கான் காணொளியைத் தொடர்ந்து பார்த்துக் கொண்டிருக்கும் உங்களுக்கு பெருக்கல் முறையின்
அடிப்படை நன்றாகவே தெரிந்திருக்கும்.
இங்கு மேலும் சிலவற்றைப் பார்க்கலாம்.
கணக்குப் பயிற்சி மேற்கொள்ளும் போது
வாய்ப்பாடுகள் மனப்பாடமாக இருந்தால் கணக்கிட எளிதாக இருக்கும்.
கணக்குப் பயிற்சியை மேற் கொள்கிற நாம் தனியாக மனனம் செய்ய வேண்டியதில்லை.
இயல்பாகவே நம் நினைவில் பதிந்து விடும்.
பெருக்கலில் நாம் கவனிக்க வேண்டியது என்னவென்றால்
வாய்ப்பாடுகள் கணக்கிடுதலை எளிதாக்கும்
சரி, பெருக்கல் வாய்ப்பாடு என்றால் என்ன?
பலவேறு எண்களை ஒன்றுடன் ஒன்று பெருக்கும் தொகையின் பட்டியலே வாய்ப்பாடு.
இதனை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுறுத்திப் பார்க்கலாம்.
ஒன்று பெருக்கல் இரண்டிற்கு என்ன விடை?
அது ஒன்றை இரண்டு முறை கூட்டுவதற்குச் சமம்.
ஆகவே ஒன்று பெருக்கல் இரண்டின் விடை இரண்டு.
இங்கே இரண்டை ஒருமுறை மட்டுமே பெருக்குவதால்
அது கூட்டலுக்குச் சமம் ஆகிறது.
ஆகையால் தான் இரண்டு பெருக்கல் ஒன்றினையும்,
ஒன்று கூட்டல் ஒன்றையும் சமமாகக் கருதுகிறோம்.
எனவே இரண்டு முறை ஒன்று என்பது இரண்டு.
பூஜ்ஜியத்திற்கு வாய்ப்பாடு அவசியமில்லை.
ஏனென்றால் பூஜ்யத்தை எத்தனை முறைப் பெருக்கினாலும் பூஜ்யம்தான்.
அதேபோல் ஒன்றுடன் எதனைப் பெருக்குகிறோமோ அதுதான் விடையாகக் கிடைக்கும்.
பிற வாய்ப்பாட்டைப் பார்க்கலாம்.
இரண்டு பெருக்கல் இரண்டு? 2 x 2
இப்போது நாம் இரண்டை இரு முறைக் கூட்டுகிறோம்.
இது இரண்டு கூட்டல் இரண்டு....
இதை செய்வதற்கு ஒரே ஒரு வழிமுறைதான் உள்ளது.
நான் இந்த இரண்டை எடுத்து, இருமுறை கூட்டுவது
இது, இரண்டை இரண்டால் பெருக்கியதற்குச் சமம் ஆகும்.
இரண்டு கூட்டல் இரண்டு என்றால் என்ன?
நான்கு.
இரண்டின் மூன்று மடங்கு?
மூன்று முறை இரண்டு என்பது 2 + 2 + 2..
இதை நாம் மூன்று கூட்டல் மூன்று என்றாலும் அதுதான்.
மதிப்பு ஒன்று தான் எழுதும் முறைதான் வேறு வேறு.
மூன்று முறை இரண்டைக் கூட்டினாலும்
மூன்றையும் மூன்றையும் கூட்டினாலும்
கிடைக்கிற ஒரே விடையானது ஆறு தான்.
சரி.
இரண்டின் நான்கு மடங்கு எவ்வளவு.....?
இரண்டு முறை நான்கு என்பது
2 + 2 + 2 + 2 என்பதற்குச் சமம்.
இதுவும் 2 பெருக்கல் 3 என்பது போலத்தான்.
இரண்டை மூன்று முறை போட்டதுடன்
கூடுதலாக ஒரு இரண்டைச் சேர்க்கிறோம்.
இப்படி ஒவ்வொரு இரண்டாக சேர்த்துக் கொண்டே போக வேண்டியதில்லை.
இரண்டை மூன்று முறை பெருக்கும் போது நமக்கு ஆறு கிடைத்து விட்டது.
எனவே இப்போது ஆறுடன் இரண்டை சேர்த்துக் கொண்டால் போதும். விடை எட்டு கிடைத்து விடும்.
இந்த வடிவம் நமக்குப் புரிந்து விட்டது.
2 முறை ஒன்று, 2 முறை 2,
பிறகு 2 முறை மூன்று என்பது என்ன ஆகிறது?
தொடர்ந்து எவ்வளவு தூரம் மேலே செல்ல வேண்டும்?
2-ல் இருந்து 4-க்கு செல்ல, நாம் இரண்டை கூட்டுகிறோம்.
4-ல் இருந்து 6-க்கு செல்ல, மேலும் 2-ஐ கூட்டுகிறோம்.
பிறகு, 6-ல் இருந்து 8-க்கு செல்ல, மேலும் 2-ஐ கூட்டுகிறோம்.
கூட்டல் செய்யாமல், 2 பெருக்கல் 5
என்றால் என்ன என்பதை நம்மால் எளிதில் அடைய முடியும்.
2 முறை 5 என்பது, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 இல்லையா...?
இப்போது ஐந்தை, இரண்டு முறை கூட்டினாலும் அதே மதிப்பு தானே....
2 பெருக்கல் 4 என்பதையும் 4 + 4 என்றே எழுதலாம்.
இது எதற்கு சமமாகும்?
முன்னர் சொன்னபடி அடுத்தடுத்து கூட்டிக் கொண்டே போகலாம்.
அல்லது பெருக்க வேண்டிய தொகையை இரண்டு முறை கூட்டலாம். அல்லது மற்றுமொரு இரண்டைக் கூட்டுவதும் சரிதான்.
எனவே இரண்டை ஐந்து முறை பெருக்கினால் கிடைப்பது பத்து.
நாம் இரண்டாம் வாய்பாட்டை முழுதாகப் பார்ப்போம்.
வாய்ப்பாடு முறை உருவாகும் விதத்தை நம்மால் புரிந்து கொள்ள முடியும்.
அடுத்து, இரண்டு பெருக்கல் ஆறு.
இதுவும் இரண்டை ஆறு முறை கூட்டுவது போலத்தான்.
இதோ பாருங்கள் 1, 2, 3, 4, 5, 6
அது ஆறினை இரண்டு முறை கூட்டுவதற்குச் சமமாகும்.
இதை இரண்டு வழிகளிலும் செய்யலாம்.
இது 12 ஆகும்.
மீண்டும், இது 2 x 5 என்பதுடன் கூடுதலான இரண்டு.
மேலும் ஒரு இரண்டைச் சேர்த்துக் கொள்வோம்.
தொடர்ந்து சென்றால் 2 பெருக்கல் 7,
ஆக 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,
என்று எழுதலாம்.
இதில் 7 முறை இரண்டு உள்ளதா?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
இதுவும் 7 + 7 என்பதும் ஒன்று தான்.
இதன் விடை 14 ஆகும்.
இது 12-ஐ விட இரண்டு அதிகம் என்று நீங்கள் கூறலாம்.
ஆக, 12 + 2 என்பது
12 + 2 = 14 ஆகும்.
தொடர்ந்து
இரண்டு முறை எட்டு.
ஒவ்வொரு முறையும் இரண்டைக் கூட்டிக் கொண்டே போகவேண்டியது தான்.
அல்லது 2 பெருக்கல் 7-ஐ விட 2 அதிகம் என்பதால்
14 கூட்டல் 2
16 ஆகும்
அல்லது இதனை 8 + 8 என்று கூறினாலும்
பதினாறே ஆகும்.
இரண்டுகளின் மடங்கை இவ்வாறு தொடர்ந்து செய்யலாம்.
கற்றுக்கொள்வற்கு எளிய வழி, பயிற்சி மேற்கொள்வது தான்.
2 முறை, 9 முறை, 10 முறை, 100 முறை, 1000 முறை என்றும் கூட செய்து கொண்டே போகலாம்.
நாம் இங்கே 12-உடன் நிறுத்துக் கொள்ளலாம்.
அதற்கு மேல் மனப்பாடம் செய்யக் கடினமாக இருக்கும்.
நீங்கள் கணக்கில் புலியாக வேண்டும் என்று விரும்பினால்
20 வரைகூட மனப்பாடம் செய்யலாம்.
நாம் 2 பெருக்கல் 9-க்கு செல்லலாம்.
இது 2 பெருக்கல் 8-ஐ விட இரண்டு அதிகம்.
இது 18 ஆகும்.
அல்லது 9 + 9 எனலாம்.
அதுவும் 18 தான்.
2 பெருக்கல் 10 என்றால் என்ன?
பத்தாம் வாய்பாடு மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.
நான் இதை எழுதி முடித்த உடனே
இதில் ஒரு பட்டியலை பார்க்கலாம்.
2 பெருக்கல் 10 என்றால் என்ன?
2 பெருக்கல் 9-ஐ விட ஒரு இரண்டு அதிகம்.
அப்படியானால் 20 ஆகி விடும்.
அல்லது 10 + 10 எனலாம்.
பத்து இரண்டு முறை கூட்டப்படுகிறது.
முன்னர் குறிப்பிட்ட சுவாரஸ்யம் என்ன?
நாம் பெருக்க உள்ள, இரண்டுடன் பூஜ்யம் இணைகிறது. அதுதான்.
எந்த எண்ணுடன் பத்தை பெருக்குகினாலும்
அந்த எண்ணுக்கு வலப் பக்கத்தில் 0 சேர்க்க வேண்டியது தான்.
இது எப்படி அவ்வாறு ஆகிறது.
இரு பத்துகள் என்பதால் இருபது ஆகிறது.
இதே முடிவை நெருங்கி விட்டோம்.
2 பெருக்கல் 11-ஐ செய்யலாம்.
2 பெருக்கல் 11 என்கிற போது பழைய தொகையுடன் இரண்டைச் சேர்க்க வேண்டும்.
இது 22 ஆகும்.
இன்னும் ஒரு சுவாரஸ்யம்.
ஒரே எண் இரண்டு முறை வந்துள்ளது... 2 மற்றொரு 2.
இது சுவாரஸ்யமாக இருக்கிறது இல்லையா..?
மற்ற வாய்ப்பாட்டுக்கு செல்லும் முன்
இதனைச் சற்று கவனிக்க வேண்டும்.
இரண்டு பெருக்கல் 12
இது 2 பெருக்கல் 11 என்பதை விட இரண்டு அதிகம்.
அப்பொழுது 24 ஆகிறது.
நாம் இதனை 12 + 12 என்று எழுதலாம்.
அல்லது 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
மொத்தம் 12 முறை இரண்டைக் கூட்டினால்
அது 24 ஆகும்.
இது தான் இரண்டாம் வாய்ப்பாடு.
வாய்ப்பாட்டின் அமைப்பு புரிந்து விட்டதா..?
ஒவ்வொரு முறையும் எண் பெரிதாகும் போது
ஒரு 2-ஐ சேர்த்துக் கொண்டே செல்லவேண்டும்.
இதுதான், இந்த அமைப்பின் முறை.
வாய்பாட்டை முடிக்க முடிகிறதா என்று பார்க்கலாம்.
நாம் அனைத்து எண்களையும் எழுதிக் கொள்ளலாம்.
ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, நான்கு, ஐந்து, ஆறு, ஏழு, எட்டு, ஒன்பது
தொடர்ந்து சென்று கொண்டே இருக்கலாம்.
ஆனால், ஒன்பதுக்கு அப்புறம் இடம் இல்லை.
இந்த ஒன்பதுடன் நின்று விடாமல்
இந்த காணொளி முடிந்த பிறகு நீங்களே முயற்சிக்க வேண்டும்.
இவை முதலில் பெருக்க வேண்டிய எண்கள்.
நான் இதனை 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
8, 9 முறை பெருக்குவோம்.
முதலில் நான் என்ன
செய்யப் போகிறேனென்றால்,
நான் இதை ஒன்றன் பின் ஒன்றாக எழுதியிருக்க வேண்டும்
இப்பொழுது 1 பெருக்கல் 1 என்றால் என்ன?
இப்படித்தான் நான் இதைப் பார்க்கப் போகிறேன்.
ஒன்று பெருக்கல் ஒன்று என்பது,
அது ஒன்று தான்.
ஒரு முறை இரண்டு என்றால் என்ன?
அது இரண்டு
ஒரு முறை மூன்று என்றால் என்ன?
அது மூன்று
ஒரு எண்ணை ஒன்றால் பெருக்கினால் அதே எண் தானே விடையாகக் கிடைக்கும்.
எனவே நாம் 4, 5 ,6, 7, 8, 9 என்றை எழுதிவிடலாம்.
ஒரு முறை ஒன்பது என்றால் ஒன்பது தான்.
சரி.
இப்பொழுது, 2 ஆம் வாய்ப்பாட்டைப் பார்ப்போம்.
அதற்கு நீல வண்ணம் கொடுக்கலாம்.
ஒன்றை அதே நிறத்திலும்
மற்றதைக் கருநீலத்திலும் செய்யலாம்.
ஒன்றின் இரு மடங்கு என்ன?
இரண்டு.
ஒரு முறை இரண்டுக்கும் இதே விடைதான்.
இரண்டு எண்களும் ஒன்றுதான் என்பதை கவனித்துக் கொள்ளுங்கள்.
இரண்டு முறை இரண்டு என்றால்?
நான்கு.
இரண்டு முறை மூன்று என்றால் ஆறு.
இதுதான் முறை
ஒவ்வொரு முறையும் எண் அளவு கூடும் போது
இரண்டு கூடிக் கொண்டே போகும்.
2 முறை நான்கு என்பது 8.
இது நான்கு முறை 2-க்குச் சமம்.
இரண்டு முறை ஐந்து என்பது பத்து.
இரண்டு முறை ஆறு என்பது 12.
நாம் ஒவ்வொரு முறையும் 2-ஐ சேர்க்கிறோம்.
இரண்டு முறை ஏழு என்பது 14.
இரண்டு முறை எட்டு 16.
இரண்டு முறை ஒன்பது18.
இதேபோல மூன்றாம் வாய்ப்பாட்டைப் பார்ப்போம்.
இதை மஞ்சள் நிறத்தில் எழுதினால்
தெளிவாகப் புரியும்.
மூன்று முறை ஒன்று என்பது மூன்று
ஒரு முறை மூன்று என்றால் மூன்று.
இரண்டிற்குமே மதிப்பு ஒன்றுதான்.
மூன்று முறை 2 என்பதும் 2 முறை மூன்று என்பதும் ஒன்று தான்.
இதன் மதிப்பு ஆறு.
இப்பொழுது புரிகிறது தானே.
3 கூட்டல் 3 ஆறு என்பது போல 2 + 2 + 2 என்பதும் ஆறு தான்.
மூன்றாம் வாய்ப்பாட்டில் ஒவ்வொரு முறையும் மூன்றை அதிகரித்துக் கொண்டே போகிறோம்.
இது தான் முறை.
மூன்று முறை மூன்று 9
மூன்று கூட்டல் மூன்று கூட்டல் மூன்று.
எனவே, நாம் 3-ல் இருந்து 6.. 6-ல் இருந்து 9 என்று முன்னேறிச் செல்கிறோம்.
மூன்று முறை நான்கு என்பது 12 ஆகிறது.
இதில் ஒவ்வொரு முறையும் மூன்றை சேர்க்கிறேன்.
பன்னிரண்டு கூட்டல் மூன்று என்பது 15
பதினைந்து கூட்டல் மூன்று என்பது 18
பதினெட்டு கூட்டல் மூன்று என்பது 21
இருபத்தொன்று கூட்டல் மூன்று என்பது 24.
இருபத்து நான்கு கூட்டல் மூன்று என்பது 27
மூன்று முறை ஒன்பது என்பது 27
மூன்று முறை எட்டு என்பது 24.
8 + 8 + 8 என்பது 24 ஆகும்.
இந்த வடிவம் நமக்கு புரிந்து விட்டதால்
சற்று வேகமாக செய்ய முடிகிறதா என்று பார்க்கலாம்.
நீங்களே எளிதாகச் செய்யக் கூடியது தான்.
நாம் பன்னிரண்டாம் வாய்ப்பாடு வரை தெரிந்து வைத்திருப்பது தான் நல்லது.
நான்கு முறை ஒன்று என்பது நான்கு.
நான்கு கூட்டல் நான்கு என்பது எட்டு.
எட்டு கூட்டல் நான்கு, பன்னிரண்டு.
பன்னிரண்டு கூட்டல் நான்கு, பதினாறு.
பதினாறு கூட்டல் நான்கு, இருபது.
இருபது கூட்டல் நான்கு, இருபத்துநான்கு.
நான்கு முறை ஆறு, இருபத்து நான்கு.
நான்கு முறை ஏழு, இருபத்து எட்டு.
நான்கு நான்காக தொடர்ந்து செல்கிறோம்.
முப்பத்திரண்டு அடுத்து முப்பத்தியாறு. பன்னிரண்டு மூன்று முப்பத்தியாறு.
அடுத்து ஐந்து முறை ஒன்று,
ஐந்து முறை ஒன்று ஐந்து தான்.
நாம்இதே வரிசையில் தொடர்ந்து செய்யலாம்.
ஐந்து முறை ஒன்று, ஐந்து.
ஐந்து முறை இரண்டு பத்து.
ஐந்து முறை மூன்று பதினைந்து.
இதில் ஐந்தைந்தாக அதிகரிக்கிறோம்.
ஐந்தாம் வாய்ப்பாடு வேடிக்கையாக உள்ளது.
ஒவ்வொரு எண்ணையும் ஐந்தால் பெருக்கும்பொழுது
முழுமை எண், இடை எண் என்று மாறி மாஇப் பார்க்கிறோம்.
இதில் ஒன்று மாற்றி ஒன்று ஐந்தில் முடியும்.
மற்றது பூஜ்யத்தில் முடியும்.
பதினைந்துடன் ஐந்து சேர்த்தால் இருபது.
இருபத்தைந்து, முப்பது, முப்பத்தைந்து, நாற்பது, நாற்பத்தைந்து.
ஐந்தில் இது போதும். அடுத்து ஆறாம் வாய்ப்பாடு.
ஆறாம் வாய்ப்பாட்டுக்கு பச்சை நிறம் கொடுக்கலாம்.
ஆறு முறை ஒன்று என்பது ஆறு.
இது சுலபம்.
இன்னொரு ஆறை சேர்த்தால் பன்னிரண்டு.
மீண்டும் ஆறை சேர்த்தால் பதினெட்டு.
அதனுடன் ஆறை சேர்த்தால் இருபத்தினான்கு.
அதனுடன் ஆறைச் சேர்த்தால் முப்பது.
மேலும் ஆறை சேர்த்தால் முப்பத்தாறு, பின்
நாற்பத்திரண்டு, பின் நாற்பத்தியெட்டு, பின் ஐம்பத்தினான்கு.
6 x 9 = 54.
நாம் முடிக்கப் போகிறோம்.
அடுத்து ஏழு முறை ஒன்று... அது 7.
7 x 1 = 7
ஏழு முறை இரண்டு என்றால் 14
ஏழு முறை மூன்று 21
ஏழு முறை நான்கு 28
ஏழு முறை ஐந்து 28 + 7 எவ்வளவு?
28 உடன் 2-ஐ கூட்டினால் 30 கிடைக்கும்.
அதனுடன் 5-ஐ கூட்டினால் 35 கிடைக்கும்.
ஏழு முறை ஆறு என்பது 42.
ஏழு முறை ஏழு என்பது 49.
ஏழு முறை எட்டு-
49 + 7 = 56 ஆகும்.
7 x 8 மற்றும் 6 x 9 என்பது எப்பொழுதும் குழப்பமாக இருக்கும்.
6 x 9 = 54
56 அடுத்து 54 இரண்டும் குழப்பத்தை ஏற்படுத்தி விடக் கூடும்.
நீங்கள் குழம்பாமல் பார்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
7 முறை 8 ல் இறுதியாக இருப்பது 6.
6 முறை 9 ல் 6 இல்லை.
ஏழு முறை ஒன்பது என்கிற போது
இன்னொரு 7ஐ சேர்க்கப் போகிறோம்.
அது 63 ஆகிறது.
அதே நிறம் தான்.
இப்பொழுது எட்டாம் வாய்ப்பாடு.
எட்டு முறை ஒன்று 8
எட்டு முறை இரண்டு பதினாறு.
எட்டு முறை மூன்று என்பது 24
மூன்று முறை எட்டு என்றாலும் 24 தான்.
அது உங்களுக்குத் தெரியும்.
இரண்டின் மதிப்புகளும் ஒன்றுதான்.
உண்மையில் இதை இரண்டு வழிகளில் செய்கிறோம்.
எட்டு முறை மூன்று என்பதும்
அதேபோல மூன்று முறை எட்டு என்பதும் ஒன்று தான்.
8 x 4 உடன் 8-ஐ கூட்டினால் 32 கிடைக்கும்.
32+8 = 40.
எட்டு முறை ஆறு, நாற்பத்தியெட்டு.
ஆறு முறை எட்டு என்பது நாற்பத்தியெட்டு.
எட்டு முறை ஏழு ஐம்பத்தியாறு
எட்டு முறை எட்டு அறுபத்தினான்கு
8 x 9 -க்கு இன்னொரு எட்டைக் கூட்டினால் 72.
இப்பொழுது 9ஆம் வாய்ப்பாட்டிற்குச் செல்கிறோம்.
இங்கு மீண்டும் ஊதா நிறம் பயன்படுகிறது.
ஒன்பது முறை ஒன்று என்பது ஒன்பது.
9 x 2 , 9 x 3
இவையெல்லாம் நமக்குத் தெரியும்.
9 x 3 என்பது 3 x 9 தான்.
இரண்டுமே இருபத்தியேழு.
9-ஐ கூட்டினால்
இருபத்தியேழு கூட்டல் ஒன்பது 36
முப்பத்தியாறு கூட்டல் ஒன்பது 45
ஒவ்வொரு முறையும் 9-ஐ கூட்டும்பொழுது
10 ஐக் கூட்டுவ து போலிருக்கிறது. ஆனால் அதில் ஒன்று குறைவு.
36 + 10 = 46. அதில் ஒன்று குறைந்தால் நாற்பத்தைந்து.
ஒன்றை சேர்த்து விடக் கூடாது.
நான் இதைப் பிறகு பார்க்கலாம்.
இந்த இலக்கத்தில் ஒன்பதில் இருந்து
9, 8, 7, 6, 5 என்று இரண்டாம் இலக்கத்திற்குப் போகிறோம்.
அது 1, 2, 3, 4, 5 என்று செல்கிறது.
இது சுவாரஸ்யமான அமைப்பாக உள்ளது.
இந்த இலக்கங்கள் ஒன்பதை அதிகரித்துக் கொண்டே செல்கின்றன.
3+6=9, 2+7=9
இந்த விசித்திரமான கணக்கைப் பின்னர் பார்கலாம்.
9 முறை 6 என்பது 54
இதுவும் அது தான்.
9 முறை 7 என்பது 63
9 முறை 8 என்றால்72
9 முறை 9 என்றால் 81
81
அவ்வளவு தான்.
நாம் இவ்வாறு
தொடர்ந்து செல்லலாம்.
இந்த காணொளி மிகவும் நீளமாக இருக்கிறது இல்லையா...?
வாய்ப்பாடுகளை, இப்பொழுதே மனப்பாடம் செய்துகொள்ளுங்கள்.
ஏனெனில் இது உங்களுக்கு மிகவும் பயன்படும்.
மற்றொரு காணொளியில் பிற வாய்ப்பாடுகளைப் பார்க்கலாம்.
வாய்பாடுகளை பார்க்கலாம்.