0:00:00.550,0:00:03.240
Ich denke, es ist allgemein bekannt, wie die Fläche

0:00:03.240,0:00:06.030
des Dreiecks zu bestimmen ist, wenn wir die Länge seiner Grundlinie,

0:00:06.030,0:00:07.250
und seine Höhe kennen.

0:00:07.250,0:00:10.540
So, zum Beispiel, wenn das mein Dreieck ist, und diese Länge gerade

0:00:10.540,0:00:14.910
hier - diese Grundlinie - ist von der Länge b und die Höhe hier ist

0:00:14.910,0:00:19.080
von der Länge h, so ist es allgemein bekannt, dass die Fläche dieses

0:00:19.080,0:00:23.170
Dreiecks gleich 1/2 mal die Grundlinie

0:00:23.170,0:00:24.440
mal die Höhe sein wird.

0:00:24.440,0:00:30.240
So, zum Beispiel, wenn die Grundlinie gleich 5 sei und die Höhe

0:00:30.240,0:00:37.180
sei gleich 6, dann wäre unsere Fläche 1/2 mal 5 mal 6,

0:00:37.180,0:00:41.770
was 1/2 mal 30 ist - das ist gleich 15.

0:00:41.770,0:00:45.120
Nun, weniger gut bekannt ist, wie die Fläche eines

0:00:45.120,0:00:48.250
Dreiecks zu bestimmen ist, wenn nur sind die Seiten des Dreiecks gegeben sind.

0:00:48.250,0:00:49.740
Wenn die Höhe nicht gegeben ist.

0:00:49.740,0:00:53.470
So, zum Beispiel, wie bestimmen Sie ein Dreieck,

0:00:53.470,0:00:55.570
wenn ich Ihnen nur die Längen der Seiten gebe.

0:00:55.570,0:01:00.530
Lassen Sie uns sagen, das ist die Seite a, Seite b und Seite c. a, b und c sind

0:01:00.530,0:01:01.640
die Längen dieser Seiten.

0:01:01.640,0:01:03.360
Wie kommen Sie dann darauf?

0:01:03.360,0:01:05.270
Um das zu tun, werden wir den sogenannten

0:01:05.270,0:01:06.430
Satz des Heron anwenden.

0:01:12.210,0:01:13.790
Aber ich werde das nicht in diesem Video beweisen.

0:01:13.790,0:01:15.200
Ich werde es in einem zukünftigen Video beweisen.

0:01:15.200,0:01:17.400
Um es wirklich zu beweisen, haben Sie vermutlich bereits

0:01:17.400,0:01:18.720
die notwendigen Kenntnisse.

0:01:18.720,0:01:20.480
Es ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras und

0:01:20.480,0:01:22.220
schrecklich viel Algebra.

0:01:22.220,0:01:24.230
Aber ich werde Ihnen jetzt einfach die Formel zeigen und wie sie

0:01:24.230,0:01:26.760
angewandt wird, und dann werden Sie es hoffentlich zu schätzen wissen, dass sie

0:01:26.760,0:01:28.590
ziemlich einfach und leicht zu merken ist.

0:01:28.590,0:01:31.660
Und es kann ein schöner Trick sein, um Leute damit zu beeindrucken.

0:01:31.660,0:01:36.320
So der Satz von Heron sagt, man soll zuerst diese dritte Variable

0:01:36.320,0:01:38.640
S herausfinden, die im Wesentlichen der Umfang dieses

0:01:38.640,0:01:40.660
Dreiecks geteilt durch 2 ist.

0:01:40.660,0:01:45.810
a plus b plus c, geteilt durch 2.

0:01:45.810,0:01:49.480
Dann, sobald Sie S bestimmt haben, ist die Fläche des Dreiecks -- dieses

0:01:49.480,0:01:55.840
Dreiecks genau dort -- ist gleich der Quadratwurzel

0:01:55.840,0:01:59.710
aus S -- diese Variable S gleich hier, die Sie gerade berechnet haben --

0:01:59.710,0:02:10.540
mal S minus a, mal S minus b, mal S minus c.

0:02:10.540,0:02:12.480
Das ist Herons Formel gerade hier.

0:02:12.480,0:02:13.830
Diese Kombination.

0:02:13.830,0:02:16.130
Lassen Sie mich das für Sie einrahmen.

0:02:16.130,0:02:18.700
So das hier ist Herons Formel.

0:02:18.700,0:02:21.610
Und wenn das ein wenig entmutigend aussieht - es ist ein wenig

0:02:21.610,0:02:24.290
abschreckender, klar, als nur 1/2 mal Grundlinie

0:02:24.290,0:02:25.290
mal Höhe.

0:02:25.290,0:02:28.040
Lasst es uns mit einem oder zwei konkreten Beispielen versuchen, dann werden wir sehen,

0:02:28.040,0:02:31.350
dass dies eigentlich nicht so schlimm ist.

0:02:31.350,0:02:33.320
Sagen wir also, ich habe ein Dreieck.

0:02:33.320,0:02:35.300
Ich lasse die Formel da oben.

0:02:35.300,0:02:37.460
Sagen wir also, ich habe ein Dreieck, das Seiten

0:02:37.460,0:02:44.920
der Länge 9, 11 und 16 hat.

0:02:44.920,0:02:47.040
Nun wenden wir also Herons Formel an.

0:02:47.040,0:02:51.190
S in dieser Situation wird der Umfang geteilt durch 2 sein.

0:02:51.190,0:02:56.630
So 9 plus 11 plus 16, geteilt durch 2.

0:02:56.630,0:03:00.430
Was gleich 9 plus 11 -- das ist 20 - plus 16 ist

0:03:00.430,0:03:04.660
36, dividiert durch 2 ist 18.

0:03:04.660,0:03:09.430
Und dann ist die Fläche mit der Formel von Heron gleich

0:03:09.430,0:03:19.380
der Quadratwurzel aus S -- 18 -- mal S minus a -- S minus 9.

0:03:19.380,0:03:27.790
18 minus 9, mal 18 minus 11, mal 18 minus 16.

0:03:31.490,0:03:38.200
Und dann ist das gleich der Quadratwurzel von 18

0:03:38.200,0:03:44.730
mal 9 mal 7 mal 2.

0:03:44.730,0:03:47.340
Welches gleich - mal sehen, 2 mal 18 also 36 ist.

0:03:47.340,0:03:48.900
Nun werde ich es nur ein bisschen neu anordnen.

0:03:48.900,0:03:56.700
Dies ist gleich der Quadratwurzel von 36 mal 9 mal 7,

0:03:56.700,0:04:05.540
was gleich der Wurzel aus 36 mal die Quadratwurzel

0:04:05.540,0:04:09.330
von 9 mal die Quadratwurzel von 7 ist.

0:04:09.330,0:04:14.130
Die Quadratwurzel von 36 ist gerade 6.

0:04:14.130,0:04:16.040
Dies ist gerade 3.

0:04:16.040,0:04:17.750
Und wir befassen uns nicht mit den negativen Wurzeln,

0:04:17.750,0:04:19.920
denn man kann keine negative Seitenlängen haben.

0:04:19.920,0:04:23.460
Und so wird das gleich 18 mal

0:04:23.460,0:04:26.120
die Quadratwurzel von 7.

0:04:26.120,0:04:28.060
So einfach, Sie haben es gesehen, es dauerte nur ein paar

0:04:28.060,0:04:30.760
Minuten, um Herons Formel anzuwenden, oder sogar weniger als

0:04:30.760,0:04:33.420
das, um herauszufinden, dass die Fläche dieses Dreiecks

0:04:33.420,0:04:38.710
gerade hier gleich 18 mal die Quadratwurzel von sieben ist.

0:04:38.710,0:04:42.040
Wie auch immer, hoffentlich fanden Sie das einleuchtend.