 53 00:02:35,300 --> 00:02:37,460 Narysujemy nasz trójkąt przyjmując, że jego boki 54 00:02:37,460 --> 00:02:44,920 mają długości kolejno 9, 11 i 16. 55 00:02:44,920 --> 00:02:47,040 Możemy zastosować wzór Herona. 56 00:02:47,040 --> 00:02:51,190 W tej sytuacji S będzie połową obwodu. 57 00:02:51,190 --> 00:02:56,630 Więc suma 9, 11 i 16 dzielona przez 2 58 00:02:56,630 --> 00:03:00,430 równa się 20 plus 16 równa się 36 59 00:03:00,430 --> 00:03:04,660 dzielona na dwa to 18. 60 00:03:04,660 --> 00:03:09,430 Wtedy pole ze wzoru Herona wyniesie 61 00:03:09,430 --> 00:03:19,380 pierwiastek z S (18) razy S - a (S - 9), ... 62 00:03:19,380 --> 00:03:27,790 równe 18 - 9 razy 18 - 11 razy 18 - 16. 63 00:03:27,790 --> 00:03:31,490 Co się staje ... 64 00:03:31,490 --> 00:03:38,200 Co jest równe pierwiastkowi z 65 00:03:38,200 --> 00:03:44,730 18 razy 9 razy 7 razy 2 66 00:03:44,730 --> 00:03:47,340 Co jest równe ... -- 2 razy 18 to 36. 67 00:03:47,340 --> 00:03:48,900 Zamienimy kolejność. 68 00:03:48,900 --> 00:03:56,700 Otrzymujemy pierwiastek z 36 razy 9 razy 7, 69 00:03:56,700 --> 00:04:05,540 co jest równe pierwiastkowi z 36 razy 70 00:04:05,540 --> 00:04:09,330 pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 7. 71 00:04:09,330 --> 00:04:14,130 Pierwiastek z 36 to 6. 72 00:04:14,130 --> 00:04:16,040 To jest 3. 73 00:04:16,040 --> 00:04:17,750 Nie bierzemy pod uwagę ujemnych wyników, 74 00:04:17,750 --> 00:04:19,920 ponieważ nie ma boków o ujemnej długości. 75 00:04:19,920 --> 00:04:23,460 Na końcu otrzymujemy 76 00:04:23,460 --> 00:04:26,120 18 pierwiastków z 7 77 00:04:26,120 --> 00:04:28,060 Jak zauważyliście użycie wzoru Herona 78 00:04:28,060 --> 00:04:30,760 do obliczenia pola trójkąta 79 00:04:30,760 --> 00:04:33,420 zajęło tylko kilka minut, 80 00:04:33,420 --> 00:04:38,710 a nawet mniej. 81 00:04:38,710 --> 00:04:42,040 Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane. 82 00:04:42,040 --> 00:04:42,331 Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane.