0:00:00.000,0:00:00.590
这儿有一个圆 这是它的直径

0:00:00.590,0:00:03.640
让我把这条直径画好些

0:00:03.640,0:00:05.280
恩 不错

0:00:05.280,0:00:09.080
这就是这个圆的直径

0:00:09.080,0:00:09.760
圆的一条直径

0:00:09.760,0:00:12.580
直径画好了

0:00:12.580,0:00:14.700
现在有一个三角形

0:00:14.700,0:00:16.110
它的一条边就是直径

0:00:16.110,0:00:19.220
这条边所对的角的

0:00:19.220,0:00:26.040
顶点在圆周上

0:00:26.040,0:00:28.960
就是说

0:00:28.960,0:00:34.200
直径所对的那个角在圆周上

0:00:34.200,0:00:35.260
这个三角形应该

0:00:35.260,0:00:38.020
是这样的

0:00:38.020,0:00:44.160
这节课我所要证明的就是

0:00:44.160,0:00:47.170
这个三角形其实

0:00:47.170,0:00:50.700
是一个直角三角形

0:00:50.700,0:00:54.290
90度的角所对的边

0:00:54.290,0:00:57.040
就是直径

0:00:57.040,0:00:58.550
我先不在这里标记这个角

0:00:58.550,0:01:00.340
因为它不方便后面的证明

0:01:00.340,0:01:02.140
看看我们应该怎么证明它呢

0:01:02.140,0:01:05.070
我们已经学了圆周角的概念

0:01:05.070,0:01:08.910
圆周角与它同弧所对的圆心角之间的关系

0:01:08.910,0:01:12.970
看看能不能利用上

0:01:12.970,0:01:14.830
这是一个圆周角

0:01:14.830,0:01:15.720
记为θ

0:01:15.720,0:01:18.950
我们说

0:01:18.950,0:01:22.760
这个点就是这个圆的圆心

0:01:22.760,0:01:25.070
那么这个角应该是一个圆心角

0:01:25.070,0:01:27.370
让我再画一个三角形

0:01:27.370,0:01:30.190
又画了一条线

0:01:30.190,0:01:32.620
这个就是圆心角

0:01:32.620,0:01:33.460
这个是半径

0:01:33.460,0:01:35.130
这同样是一条半径

0:01:35.130,0:01:38.190
实际上它们两个的长度是相等的

0:01:38.190,0:01:40.070
几节课以前我们学过

0:01:40.070,0:01:41.230
这个圆周角

0:01:41.230,0:01:44.480
对着这个圆弧

0:01:44.480,0:01:48.710
而这个弧所对的圆心角

0:01:48.710,0:01:52.420
将是这个圆周角的二倍

0:01:52.420,0:01:55.850
这一点我们几节课之前证明过

0:01:55.850,0:01:57.400
所以这个角是 2θ

0:01:57.400,0:01:59.040
是同弧所对的圆心角

0:01:59.040,0:02:02.150
现在看这个三角形

0:02:02.150,0:02:05.260
这是个等腰三角形

0:02:05.260,0:02:10.120
我可以把它旋转

0:02:10.120,0:02:11.620
这样画出来

0:02:11.620,0:02:13.800
假设我把它翻过来 这条边 这条边

0:02:13.800,0:02:16.480
还有下面绿色的这条边

0:02:16.480,0:02:22.163
这两条边的边长都是r

0:02:22.163,0:02:25.000
顶角是2θ其实我只是把这个三角形拿出来

0:02:25.000,0:02:28.980
并且旋转以后 画出来

0:02:28.980,0:02:31.160
这条边就是刚刚的那条边

0:02:31.160,0:02:33.530
因为这两条边相等 这是个等腰三角形

0:02:33.530,0:02:35.060
这两个底角也相等

0:02:35.060,0:02:37.050
这个角和这个角相等

0:02:37.050,0:02:41.660
在这里画的这个三角形里

0:02:41.660,0:02:43.980
这两个角就是那对相等的底角

0:02:43.980,0:02:47.580
我看看

0:02:47.580,0:02:49.820
θ已经用过了 我们用x来表示这些角

0:02:49.820,0:02:55.150
那么这个和这个角都是x

0:02:55.150,0:02:58.150
那x是多少呢

0:02:58.150,0:02:59.800
x + x + 2θ = 180

0:02:59.800,0:03:05.230
它们在同一个三角形中

0:03:05.230,0:03:08.000
我把它写下来

0:03:08.000,0:03:12.120
我们已经得出了 x + x + 2θ = 180

0:03:12.120,0:03:13.970
也就是2x + 2θ = 180

0:03:13.970,0:03:15.770
2x = 180 - 2θ两边同时除以2

0:03:15.770,0:03:23.010
得出 x = 90 - θ

0:03:23.010,0:03:30.880
所以x = 90 - θ

0:03:30.880,0:03:35.970
这个有什么用呢

0:03:35.970,0:03:42.980
让我们再看看这个三角形

0:03:42.980,0:03:50.590
这个三角形的这条边

0:03:50.590,0:03:52.890
也是这个圆的半径

0:03:52.890,0:03:55.130
这个长度我们

0:03:55.130,0:03:59.160
已经标记过了是半径r

0:03:59.160,0:04:01.930
所以这个三角形也是等腰三角形

0:04:01.930,0:04:04.080
这两边相等

0:04:04.080,0:04:05.060
这两个底角也相等

0:04:05.060,0:04:08.870
这个是θ 所以这个角也是θ

0:04:08.870,0:04:12.770
事实上 利用这两个角都是θ

0:04:12.770,0:04:13.500
我们也证明了之前的那个

0:04:13.500,0:04:17.160
关于圆周角的结论

0:04:17.160,0:04:17.895
就是同弧所对的圆心角和圆周角

0:04:17.895,0:04:20.770
之间的关系

0:04:20.770,0:04:25.100
所以这个是θ 这个也是θ

0:04:25.100,0:04:27.340
因为是等腰三角形

0:04:27.340,0:04:27.980
这里的这个角是什么呢

0:04:27.980,0:04:29.670
它应该是 θ 加上 90度减去θ

0:04:29.670,0:04:31.120
就是 θ加上90 减去 θ

0:04:31.120,0:04:36.150
θ 消掉了

0:04:36.150,0:04:39.850
所以不论三角形是怎样的 只要它的一条边是直径

0:04:39.850,0:04:41.650
并且这条边所对的角或者说顶点

0:04:41.650,0:04:44.690
在圆周上

0:04:44.690,0:04:46.270
那么这个角

0:04:46.270,0:04:49.690
就是直角

0:04:49.690,0:04:53.070
这个三角形就是一个直角三角形

0:04:53.070,0:04:56.620
我可以随机画一些三角形

0:04:56.620,0:05:01.780
在这取一个点

0:05:01.780,0:05:08.750
这样的

0:05:08.750,0:05:11.640
这也是个直角三角形

0:05:11.640,0:05:16.010
或者这样画

0:05:16.010,0:05:19.750
那么

0:05:19.750,0:05:23.220
这也是直角

0:05:23.220,0:05:25.240
对任意一个三角形

0:05:25.240,0:05:27.860
都可以做相同的证明

0:05:27.860,0:05:30.090
事实上 我刚刚所画的那个三角形是很普通的

0:05:30.090,0:05:33.810
所有它对于这所有的三角形都适用