Ich denke, es ist allgemein bekannt, wie die Fläche
des Dreiecks zu bestimmen ist, wenn wir die Länge seiner Grundlinie,
und seine Höhe kennen.
So, zum Beispiel, wenn das mein Dreieck ist, und diese Länge gerade
hier - diese Grundlinie - ist von der Länge b und die Höhe hier ist
von der Länge h, so ist es allgemein bekannt, dass die Fläche dieses
Dreiecks gleich 1/2 mal die Grundlinie
mal die Höhe sein wird.
So, zum Beispiel, wenn die Grundlinie gleich 5 sei und die Höhe
sei gleich 6, dann wäre unsere Fläche 1/2 mal 5 mal 6,
was 1/2 mal 30 ist - das ist gleich 15.
Nun, weniger gut bekannt ist, wie die Fläche eines
Dreiecks zu bestimmen ist, wenn nur sind die Seiten des Dreiecks gegeben sind.
Wenn die Höhe nicht gegeben ist.
So, zum Beispiel, wie bestimmen Sie ein Dreieck,
wenn ich Ihnen nur die Längen der Seiten gebe.
Lassen Sie uns sagen, das ist die Seite a, Seite b und Seite c. a, b und c sind
die Längen dieser Seiten.
Wie kommen Sie dann darauf?
Um das zu tun, werden wir den sogenannten
Satz des Heron anwenden.
Aber ich werde das nicht in diesem Video beweisen.
Ich werde es in einem zukünftigen Video beweisen.
Um es wirklich zu beweisen, haben Sie vermutlich bereits
die notwendigen Kenntnisse.
Es ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras und
schrecklich viel Algebra.
Aber ich werde Ihnen jetzt einfach die Formel zeigen und wie sie
angewandt wird, und dann werden Sie es hoffentlich zu schätzen wissen, dass sie
ziemlich einfach und leicht zu merken ist.
Und es kann ein schöner Trick sein, um Leute damit zu beeindrucken.
So der Satz von Heron sagt, man soll zuerst diese dritte Variable
S herausfinden, die im Wesentlichen der Umfang dieses
Dreiecks geteilt durch 2 ist.
a plus b plus c, geteilt durch 2.
Dann, sobald Sie S bestimmt haben, ist die Fläche des Dreiecks -- dieses
Dreiecks genau dort -- ist gleich der Quadratwurzel
aus S -- diese Variable S gleich hier, die Sie gerade berechnet haben --
mal S minus a, mal S minus b, mal S minus c.
Das ist Herons Formel gerade hier.
Diese Kombination.
Lassen Sie mich das für Sie einrahmen.
So das hier ist Herons Formel.
Und wenn das ein wenig entmutigend aussieht - es ist ein wenig
abschreckender, klar, als nur 1/2 mal Grundlinie
mal Höhe.
Lasst es uns mit einem oder zwei konkreten Beispielen versuchen, dann werden wir sehen,
dass dies eigentlich nicht so schlimm ist.
Sagen wir also, ich habe ein Dreieck.
Ich lasse die Formel da oben.
Sagen wir also, ich habe ein Dreieck, das Seiten
der Länge 9, 11 und 16 hat.
Nun wenden wir also Herons Formel an.
S in dieser Situation wird der Umfang geteilt durch 2 sein.
So 9 plus 11 plus 16, geteilt durch 2.
Was gleich 9 plus 11 -- das ist 20 - plus 16 ist
36, dividiert durch 2 ist 18.
Und dann ist die Fläche mit der Formel von Heron gleich
der Quadratwurzel aus S -- 18 -- mal S minus a -- S minus 9.
18 minus 9, mal 18 minus 11, mal 18 minus 16.
Und dann ist das gleich der Quadratwurzel von 18
mal 9 mal 7 mal 2.
Welches gleich - mal sehen, 2 mal 18 also 36 ist.
Nun werde ich es nur ein bisschen neu anordnen.
Dies ist gleich der Quadratwurzel von 36 mal 9 mal 7,
was gleich der Wurzel aus 36 mal die Quadratwurzel
von 9 mal die Quadratwurzel von 7 ist.
Die Quadratwurzel von 36 ist gerade 6.
Dies ist gerade 3.
Und wir befassen uns nicht mit den negativen Wurzeln,
denn man kann keine negative Seitenlängen haben.
Und so wird das gleich 18 mal
die Quadratwurzel von 7.
So einfach, Sie haben es gesehen, es dauerte nur ein paar
Minuten, um Herons Formel anzuwenden, oder sogar weniger als
das, um herauszufinden, dass die Fläche dieses Dreiecks
gerade hier gleich 18 mal die Quadratwurzel von sieben ist.
Wie auch immer, hoffentlich fanden Sie das einleuchtend.