WEBVTT 00:00:00.550 --> 00:00:03.240 Ich denke, es ist allgemein bekannt, wie die Fläche 00:00:03.240 --> 00:00:06.030 des Dreiecks zu bestimmen ist, wenn wir die Länge seiner Grundlinie, 00:00:06.030 --> 00:00:07.250 und seine Höhe kennen. 00:00:07.250 --> 00:00:10.540 So, zum Beispiel, wenn das mein Dreieck ist, und diese Länge gerade 00:00:10.540 --> 00:00:14.910 hier - diese Grundlinie - ist von der Länge b und die Höhe hier ist 00:00:14.910 --> 00:00:19.080 von der Länge h, so ist es allgemein bekannt, dass die Fläche dieses 00:00:19.080 --> 00:00:23.170 Dreiecks gleich 1/2 mal die Grundlinie 00:00:23.170 --> 00:00:24.440 mal die Höhe sein wird. 00:00:24.440 --> 00:00:30.240 So, zum Beispiel, wenn die Grundlinie gleich 5 sei und die Höhe 00:00:30.240 --> 00:00:37.180 sei gleich 6, dann wäre unsere Fläche 1/2 mal 5 mal 6, 00:00:37.180 --> 00:00:41.770 was 1/2 mal 30 ist - das ist gleich 15. 00:00:41.770 --> 00:00:45.120 Nun, weniger gut bekannt ist, wie die Fläche eines 00:00:45.120 --> 00:00:48.250 Dreiecks zu bestimmen ist, wenn nur sind die Seiten des Dreiecks gegeben sind. 00:00:48.250 --> 00:00:49.740 Wenn die Höhe nicht gegeben ist. 00:00:49.740 --> 00:00:53.470 So, zum Beispiel, wie bestimmen Sie ein Dreieck, 00:00:53.470 --> 00:00:55.570 wenn ich Ihnen nur die Längen der Seiten gebe. 00:00:55.570 --> 00:01:00.530 Lassen Sie uns sagen, das ist die Seite a, Seite b und Seite c. a, b und c sind 00:01:00.530 --> 00:01:01.640 die Längen dieser Seiten. 00:01:01.640 --> 00:01:03.360 Wie kommen Sie dann darauf? 00:01:03.360 --> 00:01:05.270 Um das zu tun, werden wir den sogenannten 00:01:05.270 --> 00:01:06.430 Satz des Heron anwenden. 00:01:12.210 --> 00:01:13.790 Aber ich werde das nicht in diesem Video beweisen. 00:01:13.790 --> 00:01:15.200 Ich werde es in einem zukünftigen Video beweisen. 00:01:15.200 --> 00:01:17.400 Um es wirklich zu beweisen, haben Sie vermutlich bereits 00:01:17.400 --> 00:01:18.720 die notwendigen Kenntnisse. 00:01:18.720 --> 00:01:20.480 Es ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras und 00:01:20.480 --> 00:01:22.220 schrecklich viel Algebra. 00:01:22.220 --> 00:01:24.230 Aber ich werde Ihnen jetzt einfach die Formel zeigen und wie sie 00:01:24.230 --> 00:01:26.760 angewandt wird, und dann werden Sie es hoffentlich zu schätzen wissen, dass sie 00:01:26.760 --> 00:01:28.590 ziemlich einfach und leicht zu merken ist. 00:01:28.590 --> 00:01:31.660 Und es kann ein schöner Trick sein, um Leute damit zu beeindrucken. 00:01:31.660 --> 00:01:36.320 So der Satz von Heron sagt, man soll zuerst diese dritte Variable 00:01:36.320 --> 00:01:38.640 S herausfinden, die im Wesentlichen der Umfang dieses 00:01:38.640 --> 00:01:40.660 Dreiecks geteilt durch 2 ist. 00:01:40.660 --> 00:01:45.810 a plus b plus c, geteilt durch 2. 00:01:45.810 --> 00:01:49.480 Dann, sobald Sie S bestimmt haben, ist die Fläche des Dreiecks -- dieses 00:01:49.480 --> 00:01:55.840 Dreiecks genau dort -- ist gleich der Quadratwurzel 00:01:55.840 --> 00:01:59.710 aus S -- diese Variable S gleich hier, die Sie gerade berechnet haben -- 00:01:59.710 --> 00:02:10.540 mal S minus a, mal S minus b, mal S minus c. 00:02:10.540 --> 00:02:12.480 Das ist Herons Formel gerade hier. 00:02:12.480 --> 00:02:13.830 Diese Kombination. 00:02:13.830 --> 00:02:16.130 Lassen Sie mich das für Sie einrahmen. 00:02:16.130 --> 00:02:18.700 So das hier ist Herons Formel. 00:02:18.700 --> 00:02:21.610 Und wenn das ein wenig entmutigend aussieht - es ist ein wenig 00:02:21.610 --> 00:02:24.290 abschreckender, klar, als nur 1/2 mal Grundlinie 00:02:24.290 --> 00:02:25.290 mal Höhe. 00:02:25.290 --> 00:02:28.040 Lasst es uns mit einem oder zwei konkreten Beispielen versuchen, dann werden wir sehen, 00:02:28.040 --> 00:02:31.350 dass dies eigentlich nicht so schlimm ist. 00:02:31.350 --> 00:02:33.320 Sagen wir also, ich habe ein Dreieck. 00:02:33.320 --> 00:02:35.300 Ich lasse die Formel da oben. 00:02:35.300 --> 00:02:37.460 Sagen wir also, ich habe ein Dreieck, das Seiten 00:02:37.460 --> 00:02:44.920 der Länge 9, 11 und 16 hat. 00:02:44.920 --> 00:02:47.040 Nun wenden wir also Herons Formel an. 00:02:47.040 --> 00:02:51.190 S in dieser Situation wird der Umfang geteilt durch 2 sein. 00:02:51.190 --> 00:02:56.630 So 9 plus 11 plus 16, geteilt durch 2. 00:02:56.630 --> 00:03:00.430 Was gleich 9 plus 11 -- das ist 20 - plus 16 ist 00:03:00.430 --> 00:03:04.660 36, dividiert durch 2 ist 18. 00:03:04.660 --> 00:03:09.430 Und dann ist die Fläche mit der Formel von Heron gleich 00:03:09.430 --> 00:03:19.380 der Quadratwurzel aus S -- 18 -- mal S minus a -- S minus 9. 00:03:19.380 --> 00:03:27.790 18 minus 9, mal 18 minus 11, mal 18 minus 16. 00:03:31.490 --> 00:03:38.200 Und dann ist das gleich der Quadratwurzel von 18 00:03:38.200 --> 00:03:44.730 mal 9 mal 7 mal 2. 00:03:44.730 --> 00:03:47.340 Welches gleich - mal sehen, 2 mal 18 also 36 ist. 00:03:47.340 --> 00:03:48.900 Nun werde ich es nur ein bisschen neu anordnen. 00:03:48.900 --> 00:03:56.700 Dies ist gleich der Quadratwurzel von 36 mal 9 mal 7, 00:03:56.700 --> 00:04:05.540 was gleich der Wurzel aus 36 mal die Quadratwurzel 00:04:05.540 --> 00:04:09.330 von 9 mal die Quadratwurzel von 7 ist. 00:04:09.330 --> 00:04:14.130 Die Quadratwurzel von 36 ist gerade 6. 00:04:14.130 --> 00:04:16.040 Dies ist gerade 3. 00:04:16.040 --> 00:04:17.750 Und wir befassen uns nicht mit den negativen Wurzeln, 00:04:17.750 --> 00:04:19.920 denn man kann keine negative Seitenlängen haben. 00:04:19.920 --> 00:04:23.460 Und so wird das gleich 18 mal 00:04:23.460 --> 00:04:26.120 die Quadratwurzel von 7. 00:04:26.120 --> 00:04:28.060 So einfach, Sie haben es gesehen, es dauerte nur ein paar 00:04:28.060 --> 00:04:30.760 Minuten, um Herons Formel anzuwenden, oder sogar weniger als 00:04:30.760 --> 00:04:33.420 das, um herauszufinden, dass die Fläche dieses Dreiecks 00:04:33.420 --> 00:04:38.710 gerade hier gleich 18 mal die Quadratwurzel von sieben ist. 00:04:38.710 --> 00:04:42.040 Wie auch immer, hoffentlich fanden Sie das einleuchtend.