خوش آمدید
ہم نے تقریبًا سب سیکھ لیا ہے زاویوں کے اصول یا قوانین کے بارے میں
جو کہ ہمیں درکار ہے زاویوںکا کیھل کھیلنے کے لئے
چلیں آپ کو تھوڑا اور سکھاتا ہوں
تو چلیں کہہ دیں کہ اگر میرے پاس دو متوازن لکیریں ہیں اور شاید آپ کو نہیں
پتہ کہ متوازن لکیریں کیا ہوتی ہیں میں آپ کو
بتاؤں گا اب
تو اب میرے پاس ایک لکیر ہے ایسے غالبًا آپ کو ہدایتی طور پہ پتہ ہے کہ
متوازن لکیریں کسے کہتے ہیں
یہ میری متوازن لکیروں میںسے ایک ہے مجھے بنانے دیں
ہری دوسری متوازن لکیر
تو متوازن لکیریں اور میں حصہ کھینچنے جا رہا ہوں
ہم یہ قبول لرکیتےہیںکہ یہ ہمیشہ کے لئے جاتی رہیںگی کیونکہ یہ
تجریدی مقدار ہیں یہ ہلکی نیلی لکیر جاتی اور جاتی رہے گی
رہے گی رہے گی پردے کے باہر تک اور اسی طرح ہری لکیر کے ساتھ ہوگا
اور متوازن لکیریں دو لکیریں ہیں جو اسی ہموار سطح پہ ہیں
اور ہموار اس حد تک ہموار ہے کہ آپ استعمال کرسکتے ہیں
سیدھی سطع ہموار ہے
ہم نہیں جایئنگے تین ابعادی جگہ پہ
جیومیٹری کی جماعت میں
لیکن یہ اُسی سطع پر ہیں اور یہ سطع آپ دیکھ سکتے ہو جیسے ابھی
آپ کے کمپیوٹر کا پردہ یا کاغذ کا ٹکڑا
آپ اس پہ کام کر رہے ہو جو کاٹتی نہیں ہیںایک دوسرے کو اور
یہ دو الگ الگ لکیریں ہیں
ظاہر ہے اگر یہ ایک دوسرے کے اوپر کھچی ہوئی ہوتی پھر
یہ کاٹتی ایک دوسرے کو ہر جگہ
تواصل میں یہ وہ دو لکیریں ہیں ایک ہی سطع پر جو کبھی نہیں
کاٹتی ایک دوسرے کو
یہ متوازن لکیر ہے
اگر آپ پہلے پڑھ چکے ہو ریاضی تو آپ جانتے ہوگے
ڈھلان کے بارے میں متوازن لکیریں وہ لکیریں ہیں جو
ایک ہی سطع پر ہیں ٹھیک؟
یہ کسی حد تک چڑھتی اور گھٹی ہیں ایک ہی شرح میں
لیکن ان کے الگ y کے حصے ہونگے
اگر آپ کو نہیں پتہ کہ میںکس کے بارے میں بات کر رہا ہوں
گھبرائیں مت اس کے بارے میں
میرے خیال سے آپ کو پتہ ہے متوازن لکیر کے کیا مطلب ہوتے ہیں
آپ نے یہ دیکھا ہے لکیر متوازن کرنے کا عمل
متوازن کرنے کا عمل یہ ہوتا ہے کہ جب آپ گاڑی کھڑی کرتے ہو اگلی گاڑی کے آگے ہی
دو گاڑیوں کے ٹھوکے بغیر کیوںنکہ اگر
آپ گاڑی ٹھوکو گے تو اپنے بیمہ ادارے کو بلانا پڑے گا
لیکن بہر حال تو یہ متوازن لکیریں ہیں
نیلی اور ہری لکیر متوازن ہیں
اور اب میں آپ کا تعارف جیومیٹری کی ایک نئی قسم سے
جسے کہتے ہیں آڑی لکیریں
آڑی لکیر اصل میں وہ لکیر ہوتی ہے جو
کاٹتی ہے ان دو لکیروں کو
وہ آڑی ہے
بناؤٹی لفظ کسی چیز کے لئے بہت آسان آڑی لکیریں
چلیں مجھے لکھنے دیں کسی چیز کے لئے
آڑی لکیریں
یہ کاٹے گی دوسری لکیروںکو
میں سوچ رہا تھا نمونیہ کا آڑی لکیروں کے لئے
لیکن میں غالبًا غلط چیز کا سوچ رہا تھا
جیومیٹری کے ساتھ چلتے ہیں
ہمارے پاس آری لکیریں ہیں جو کاٹتی ہیں
دو متوازن لکیروں کو
ہم لکیروں کا گچھا سوچ رہے ہیں کہ اور اصل میں
یہ کاٹتا ہے ان میں سے کسی بھی ایک کوتو یہ جا رہا ہے
کاٹنے دوسری کو بھی
اس کے بارے میں زرا سوچیں
یہاں کوئی اور راستہ نہیں ہے کہ میں کچھ کھینچوں جو کاٹےایک
متوازن لکیر کولیکن دوسری کو نہیں جبکہ
یہ لکیر جاتی رہے گی ہمیشہ
میرےخیال سے یہ آپ کو ظاہر ہوگا
لیکن اب میں کیا کرنے جا رہا ہوں وہ یہ کہ زاویوں کا مطالعہ کرنے جا رہا ہوں
آڑی لکیروں کا
تو پہلی چیز یہ کہ میں مطالعہ کرنے جا رہا ہوں
نظیری زاویوں کا
تو چلیں کہہ لیں کہ نظیری زاویہ اسی زاویہ کی ایک قسم ہے جو
متوازن لکیروں کا ہوتا ہے
نظیری زاویہ
یہ اسی طرح کا کردار ادا کرتے ہیں جہاںآڑی
لکیریں کاٹتی ہیں ایک ایک کو
جیسا کہ آپ تصور کر سکتے ہیں یہ حیران کن صاف ستھری
تصویر لگ رہی ہے میں اس میں اچھا نہیں ہوں۔کہ یہ
ایک دوسرے کے برابر آجائیں
تو اگر یہ x ہے تو یہ بھی x ہوگا
اگر ہم جانتے ہیں پھر ہم استعمال کرسکتے ہیں اصل میں اصول جو ہم نے
سیکھے ہیں ہر چیز حل کرنے کے لئےسوائے
ان سب لکیروں کے
تو اگر یہ x ہے تو وہاں کیا ہونے جا رہا ہے؟
یہ کونسا قرمزی رنگ کا زاویہ ہے ؟
اچھا یہ مخالف زاوئے ہیں۔ ٹھیک؟
یہ مخالف رخ پہ ہیں کاٹتی ہوئی لکیروںکے
تو یہ بھی x ہے
اور مشابہ ہم یہ چیز یہاں بھی کر سکتے ہیں
یہ مخالف زاویہ ہے اس زاویئے کا تو یہ بھی x ہے
مجھے اچھا رنگ لینے دیں
پیلا کیا ہے؟
یہ زاویہ کیا ہونے جا رہا ہے؟
اچھا۔ جیسا کہ ہم پہلے کر رہے تھے
دیکھیں۔ ہمارے پاس یہ ایک بڑا زاویہ ہے۔ ٹھیک؟
یہ زاویہ۔ یہ زاویہ 180 درجے کا ہے
تو x اور پیلا زاویہ سپلیمنٹری ہےتو ہم کہہ سکتے ہیں
اچھا۔ تو یہ زاویہ y ہے تو یہ زاویہ y کے مخالف ہے
تو یہ زاویہ بھی y ہے
دلکش
اسی طرح اگر ہمارے پاس x ہے یہاں اور x سپلیمنٹری ہے
اس زاویہ کے۔ٹھیک؟
تو یہ برابر ہے 180 منفی x جہاں یہ بھی y کے برابر ہے
اور پھر مخالف زایئے یہ بھی yکے برابرہیں
تو یہاں ہر قسم کے جیومنٹری کے الفاظ اور اصول جو کہ
اس سے باہر ہیں تو میں تبصرہ کرتا ہوں ان پہ
یہ اصل میں بناوٹی نہیں ہیں
میں نے اس خیال سے شروع کیا ہے کہ یہ
مشابہ زایئے ہیں
میںنے اچھا کہا۔یہ x اس x کے برابر ہے
میں نے کہا اوہ اچھا۔ اگر یہ برابرہیںایک دوسرے کےاچھا نہیں
اگر یہ۔ میرا کہنے کا مطلب ہے اگر یہ x ہے اور یہ بھی x ہے کیونکہ
یہ مخالف ہیں اور یہی چیز اس کے لئے
پھر۔اچھا-اگر یہ x اور یہ x برابر ہیں
ایک دوسرے کے جو ان کو ہونا چاہیئےکیونکہ یہ
مشابہ زاویے ہیں
یہ دو قرمزی رنگ کے زاویئےوہی کردار ادا کر رہے ہیں
یہ دونوں بنیادی اُلٹے زاویئے ہیں
یہ جیسا میں نے سوچا اس کے بارے میں
ہم اس کے گرد گئے ہم نے سپلیمنٹری زاویئے استعمال کئے
جو ہم نے اچھے اخذ کئے یہ y زاویئے بھی ایک جیسے ہیں
یہ y زاویہ برابر ہے اس y زاویئے کے کیونکہ
یہ مشابہ ہے
تو مشابے زاویئے برابر ہیں ایک دوسرے کے
یہ شعور پیدا کرتا ہے۔ یہ ایک ہی کردار ادا کر رہے ہیں
یہ بنیادی سیدھا۔اگرآپ اس بنیادی سیدھے زاویئے کو دیکھیں
تو مشابے زاویئے ایک جیسے ہوتے ہیں
یہ میری مختصرنویس مقدار ہے
اور ہم نے سب پہلے سے ہی اخذ کر لیا ہے
بس یہی آپ کو جاننا تھا
اگر آپ کوئی قدم چھوڑنا چاہتے ہیں تو آپ کو پتہ ہونا چاہیےکہ
مخالف اندر والا زاویہ برابر ہے
تو میرا اندر والے مخالف زاویوں سے کیا مطلب ہے؟
تو اندر والے زاویئے وہ زاویئے ہیں جو
ایک دوسرے کے بہت قریب ہوتے ہیں متوازن لکیروں کےلیکن یہ
مخالف طرف ہوتے ہیںآڑی لکیروں کے
یہ بہت ہی مشکل ہے کہنا یہ نارنجی رنگ کا زاویہ اور
قرمزی رنگ کا زاویہ یہاں ہیں
یہ یکے بعد دیگرے اندرونی زاویئےہیں اور ہم پہلے ہی
ثابت کر چکے ہیں کہ اگر یہ x ہے تو یہ بھی x ہے
تو یہ یکے بعد دیگرے اندرونی زاویئےہیں
تو یہ x اور پھر یہ x یکے بعد دیگرے اندرونی زاویئےہیں
اور اصل میں یہ y اور یہ y یکے بعد دیگرے اندرونی زاویئےہیں
اور ہم پہلے ہی ثابت کر چکے ہیں کہ یہ برابر ہیں ایک دوسرے کے
پھریہ آخری قسم جو آپ جیومیٹری میں دیکھوگے وہ متبادل ہوگی
میں پوری چیز نہیں لکھنے جا رہا ہوں متبادل
بیرونی زاویئے
بیرونی زاویئے بھی برابر ہوتے ہیں
جو زاویہ ہیں وہ مزید دوُر ہیں ایک دوسرے سے
متوازن لکیروں پہ لیکن یہ تب بھی متبادل رہیں گے
تو مثال کے طور پہ یہ x ہے یہاں اوپر اور یہ x ہے یہاںنیچے
ٹھیک۔کیونکہ یہ باہر ہیں دو متوازن لکیروں کے
آڑی لکیروں کے
یہ صرف بناؤٹی لفظ ہیں لیکن میرے خیال سے امید ہے کہ
آپ کو ہدایت ہوگئی ہے
یہ مشابہ زاویہ مجھ میں شعور پیدا کرتا ہے
پھر ہر چیز ثابت ہوگئی مخالف زاویوں سے
اور سپلیمنٹری زاویوں سے
لیکن متبادل بیرونی یہ زاویہ ہے اور یہ زاویہ ہے
پھر جو دوسرے متبادل بیرونی ہیں وہ یہ y اور یہ y ہیں
یہ بھی برابر ہیں
تو اگر آپ یہ جانتے ہیں آپ بہت اچھا جانتے ہونگے جو چیزیں آپ کو چاہیئے
متوازن لکیروں کو جاننے کےلئے
آخری چیز جو میںآپ کو پڑھانے جا رہا ہوں
ہندسے کے کھیل میں پوری قوت کے ساتھ وہ یہ کہ زاویئے
ایک مثلث میں جمع ہوتے ہیں180 درجے تک
تو مجھے ایک مثلث بنانے دیں ایک طریقے کا
اتفاقی دکھنے والا مثلث
یہ رہا میرا اتفاقی دکھنے والا مثلث
اگر یہ x ہے یہ y ہے اور یہ z ہے
ہم جانتے ہیںمثلث کے زاویئے x درجے جمع y
درجے جمع z درجے برابر ہوتے ہیں 180 درجوں کے
تو اگر میں کہتا ہوں یہ برابر ہے۔ مجھے نہیں پتہ 30
درجے کےیہ برابر ہے مجھے نہیںپتہ 70 درجے کے
تو zکس کے برابر ہوگا؟
اچھا۔ تو ہم کہہ سکیتے ہیں30 جمع 70 جمع z برابر ہے 180 کے یا
100 جمع z برابر ہے 180 کے
100 منفی کردیں دونوں جگہ سے
z برابر ہوجائےگا 80 درجے کے
اچھا تو آپ تبدیلی دیکھ سکتے ہیں اسکی جہاں آپ کودو زاویئے مل جائیں گے
اور آپ استعمال کرسکتے ہیں یہ اصول تیسری چیز کو حل کرنے کے لئے
ہر چیز کے ساتھ ہم نے سیکھ لیا ہے میرے خیال سے ہم
تیار ہیں زاویوں کا کھیل کھیلنے کے لئے
آپ کو اگلی فلم میں دکھاؤںگا۔