1
00:00:00,000 --> 00:00:00,550
.

2
00:00:00,550 --> 00:00:03,240
De fleste ved, hvordan man finder arealet af en trekant,

3
00:00:03,240 --> 00:00:06,030
når vi kender længden på grundlinjen

4
00:00:06,030 --> 00:00:07,250
og trekantens højde.

5
00:00:07,250 --> 00:00:10,540
Hvis det her er vores trekant, og den her længde

6
00:00:10,540 --> 00:00:14,910
er vores grundlinje b, og den her længde

7
00:00:14,910 --> 00:00:19,080
er højden h, så ved vi,

8
00:00:19,080 --> 00:00:23,170
at arealet af trekanten er lig med en halv gange grundlinjen

9
00:00:23,170 --> 00:00:24,440
gange højden.

10
00:00:24,440 --> 00:00:30,240
Hvis grundlinjen er lig med 5,

11
00:00:30,240 --> 00:00:37,180
og højden er lig med 6, så er arealet en halv gange 5 gange 6,

12
00:00:37,180 --> 00:00:41,770
der giver en halv gange 30, som er lig med 15.

13
00:00:41,770 --> 00:00:45,120
Det er dog sværere at finde arealet af trekanten,

14
00:00:45,120 --> 00:00:48,250
hvis vi kun kender længderne på dens sider.

15
00:00:48,250 --> 00:00:49,740
Vi kender altså ikke højden.

16
00:00:49,740 --> 00:00:53,470
Hvordan udregner vi så arealet af trekanten,

17
00:00:53,470 --> 00:00:55,570
når vi kun kender længden på siderne?

18
00:00:55,570 --> 00:01:00,530
Lad os sige, at det her er side a, side b og side c.

19
00:01:00,530 --> 00:01:01,640
a,b og c er længderne af disse sider.

20
00:01:01,640 --> 00:01:03,360
Hvordan regner vi det ud?

21
00:01:03,360 --> 00:01:05,270
Det gør vi ved at anvende,

22
00:01:05,270 --> 00:01:06,430
det vi kalder Herons formel.

23
00:01:06,430 --> 00:01:12,210
.

24
00:01:12,210 --> 00:01:13,790
Jeg vil ikke bevise Herons formel her,

25
00:01:13,790 --> 00:01:15,200
det gør jeg i en anden video.

26
00:01:15,200 --> 00:01:17,400
For at bevise det, har vi faktisk allerede de nødvendige værktøjer.

27
00:01:17,400 --> 00:01:18,720
.

28
00:01:18,720 --> 00:01:20,480
Det er i bund og grund Pythagoras læresætning

29
00:01:20,480 --> 00:01:22,220
og en masse algebra.

30
00:01:22,220 --> 00:01:24,230
Her viser vi kun formlen,

31
00:01:24,230 --> 00:01:26,760
og hvordan vi anvender den. Senere finder vi forhåbentlig ud af,

32
00:01:26,760 --> 00:01:28,590
at den er ret simpel og let at huske.

33
00:01:28,590 --> 00:01:31,660
Det kan også være et godt trick at imponere folk med.

34
00:01:31,660 --> 00:01:36,320
Herons formel siger, at vi først skal finde størrelsen S,

35
00:01:36,320 --> 00:01:38,640
som er omkredsen af trekanten

36
00:01:38,640 --> 00:01:40,660
divideret med 2.

37
00:01:40,660 --> 00:01:45,810
a plus b plus c, divideret med 2.

38
00:01:45,810 --> 00:01:49,480
Når vi har fundet S, vil trekantens areal

39
00:01:49,480 --> 00:01:55,840
være lig med kvadratroden af S..

40
00:01:55,840 --> 00:01:59,710
.

41
00:01:59,710 --> 00:02:10,540
gange S minus a, gange S minus b, gange S minus c.

42
00:02:10,540 --> 00:02:12,480
Det er Herons formel.

43
00:02:12,480 --> 00:02:13,830
Det er sådan, den ser ud.

44
00:02:13,830 --> 00:02:16,130
.

45
00:02:16,130 --> 00:02:18,700
.

46
00:02:18,700 --> 00:02:21,610
Den ser måske lidt vanskelig ud, det er i hvert fald noget andet,

47
00:02:21,610 --> 00:02:24,290
end når vi bare siger en halv gange grundlinjen

48
00:02:24,290 --> 00:02:25,290
gange højden.

49
00:02:25,290 --> 00:02:28,040
Lad os prøve med et eksempel

50
00:02:28,040 --> 00:02:31,350
for at finde ud af, at formlen slet ikke er så svær at anvende.

51
00:02:31,350 --> 00:02:33,320
Vi har en trekant.

52
00:02:33,320 --> 00:02:35,300
Formlen lader vi stå her.

53
00:02:35,300 --> 00:02:37,460
Vi har en trekant, som har 3 sider

54
00:02:37,460 --> 00:02:44,920
med en længde på 9,11 og 16.

55
00:02:44,920 --> 00:02:47,040
Vi anvender Herons formel.

56
00:02:47,040 --> 00:02:51,190
S er omkredsen, som vi dividerer med 2.

57
00:02:51,190 --> 00:02:56,630
Vi siger 9 plus 11 plus 16 divideret med 2.

58
00:02:56,630 --> 00:03:00,430
9 plus 11 plus 16 er lig med 36.

59
00:03:00,430 --> 00:03:04,660
Divideret med 2 er lig med 18.

60
00:03:04,660 --> 00:03:09,430
Arealet vil ifølge Herons formel

61
00:03:09,430 --> 00:03:19,380
være lig med kvadratroden af S, som er 18,

62
00:03:19,380 --> 00:03:27,790
gange 18 minus 9, gange 18 minus 11, gange 18 minus 16.

63
00:03:27,790 --> 00:03:31,490
.

64
00:03:31,490 --> 00:03:38,200
Det er lig med kvadratroden af 18

65
00:03:38,200 --> 00:03:44,730
gange 9 gange 7 gange 2.

66
00:03:44,730 --> 00:03:47,340
Det er lig med..

67
00:03:47,340 --> 00:03:48,900
.

68
00:03:48,900 --> 00:03:56,700
kvadratroden af 36 gange 9 gange 7,

69
00:03:56,700 --> 00:04:05,540
som er lig med kvadratroden af 36 gange

70
00:04:05,540 --> 00:04:09,330
kvadratroden af 9 gange kvadratroden af 7.

71
00:04:09,330 --> 00:04:14,130
Kvadratroden af 36 er 6.

72
00:04:14,130 --> 00:04:16,040
Det her er 3.

73
00:04:16,040 --> 00:04:17,750
Vi medregner ikke en negativ kvadratrod,

74
00:04:17,750 --> 00:04:19,920
da en side ikke kan have en negativ længde.

75
00:04:19,920 --> 00:04:23,460
Det er lig med 18 gange

76
00:04:23,460 --> 00:04:26,120
kvadratroden af 7.

77
00:04:26,120 --> 00:04:28,060
Som vi kan se, så tager det kun et par minutter

78
00:04:28,060 --> 00:04:30,760
at anvende Herons formel

79
00:04:30,760 --> 00:04:33,420
og udregne arealet af trekanten her,

80
00:04:33,420 --> 00:04:38,710
som er lig med 18 kvadratrod 7.

81
00:04:38,710 --> 00:04:42,040
.

82
00:04:42,040 --> 00:04:42,331
.