Меня просили разобрать
теорему Лагра́нжа о среднем значении, её ещё называют формулой конечных приращений.
Давайте поговорим об этом в этом видео.
Итак, теорема Лагранжа.
Вообще-то мое отношение к ней не однозначно.
С одной стороны она проста, но то, что вы увидите может быть
не очень-то легко доказать, хотя смысл
довольно очевиден.
Причина моего неоднозначного отношения в том, что,
как мы увидим, смысл довольно
очевиден, но ее засунули в учебник математики, когда человек
только пытается постигнуть дифференциальное исчисление и разобраться в его основах,
и тут вдруг появляется эта теорема
со всеми ее нюансами, со всеми
словами, которые просто сбивают с толку.
Надеюсь, мы с этим разберемся в этом видео,
и мне интересно узнать ваше мнение.
Приступим.
Какой же смысл у этой формулы (теоремы)?
Нарисуем оси координат.
Сначала я объясню все графически.
Пожалуй, тут понадобится красный цвет.
Ось Х.
Ось Y.
Предположим, что у меня есть некоторая функция f от x.
Давайте нарисуем f от х.
Примерно так.
Вот некоторая функци f от x, и она должна
отвечать некоторым условиям.
f от x должна быть непрерывной и дифференцируемой.
И я знаю, что некоторые могут испугаться
при этих словах.
Какой-то математический жаргон,
доволено бессмысленно.
"Непрерывная" означает, что кривая не имеет разрывов.
По ней можно пройти от начала до конца.
И здесь условия применимы к отрезку.
И это тоже очень математический термин.
И чаще вы бы сказали, на замкнутом отрезке от a до b.
И все что это значит - интервал, предположим "a" это нижняя точка,
например, это "a", не важно, какое его значение.
Это может быть минус 5, или что-нибудь ещё.
А вот здесь у нас "b", прямо здесь.
Допустим, что "b" у нас здесь.
Мы говорим об отрезке,
это значит, что функция должна быть
определена для каждого числа между "a" и "b", а кроме того
она должна быть определена в точках "a" и "b".
Если сказано "над открытым интервалом" между "a" и "b", значит
функция должна быть определена только для каждого числа между "a" и "b",
но не обязательно в точках "a" и "b".
Итак, функция должна быть непрерывной и дифференцируемой и
она определена на отрезке
обозначенном "аb".
Это означает, что она должна быть определена в любой точке x.
от a до b, включая конечные точки a и b..
Если бы это был открытый интервал, мы бы написали это так:
Вы бы написали а и b.
Это означает интервал между а и
b, не включая эти точки.
Можно пока об этом не беспокоиться.
Вернемся к нашей теореме.
Надеюсь, вы знаете, что такое непрерывная функция.
Для примера нарисуем прерывистую функцию.
Таким образом будет функция, которая не является непрерывной будет
выглядеть вот так.
Она начнется тут,
а потом перескочит сюда.
Так?
Так что это будет пример функции, давайте скажем,
одинаковый осей, я нарисую его в другом цвете.
Если это наша y--нет, так не хорошо.
Если это была наша ось y, и это наша ось x, просто
дать вам ссылку на то, что я нарисовал.
Таким образом, если функция является непрерывной, непрерывной,
непрерывной и затем она прыгает, этот разрыв
сделает эту функцию прерывистой, или она
не будет непрерывной.
Поэтому функция просто должна быть непрерывной.
А что же такое дифференцируемая?
Дифференцируемость означает, что в каждой точке рассматриваемого интервала
мы должны быть в состоянии найти производную.
Это означает, что вы можете взять производную.
Это дифференцируемая.
Что еще это означает?
Это значит, что если бы вы нарисовали производную,
то она тоже была бы непрерывной..
Давайте остановимся на секундочку, чтобы это переварить.
Я вам тут покажу пример
функции, которая является непрерывной, но не дифференцируемой и
в результате теорема не работает.
Итак, давайте вернемся к нашей теореме.
Большинство функций, с которыми мы имеем дело удовлетворяют всем
трем из этих вещей.
Если вы не знаете, вы делаете предел проблемы, и они пытаются
сделать эти вещи выходят из строя.
Вернемся обратно к функции.
Итак, эта функция отвечает всем этим требованиям.
Поэтому все, что он говорит это, если я был средний уклон
между точкой и пункт б.
Что же такое угловой коэффициент, средний угловой коэффициент между
точками a и b?
Ну угловой коэффициент является просто углом подъема, правильно?
Что же такое это?
Я хотел бы видеть, если я могу , нарисовать средний угловой коэффициент.
То есть пробег будет расстоянием.
Это было бы пробегом, правильно?, и это будет рост.
Так что это точка, прямо здесь, это
точка a, f от a.
Смотрите сюда, это точка b, f от b.
Что такое средний угловой коэффициент между и b?
Ну это повышение перспективе.
Что же такое повышение?
Что такое это расстояние?
Насколько мы выросли из f(a) к f(b)?
Ну, рост будет f b, это
Высота минус f.
f(b) минус f(a).
И что такое прогон, что это расстояние?
Ну, это просто b минус a.
И если бы я хотел нарисовать линию, имеющий этот средний наклон, она
выглядела бы примерно так.
Мы смогли сделать его пройти через эти две точки, но это
действительно не должен.
Позвольте мне сделать это в голубой.
Так что это средняя склон между теми, кто
две точки, правильно?
Так что среднее значение Теорема говорит нам?
Он говорит, если f x определяется этот интервал закрыто от
b и f x непрерывный, и это
дифференцируемые, что можно было взять производной в любое
Укажите, что должна существовать некоторые точки c f расцвете c-
равный к этой вещи.
Так что равно f расцвете c.
Я не написали его здесь.
Так что это говорит нам?
Таким образом все это говорит нам, является, если мы непрерывно,
дифференцируемые, определенными в закрытый период времени, что
есть некоторые точка c, Ах, и c должно быть между и b,
есть какой-то момент между и b и он может быть в одном
из точек но есть некоторые точка c где производной в
c или склона в c, мгновенно склона в c, является
точно равен средний уклон за этот интервал.
Так что это значит?
Так что мы можем смотреть на него визуально.
Есть любой точке вдоль этой кривой, где наклон выглядит
очень похож на этот средний склон, который мы подсчитали?
Ну конечно, посмотрим.
Он выглядит как, может быть, здесь, прямо здесь?
Именно так, как я обратил его.
Это весьма неточной.
Но это точка выглядит как склона, вы знаете, я мог бы
скажем склона есть что-то вроде этого.
Таким образом мы не знаем какие, аналитически, эта функция является,
но визуально, вы могли бы видеть, что на этом точка c,
производные, так что я просто выбрал этот момент.
Так что это может быть наша точка c.
И как нам как раз сказать, что?
Ну, потому что f расцвете c этот склон, и она равна
Средняя склона.
Так что f расцвете c эту вещь, и это будет равняться
Средняя склон за все это.
И эта кривая, на самом деле, вероятно, имеет другую точку
где наклон равен средний уклон.
Давайте посмотрим.
Это выглядит, как, прямо примерно там.
Именно так, как я обратил его.
Похоже там склона может выглядеть примерно так,
может быть параллельной также.
Эти строки должны быть параллельно.
Касательных линии должна быть параллельной.
Так надеюсь это делает мало смысла для вас.
Еще один способ думать о нем-это ваш средний, на самом деле,
Позвольте мне привлечь граф просто чтобы убедиться, что мы
хит точки дома.
Нарисуем моя позиция как функции времени.
Так что это что-то, это будет сделать его применимым
в реальном мире.
Так вот моя оси x или оси времени, что в
Моя позиция ось.
Это собирается вернуться к нашей первоначальной интуиция о том, что
даже производная есть.
Так что это время, и я призываю эту позицию или расстояния,
или это не имеет значения.
Позиция.
И если я движется с постоянной скоростью, моя позиция
в зависимости от времени бы просто быть прямой линии, правильно?
И скорость является на самом деле вашего склоне.
Но давайте скажем, что я был разной скорости.
И в самом деле, если вы за рулем автомобиля, вы всегда
двигаетесь с переменной скоростью.
Итак, я начинаю с точки, в которой момент времени t равен 0,
и тогда я ускорить, то я чуть-чуть, снизятся
несколько снизятся, я держать замедление, и тогда я
в тупик так что моя позиция остается до сих пор.
Тогда я снова ускорить, замедлятся,
ускорить, и так далее.
Право?
Так что это может быть, вы знаете, у меня есть переменная скорость, и
Это может быть моя позиция как функции времени.
Таким образом, все это говорит, скажем, после этого, это
это время 0, позиции 0.
Скажем через 1 час, давайте скажем то есть 1 час, на этот раз
равен 1 час, давайте скажем я пошел 60 миль.
Так что вы можете сказать?
Можно сказать, что моя средняя скорость равна просто изменить в
расстояние, деленное на изменения в мирное время.
Он равен 60 миль в час.
Что же говорит Теорема средние значения, такое ОК.
Ваш средняя скорость, так что вы почти можно было просматривать его как
Средняя склон между этой точкой и этот момент с 60,
Средняя скорость была 60 миль в час, есть ли некоторые
момент времени, возможно, больше, но было по крайней мере один пункт в
время, когда вы собирались ровно шестьдесят миль в час.
Это смысл, правильно?
Если вы в среднем 60 миль в час, может быть, вы собираетесь 40
миль в час, некоторые точки, но в какой момент вам
пошли 80, и между ними вам пришлось идти 60 миль в час.
Поэтому позвольте мне видеть, если я могу нарисовать, графически.
Так что этот наклон является моя средняя скорость и то, что я обратил
Она, скорее всего два очка, давайте посмотрим, вероятно,
право здесь, я вероятно буду 60 миль на
час, наклон, вероятно, 60 там, мгновенно
скорость вероятно там, как хорошо.
Так что прежде чем я покину, давайте делать это аналитически, а только
для работы с числами.
И причина того, что мне не однозначна эта
теорема, это то, что она наверное будет полезна позже, если вы решите стать математиком,
тогда может быть вы ее используете для доказательства других теорем, или
вы докажете саму эту теорему.
Но если вы просто учите дифференциальное исчисление,
вы не будете особенно использовать эту
теорему.
Но если вам нужно ее знать, то нужно ее знать,
и она рассказывает вам что-то другое о мире, поэтому
она интересна в этом смысле.
Предположим, у нас есть функция f от x и она равна
x квадрате минус 4x, и интервал, который мне нужен
здесь находится между, это закрытый интервал, поэтому я включаю
2, от 2 до 4.
Эта теорема рассказывает нам, что если эта
функция находится на этом интервале, и так оно и есть, не так ли?
Мы могли бы поставить любое число.
Область этого, на самом деле, все действительные числа, я могу поместить
туда любое число, так что, очевидно, это будет определено
по этому промежутку.
Это определено по интервалу, это непрерывно,
это дифференцированно.
Вы могли бы взять производное и производное
непрерывно.
Поэтому наша теорема должна здесь работать.
Давайте посмотрим какая величина "c" равна среднему
наклону между 2 и 4.
Так чтем же является средний наклон между 2 и 4?
Это будет f от 4, поэтому разница функции,
f от 4 минус f от 2 разделить на разницу в x, так что 4 минус 2.
Этим и является средний наклон.
Так что f от 4 это 16 минус 16, так ведь?
И это 0.
Давайте в этом убедимся.
4 умножить на 4, 16, минус 4 умножить на 4, 16, так?
минус f от 2.
f от 2 это 2 в квадрате, это 4, так?, и тогда
минус 4 и умножить на 2.
Так что минус 8.
Все это разделить на 2.
И это минус 4.
Это равно 4 разделить на 2.
Поэтому средний наклон от x равен 2, x
равен 4 и это 2.
И теперь теорема говорит нам, что там должна быть
некоторая точка, которая находится между этих двух, может быть включая одну из
тех, где наклон в этом месте точно равен 2.
Давайте найдем чему равна эта точка.
Эта "c".
Давайте возьмем производное, потому что производное в "c"
будет равно 2.
И мы просто берем производное.
Скажем что первичный f от x равен 2x минус 4.
И мы хотим найти, в каком значении x это будет равно 2.
Мы скажем
2x минус 4 равно 2.
Где наклон равен 2?
Вы получаете 2x равно 6, x равно 3.
Так что если x равно 3, производное точно равно
среднему наклону.
Дайте я сейчас достану свой графический
калькулятор.
Я посмотрю, что я могу сделать.
Ок.
Вот график x в квадрате минус 4x.
Может у меня получиться сделать это чуть по больше.
Интервал, который нам нужен, находиться от сюда до сюда.
Поэтому средний наклон за этот интервал был 2.
Если нам нужно было бы нарисовать наклон, то
наклон бы выглядел вот так.
И точка 3, наклон точно 2.
Давайте я это нарисую.
Это не так уж сложно нарисовать для себя.
Так...
Если это мои оси, то я бы убрал это график в сторону.
Это ось Y
Линия идет через (0,0) как
можно чище.
Не, так не чисто.
Линия идет как-то так, она проваливается вверх, и потом
вот так вот, и идет прямо,
вот так, это парабола.
Это точка 4.
Это 2.
И в точке 2 мы в минус 4, так что вершина
в точке 2, минус 4.
Как мы сказали, средний наклон, так что закрытый интервал,
который нам нужен, между 2 и 4, от 2
здесь до 4 здесь.
Это интервал, 2 до 4.
Средний наклон - 2.
Здесь не похоже, только потому что я немного
сжал ось Y.
И мы говорим, что в точке x =3, наклон
идет вот так.
Так что где x равен 3, наклон равен
точно тому же.
Вот и весь смысл этой теоремы.
Я знаю, это звучит сложно.
Люди говорят о непрерывности и дифференцируемости, и
первичный f от c, не все что это значит, это что там есть
точка между этими двумя точками, где мгновенный наклон,
или наклон точно в этом месте, равен наклону
межде этими двумя точками.
Надеюсь, я вас не запутал.