1
00:00:00,942 --> 00:00:02,152
Velkommen tilbake.

2
00:00:02,152 --> 00:00:06,181
Vi er nesten ferdig med å lære
alle reglene for vinkler,

3
00:00:06,181 --> 00:00:09,850
sånn at vi er klare
for å leke vinkel-leken.

4
00:00:10,453 --> 00:00:11,951
Men la oss lære de siste par ting først.

5
00:00:11,951 --> 00:00:15,765
Vi har to parallelle linjer.

6
00:00:15,765 --> 00:00:19,152
La oss se på
hva det egentlig betyr.

7
00:00:19,853 --> 00:00:21,817
Her er en linje.

8
00:00:24,100 --> 00:00:28,951
Det er en av de parallelle linjene våres.

9
00:00:28,951 --> 00:00:32,598
Den andre tegner vi i grønn.

10
00:00:32,598 --> 00:00:36,766
Nå har vi tegnet
noen parallelle linjer.

11
00:00:36,766 --> 00:00:39,852
Vi går ut ifra at det fortsetter
for evig i begge rettninger.

12
00:00:39,852 --> 00:00:41,854
Både den blå
og den grønne linjen

13
00:00:41,854 --> 00:00:44,952
fortsetter for evig.

14
00:00:44,952 --> 00:00:48,050
Parallelle linjer
er to linjer på samme plan.

15
00:00:48,050 --> 00:00:49,152
Hva er et plan?

16
00:00:49,152 --> 00:00:52,052
Et plan er for eksempel
en flat overflate.

17
00:00:52,052 --> 00:00:54,598
Vi skal ikke snakke om

18
00:00:54,598 --> 00:00:59,152
tredimensjonelle ting akkurat nå.

19
00:00:59,152 --> 00:01:00,353
De er på samme plan.

20
00:01:00,353 --> 00:01:02,451
I dette tilfelle 
er planet pc-skjermen,

21
00:01:02,451 --> 00:01:04,765
eller et ark.

22
00:01:04,765 --> 00:01:06,037
Linjene krysser hverandre aldri.

23
00:01:06,037 --> 00:01:07,450
De kan heller ikke være samme linje,

24
00:01:07,450 --> 00:01:11,552
for så ville de 
vært ovenpå hverandre.

25
00:01:11,552 --> 00:01:13,181
Det er to linjer, på ett plan.

26
00:01:13,181 --> 00:01:14,765
Og de krysser hverandre aldri.

27
00:01:14,765 --> 00:01:16,352
Det er det parallell betyr.

28
00:01:16,352 --> 00:01:19,183
Hvis man kan litt
om algebra og heldinger,

29
00:01:19,183 --> 00:01:20,352
kan man si at parallelle linjer

30
00:01:20,352 --> 00:01:22,550
er to linjer med samme helding.

31
00:01:22,550 --> 00:01:25,852
De går opp eller ned like raskt.

32
00:01:25,852 --> 00:01:28,850
Men de har forskjellige y-skjæringspunkter.

33
00:01:28,850 --> 00:01:30,152
Det er ikke så viktig

34
00:01:30,152 --> 00:01:32,052
akkurat nå at vi vet hva det er.

35
00:01:32,052 --> 00:01:33,652
Akkurat nå skal vi se på parallelle linjer.

36
00:01:33,652 --> 00:01:35,050
Det er også noe
som heter parallellparkering.

37
00:01:35,050 --> 00:01:36,598
Her skal man parkere rett vedsiden av

38
00:01:36,598 --> 00:01:39,182
en annen bil,
uten at de krasjer inn i hverandre.

39
00:01:39,182 --> 00:01:42,764
Det er vanskelig.

40
00:01:42,764 --> 00:01:45,098
Dette er parallelle linjer.

41
00:01:45,098 --> 00:01:48,398
Den blå og den grønne linjen er parallelle.

42
00:01:48,851 --> 00:01:52,265
Nå skal vi se litt på
en geometrisk ting

43
00:01:52,265 --> 00:01:54,682
som kalles en transversal.

44
00:01:54,682 --> 00:01:57,931
En transversal er en linje,

45
00:01:57,931 --> 00:02:01,951
som krysser disse to linjene.

46
00:02:02,451 --> 00:02:04,447
Det er en transversal.

47
00:02:04,447 --> 00:02:07,452
Det høres vanskelig ut,
men det er veldig enkelt.

48
00:02:07,452 --> 00:02:10,482
La oss skrive det ned.

49
00:02:18,852 --> 00:02:22,850
Denne krysser de andre to linjene.

50
00:02:28,353 --> 00:02:34,181
La oss fortsatte med geometrien.

51
00:02:34,181 --> 00:02:35,737
Vi har en transversal,

52
00:02:35,737 --> 00:02:38,851
som krysser to parallelle linjer.

53
00:02:38,851 --> 00:02:41,950
Hvis transversalen krysser den ene,

54
00:02:41,950 --> 00:02:42,681
kommer den også til å krysse

55
00:02:42,681 --> 00:02:44,266
den andre på et tidspunkt.

56
00:02:44,266 --> 00:02:45,853
Det kan man tenke litt over.

57
00:02:45,853 --> 00:02:47,453
Vi kan på ingen måte tegne en linje,

58
00:02:47,453 --> 00:02:51,251
så lenge den er uendelig lang.

59
00:02:51,251 --> 00:02:53,852
Det kan man se ganske tydlig.

60
00:02:53,852 --> 00:02:56,765
Nå skal vi se nærmere på vinklene

61
00:02:56,765 --> 00:02:59,982
i transversalen.

62
00:03:00,351 --> 00:03:06,516
Først skal vi se på
de tilsvarende vinklene.

63
00:03:06,516 --> 00:03:09,451
Tilsvarende vinkler er en form for vinkler,

64
00:03:09,451 --> 00:03:13,065
som ligger det samme stedet
ved de parallelle linjene.

65
00:03:17,264 --> 00:03:20,099
Tilsvarende vinkler.

66
00:03:20,099 --> 00:03:22,431
De ligger de samme steder,

67
00:03:22,431 --> 00:03:25,765
hvor transversalen krysser linjene.

68
00:03:25,765 --> 00:03:31,161
Tegningen er litt dårlig, men sånn er det.

69
00:03:31,161 --> 00:03:33,537
Disse vinklene
er faktisk like.

70
00:03:33,537 --> 00:03:38,294
Hvis denne er x, 
er denne også x.

71
00:03:39,661 --> 00:03:43,153
Hvis vi bruker de reglene som vi kjenner,

72
00:03:43,153 --> 00:03:45,289
kan vi finne alle vinklene

73
00:03:45,289 --> 00:03:47,122
rundt disse linjene.

74
00:03:47,122 --> 00:03:51,050
Hvis dette er x,
hva er så dette?

75
00:03:51,050 --> 00:03:54,752
Hva er den lilla vinkelen.

76
00:03:58,690 --> 00:04:01,001
De er toppvinkler, ikke sant?

77
00:04:01,001 --> 00:04:03,001
De står på hver sin side
av kryssende linjer.

78
00:04:03,001 --> 00:04:05,652
Så dette er også x.

79
00:04:07,050 --> 00:04:09,151
Vi kan bruke den samme metoden her.

80
00:04:09,151 --> 00:04:12,551
Disse vinklene er toppvinkler,
så dette er også x.

81
00:04:16,751 --> 00:04:21,052
La oss finne en flott farge først.

82
00:04:22,240 --> 00:04:24,141
Hva er den gule vinkelen?

83
00:04:24,141 --> 00:04:26,351
Hva blir denne vinkelen?

84
00:04:26,351 --> 00:04:28,352
Det er akkurat som før.

85
00:04:28,352 --> 00:04:30,584
Her er en veldig stor vinkel.

86
00:04:30,584 --> 00:04:33,951
Hele denne vinkelen er 180 grader.

87
00:04:33,951 --> 00:04:38,036
x og den gule vinkelen er supplementære.

88
00:04:38,852 --> 00:04:47,147
Vi kaller de gule vinkelen for y,
og den er lik 180 minus x.

89
00:04:47,147 --> 00:04:54,084
Hvis denne vinkelen er y,
er toppvinkelen også y.

90
00:04:54,084 --> 00:04:57,085
Denne vinkelen er altså også y.

91
00:04:57,085 --> 00:04:58,852
Fasinerende.

92
00:04:58,852 --> 00:05:05,151
Her er x,
x er supplementær til denne vinkelen.

93
00:05:06,085 --> 00:05:10,469
Denne er altså lik 180 minus x,
og denne er også lik y.

94
00:05:11,167 --> 00:05:15,448
På grunn av toppvinkler 
er denne vinkelen også y.

95
00:05:15,448 --> 00:05:19,251
Nå har vi brukt mange
geometriord og regler,

96
00:05:19,251 --> 00:05:21,585
så la oss gjennomgå dem
raskt en gang til.

97
00:05:21,585 --> 00:05:23,251
De er ikke så vanskelige.

98
00:05:23,251 --> 00:05:25,451
Først så vi på
tilsvarende vinkler.

99
00:05:25,451 --> 00:05:28,550
Denne x-en er lik 
som denne x-en.

100
00:05:28,550 --> 00:05:32,346
Disse er like hverandre.

101
00:05:32,346 --> 00:05:36,251
Hvis denne er x,
er denne også x. Fordi de er toppvinkler.

102
00:05:36,251 --> 00:05:37,584
Det samme gjelder for disse.

103
00:05:37,584 --> 00:05:39,669
Hvis dette er x,
og dette er x,

104
00:05:39,669 --> 00:05:41,639
er de like hverandre.

105
00:05:41,639 --> 00:05:44,351
De er nemlig også
tilsvarende vinkler.

106
00:05:44,351 --> 00:05:48,250
De to lilla vinklene 
ligger på det samme stedet.

107
00:05:48,250 --> 00:05:50,653
De er begge nederst til venstre.

108
00:05:50,653 --> 00:05:52,668
Sånn kan man tenke på det.

109
00:05:52,668 --> 00:05:54,541
Vi bruker viten våres
om supplementære vinkler

110
00:05:54,541 --> 00:05:57,169
for å si at disse 
y-vinklene også er like.

111
00:05:57,169 --> 00:05:59,236
Begge disse er y,

112
00:05:59,236 --> 00:06:00,852
fordi de er tilsvarende.

113
00:06:00,852 --> 00:06:08,750
Det gir mening,
for de utfyller nærmest samme plass.

114
00:06:08,750 --> 00:06:11,051
De er begge nederst til høyre.

115
00:06:11,051 --> 00:06:14,892
Tilsvarende vinkler er like store.

116
00:06:25,552 --> 00:06:27,452
Vi har allerede funnet ut av alt.

117
00:06:27,452 --> 00:06:29,336
Vi behøver ikke vite mer nå.

118
00:06:29,336 --> 00:06:31,458
Men vi kan også si

119
00:06:31,458 --> 00:06:46,958
at innvendige vekselvinkler er like store.

120
00:06:46,958 --> 00:06:50,137
Hva betyr innvendige vekselsvinkler?

121
00:06:51,052 --> 00:06:52,937
At de er innvendige betyr

122
00:06:52,937 --> 00:06:56,958
at de ligger tett på hverandre
i de to parallelle linjer,

123
00:06:56,958 --> 00:06:59,552
men de er på motsatt 
side av transversalen.

124
00:06:59,552 --> 00:07:00,875
Det er en komplisert måte


125
00:07:00,875 --> 00:07:03,292
å si at den orange og lilla vinkelen på.

126
00:07:03,292 --> 00:07:05,550
De er innvendige vekselvinkler.

127
00:07:05,550 --> 00:07:09,051
Og vi har allerede bevist
at de begge er x.

128
00:07:09,051 --> 00:07:11,792
Innvendige vekselvinkler.

129
00:07:11,792 --> 00:07:17,676
Disse to x-ene 
er innvendige vekselvinkler.

130
00:07:18,209 --> 00:07:22,458
Faktisk er disse to
y-vinklene også innvendige vekselvinkler.

131
00:07:22,458 --> 00:07:24,459
Vi har allerede bevist at de er like.

132
00:07:24,459 --> 00:07:28,209
Det siste vi skal se på

133
00:07:28,209 --> 00:07:34,850
er utvendige vekselvinkler.

134
00:07:35,945 --> 00:07:38,374
Utvendige vekselvinkler 
er også like store.

135
00:07:38,374 --> 00:07:42,875
De ligger nesten lenger vekk 
fra hverandre på de parallelle linjer,

136
00:07:42,875 --> 00:07:45,457
men de er fortsatt vekselvinkler.

137
00:07:45,457 --> 00:07:49,437
Hvis dette er x,
er dette også x.

138
00:07:49,437 --> 00:07:54,292
For de er på yttersiden 
av de parallelle linjer.

139
00:07:54,292 --> 00:07:57,292
I toppen og i bunnen.

140
00:07:59,892 --> 00:08:01,302
Det er noen lange ord,

141
00:08:01,302 --> 00:08:03,852
men forhåpentligvis er det forståelig.

142
00:08:03,852 --> 00:08:07,437
Tilsvarende vinkler er nok det
som høres mest fornuftig ut.

143
00:08:07,437 --> 00:08:09,491
Alt det andre kan vi 
finne ut fra toppvinkler,

144
00:08:09,491 --> 00:08:11,137
og supplementære vinkler.

145
00:08:11,137 --> 00:08:15,851
Utvendige vekselvinkler
er disse vinklene.

146
00:08:18,141 --> 00:08:22,636
De andre utvendige 
er disse y-vinklene.

147
00:08:23,050 --> 00:08:24,657
De er også like store.

148
00:08:24,657 --> 00:08:25,907
Hvis vi vet det,

149
00:08:25,907 --> 00:08:28,552
vet vi nesten alt 
om parallelle linjer.

150
00:08:29,251 --> 00:08:31,552
Vi skal bare lære en siste ting,

151
00:08:31,552 --> 00:08:33,951
innen vi er klare for vinkel-leken.

152
00:08:33,951 --> 00:08:39,051
Og det er at alle vinkler
i en trekant tilsammen gir 180 grader.

153
00:08:42,453 --> 00:08:43,574
La oss tegne

154
00:08:43,574 --> 00:08:45,291
en helt tilfeldig trekant.

155
00:08:48,452 --> 00:08:50,851
Her er den.

156
00:08:51,851 --> 00:08:56,836
Dette er x, y og z.

157
00:08:57,906 --> 00:09:00,491
Vi vet at vinklene i en trekant,

158
00:09:00,491 --> 00:09:06,873
altså x pluss y pluss z,
er lik 180 grader.

159
00:09:07,250 --> 00:09:15,407
Hvis denne for eksempel
er lik 30, og denne er 70,

160
00:09:15,407 --> 00:09:17,656
hva er z lik da?

161
00:09:17,656 --> 00:09:24,957
30 pluss 70 pluss z er lik 180 grader,

162
00:09:25,251 --> 00:09:28,072
så 100 pluss z er lik 180.

163
00:09:28,072 --> 00:09:29,491
Vi trekker fra 100 på begge sider,

164
00:09:29,491 --> 00:09:33,450
z er lik 80 grader.

165
00:09:33,450 --> 00:09:35,138
Det kommer vi til å se en del av.

166
00:09:35,138 --> 00:09:37,535
Hvis man kjenner to vinkler,
kan man finne den siste.

167
00:09:37,535 --> 00:09:40,802
Nå som vi har lært mange ting,

168
00:09:40,802 --> 00:09:45,467
er vi klar for å leke vinkel-leken.

169
00:09:45,467 --> 00:09:48,000
Vi ses i den neste videoen.