[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.92,0:00:04.66,Default,,0000,0000,0000,,Меня просили разобрать
Dialogue: 0,0:00:04.66,0:00:05.59,Default,,0000,0000,0000,,теорему Лагра́нжа о среднем значении, её ещё называют формулой конечных приращений.
Dialogue: 0,0:00:05.59,0:00:07.01,Default,,0000,0000,0000,,Давайте поговорим об этом в этом видео.
Dialogue: 0,0:00:07.01,0:00:09.44,Default,,0000,0000,0000,,Итак, теорема Лагранжа.
Dialogue: 0,0:00:13.54,0:00:15.53,Default,,0000,0000,0000,,Вообще-то мое отношение к ней не однозначно.
Dialogue: 0,0:00:15.53,0:00:20.49,Default,,0000,0000,0000,,С одной стороны она проста, но то, что вы увидите может быть
Dialogue: 0,0:00:20.49,0:00:22.82,Default,,0000,0000,0000,,не очень-то легко доказать, хотя смысл
Dialogue: 0,0:00:22.82,0:00:23.86,Default,,0000,0000,0000,,довольно очевиден.
Dialogue: 0,0:00:23.86,0:00:27.01,Default,,0000,0000,0000,,Причина моего неоднозначного отношения в том, что,
Dialogue: 0,0:00:27.01,0:00:34.13,Default,,0000,0000,0000,,как мы увидим, смысл довольно
Dialogue: 0,0:00:34.13,0:00:36.77,Default,,0000,0000,0000,,очевиден, но ее засунули в учебник математики, когда человек
Dialogue: 0,0:00:36.77,0:00:39.89,Default,,0000,0000,0000,,только пытается постигнуть дифференциальное исчисление и разобраться в его основах,
Dialogue: 0,0:00:39.89,0:00:41.71,Default,,0000,0000,0000,,и тут вдруг появляется эта теорема
Dialogue: 0,0:00:41.71,0:00:43.70,Default,,0000,0000,0000,,со всеми ее нюансами, со всеми
Dialogue: 0,0:00:43.70,0:00:45.57,Default,,0000,0000,0000,,словами, которые просто сбивают с толку.
Dialogue: 0,0:00:45.57,0:00:47.89,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, мы с этим разберемся в этом видео,
Dialogue: 0,0:00:47.89,0:00:51.36,Default,,0000,0000,0000,,и мне интересно узнать ваше мнение.
Dialogue: 0,0:00:51.36,0:00:51.88,Default,,0000,0000,0000,,Приступим.
Dialogue: 0,0:00:51.88,0:00:53.82,Default,,0000,0000,0000,,Какой же смысл у этой формулы (теоремы)?
Dialogue: 0,0:00:53.82,0:00:54.89,Default,,0000,0000,0000,,Нарисуем оси координат.
Dialogue: 0,0:00:54.89,0:00:56.50,Default,,0000,0000,0000,,Сначала я объясню все графически.
Dialogue: 0,0:01:01.34,0:01:03.34,Default,,0000,0000,0000,,Пожалуй, тут понадобится красный цвет.
Dialogue: 0,0:01:03.34,0:01:04.37,Default,,0000,0000,0000,,Ось Х.
Dialogue: 0,0:01:07.05,0:01:11.34,Default,,0000,0000,0000,,Ось Y.
Dialogue: 0,0:01:11.34,0:01:14.00,Default,,0000,0000,0000,,Предположим, что у меня есть некоторая функция f от x.
Dialogue: 0,0:01:17.11,0:01:22.04,Default,,0000,0000,0000,,Давайте нарисуем f от х.
Dialogue: 0,0:01:22.04,0:01:24.10,Default,,0000,0000,0000,,Примерно так.
Dialogue: 0,0:01:24.10,0:01:26.95,Default,,0000,0000,0000,,Вот некоторая функци f от x, и она должна
Dialogue: 0,0:01:26.95,0:01:28.75,Default,,0000,0000,0000,,отвечать некоторым условиям.
Dialogue: 0,0:01:28.75,0:01:38.62,Default,,0000,0000,0000,,f от x должна быть непрерывной и дифференцируемой.
Dialogue: 0,0:01:38.62,0:01:42.38,Default,,0000,0000,0000,,И я знаю, что некоторые могут испугаться
Dialogue: 0,0:01:42.38,0:01:43.27,Default,,0000,0000,0000,,при этих словах.
Dialogue: 0,0:01:43.27,0:01:45.83,Default,,0000,0000,0000,,Какой-то математический жаргон,
Dialogue: 0,0:01:45.83,0:01:47.42,Default,,0000,0000,0000,,доволено бессмысленно.
Dialogue: 0,0:01:47.42,0:01:51.94,Default,,0000,0000,0000,,"Непрерывная" означает, что кривая не имеет разрывов.
Dialogue: 0,0:01:51.94,0:01:54.28,Default,,0000,0000,0000,,По ней можно пройти от начала до конца.
Dialogue: 0,0:01:54.28,0:01:57.30,Default,,0000,0000,0000,,И здесь условия применимы к отрезку.
Dialogue: 0,0:01:57.30,0:01:59.81,Default,,0000,0000,0000,,И это тоже очень математический термин.
Dialogue: 0,0:01:59.81,0:02:03.49,Default,,0000,0000,0000,,И чаще вы бы сказали, на замкнутом отрезке от a до b.
Dialogue: 0,0:02:03.49,0:02:06.75,Default,,0000,0000,0000,,И все что это значит - интервал, предположим "a" это нижняя точка,
Dialogue: 0,0:02:06.75,0:02:09.51,Default,,0000,0000,0000,,например, это "a", не важно, какое его значение.
Dialogue: 0,0:02:09.51,0:02:12.16,Default,,0000,0000,0000,,Это может быть минус 5, или что-нибудь ещё.
Dialogue: 0,0:02:12.16,0:02:17.02,Default,,0000,0000,0000,,А вот здесь у нас "b", прямо здесь.
Dialogue: 0,0:02:17.02,0:02:18.08,Default,,0000,0000,0000,,Допустим, что "b" у нас здесь.
Dialogue: 0,0:02:18.08,0:02:20.72,Default,,0000,0000,0000,,Мы говорим об отрезке,
Dialogue: 0,0:02:20.72,0:02:24.36,Default,,0000,0000,0000,,это значит, что функция должна быть
Dialogue: 0,0:02:24.36,0:02:28.46,Default,,0000,0000,0000,,определена для каждого числа между "a" и "b", а кроме того
Dialogue: 0,0:02:28.46,0:02:31.25,Default,,0000,0000,0000,,она должна быть определена в точках "a" и "b".
Dialogue: 0,0:02:31.25,0:02:33.93,Default,,0000,0000,0000,,Если сказано "над открытым интервалом" между "a" и "b", значит
Dialogue: 0,0:02:33.93,0:02:37.18,Default,,0000,0000,0000,,функция должна быть определена только для каждого числа между "a" и "b",
Dialogue: 0,0:02:37.18,0:02:39.16,Default,,0000,0000,0000,,но не обязательно в точках "a" и "b".
Dialogue: 0,0:02:39.16,0:02:42.03,Default,,0000,0000,0000,,Итак, функция должна быть непрерывной и дифференцируемой и
Dialogue: 0,0:02:42.03,0:02:47.79,Default,,0000,0000,0000,,она определена на отрезке
Dialogue: 0,0:02:47.79,0:02:51.48,Default,,0000,0000,0000,,обозначенном "аb".
Dialogue: 0,0:02:51.48,0:02:55.66,Default,,0000,0000,0000,,Это означает, что она должна быть определена в любой точке x.
Dialogue: 0,0:02:55.66,0:03:00.25,Default,,0000,0000,0000,,от a до b, включая конечные точки a и b..
Dialogue: 0,0:03:00.25,0:03:02.66,Default,,0000,0000,0000,,Если бы это был открытый интервал, мы бы написали это так:
Dialogue: 0,0:03:02.66,0:03:04.72,Default,,0000,0000,0000,,Вы бы написали а и b.
Dialogue: 0,0:03:04.72,0:03:07.35,Default,,0000,0000,0000,,Это означает интервал между а и
Dialogue: 0,0:03:07.35,0:03:09.06,Default,,0000,0000,0000,,b, не включая эти точки.
Dialogue: 0,0:03:09.06,0:03:12.58,Default,,0000,0000,0000,,Можно пока об этом не беспокоиться.
Dialogue: 0,0:03:12.58,0:03:14.40,Default,,0000,0000,0000,,Вернемся к нашей теореме.
Dialogue: 0,0:03:14.40,0:03:16.06,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вы знаете, что такое непрерывная функция.
Dialogue: 0,0:03:16.06,0:03:18.35,Default,,0000,0000,0000,,Для примера нарисуем прерывистую функцию.
Dialogue: 0,0:03:18.35,0:03:19.62,Default,,0000,0000,0000,,Таким образом будет функция, которая не является непрерывной будет
Dialogue: 0,0:03:19.62,0:03:20.59,Default,,0000,0000,0000,,выглядеть вот так.
Dialogue: 0,0:03:20.59,0:03:22.32,Default,,0000,0000,0000,,Она начнется тут,
Dialogue: 0,0:03:22.32,0:03:24.18,Default,,0000,0000,0000,,а потом перескочит сюда.
Dialogue: 0,0:03:24.18,0:03:24.49,Default,,0000,0000,0000,,Так?
Dialogue: 0,0:03:24.49,0:03:27.43,Default,,0000,0000,0000,,Так что это будет пример функции, давайте скажем,
Dialogue: 0,0:03:27.43,0:03:30.58,Default,,0000,0000,0000,,одинаковый осей, я нарисую его в другом цвете.
Dialogue: 0,0:03:30.58,0:03:35.56,Default,,0000,0000,0000,,Если это наша y--нет, так не хорошо.
Dialogue: 0,0:03:35.56,0:03:39.44,Default,,0000,0000,0000,,Если это была наша ось y, и это наша ось x, просто
Dialogue: 0,0:03:39.44,0:03:40.80,Default,,0000,0000,0000,,дать вам ссылку на то, что я нарисовал.
Dialogue: 0,0:03:40.80,0:03:43.47,Default,,0000,0000,0000,,Таким образом, если функция является непрерывной, непрерывной,
Dialogue: 0,0:03:43.47,0:03:47.56,Default,,0000,0000,0000,,непрерывной и затем она прыгает, этот разрыв
Dialogue: 0,0:03:47.56,0:03:50.24,Default,,0000,0000,0000,,сделает эту функцию прерывистой, или она
Dialogue: 0,0:03:50.24,0:03:51.72,Default,,0000,0000,0000,,не будет непрерывной.
Dialogue: 0,0:03:51.72,0:03:53.67,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому функция просто должна быть непрерывной.
Dialogue: 0,0:03:53.67,0:03:55.77,Default,,0000,0000,0000,,А что же такое дифференцируемая?
Dialogue: 0,0:03:55.77,0:03:58.95,Default,,0000,0000,0000,,Дифференцируемость означает, что в каждой точке рассматриваемого интервала
Dialogue: 0,0:03:58.95,0:04:02.94,Default,,0000,0000,0000,,мы должны быть в состоянии найти производную.
Dialogue: 0,0:04:02.94,0:04:04.61,Default,,0000,0000,0000,,Это означает, что вы можете взять производную.
Dialogue: 0,0:04:04.61,0:04:06.03,Default,,0000,0000,0000,,Это дифференцируемая.
Dialogue: 0,0:04:06.03,0:04:07.05,Default,,0000,0000,0000,,Что еще это означает?
Dialogue: 0,0:04:07.05,0:04:09.15,Default,,0000,0000,0000,,Это значит, что если бы вы нарисовали производную,
Dialogue: 0,0:04:09.15,0:04:12.46,Default,,0000,0000,0000,,то она тоже была бы непрерывной..
Dialogue: 0,0:04:12.46,0:04:14.24,Default,,0000,0000,0000,,Давайте остановимся на секундочку, чтобы это переварить.
Dialogue: 0,0:04:14.24,0:04:16.90,Default,,0000,0000,0000,,Я вам тут покажу пример
Dialogue: 0,0:04:16.90,0:04:22.70,Default,,0000,0000,0000,,функции, которая является непрерывной, но не дифференцируемой и
Dialogue: 0,0:04:22.70,0:04:25.02,Default,,0000,0000,0000,,в результате теорема не работает.
Dialogue: 0,0:04:25.02,0:04:26.90,Default,,0000,0000,0000,,Итак, давайте вернемся к нашей теореме.
Dialogue: 0,0:04:26.90,0:04:30.12,Default,,0000,0000,0000,,Большинство функций, с которыми мы имеем дело удовлетворяют всем
Dialogue: 0,0:04:30.12,0:04:32.21,Default,,0000,0000,0000,,трем из этих вещей.
Dialogue: 0,0:04:32.21,0:04:34.29,Default,,0000,0000,0000,,Если вы не знаете, вы делаете предел проблемы, и они пытаются
Dialogue: 0,0:04:34.29,0:04:35.96,Default,,0000,0000,0000,,сделать эти вещи выходят из строя.
Dialogue: 0,0:04:35.96,0:04:36.99,Default,,0000,0000,0000,,Вернемся обратно к функции.
Dialogue: 0,0:04:36.99,0:04:39.56,Default,,0000,0000,0000,,Итак, эта функция отвечает всем этим требованиям.
Dialogue: 0,0:04:39.56,0:04:43.83,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому все, что он говорит это, если я был средний уклон
Dialogue: 0,0:04:43.83,0:04:46.12,Default,,0000,0000,0000,,между точкой и пункт б.
Dialogue: 0,0:04:46.12,0:04:48.80,Default,,0000,0000,0000,,Что же такое угловой коэффициент, средний угловой коэффициент между
Dialogue: 0,0:04:48.80,0:04:50.45,Default,,0000,0000,0000,,точками a и b?
Dialogue: 0,0:04:50.45,0:04:54.06,Default,,0000,0000,0000,,Ну угловой коэффициент является просто углом подъема, правильно?
Dialogue: 0,0:04:54.06,0:04:55.61,Default,,0000,0000,0000,,Что же такое это?
Dialogue: 0,0:04:55.61,0:04:58.81,Default,,0000,0000,0000,,Я хотел бы видеть, если я могу , нарисовать средний угловой коэффициент.
Dialogue: 0,0:04:58.81,0:05:04.70,Default,,0000,0000,0000,,То есть пробег будет расстоянием.
Dialogue: 0,0:05:04.70,0:05:07.56,Default,,0000,0000,0000,,Это было бы пробегом, правильно?, и это будет рост.
Dialogue: 0,0:05:10.40,0:05:12.63,Default,,0000,0000,0000,,Так что это точка, прямо здесь, это
Dialogue: 0,0:05:12.63,0:05:17.27,Default,,0000,0000,0000,,точка a, f от a.
Dialogue: 0,0:05:17.27,0:05:23.45,Default,,0000,0000,0000,,Смотрите сюда, это точка b, f от b.
Dialogue: 0,0:05:23.45,0:05:27.27,Default,,0000,0000,0000,,Что такое средний угловой коэффициент между и b?
Dialogue: 0,0:05:27.27,0:05:29.24,Default,,0000,0000,0000,,Ну это повышение перспективе.
Dialogue: 0,0:05:29.24,0:05:30.19,Default,,0000,0000,0000,,Что же такое повышение?
Dialogue: 0,0:05:30.19,0:05:31.51,Default,,0000,0000,0000,,Что такое это расстояние?
Dialogue: 0,0:05:31.51,0:05:35.63,Default,,0000,0000,0000,,Насколько мы выросли из f(a) к f(b)?
Dialogue: 0,0:05:35.63,0:05:40.10,Default,,0000,0000,0000,,Ну, рост будет f b, это
Dialogue: 0,0:05:40.10,0:05:45.64,Default,,0000,0000,0000,,Высота минус f.
Dialogue: 0,0:05:45.64,0:05:50.19,Default,,0000,0000,0000,,f(b) минус f(a).
Dialogue: 0,0:05:50.19,0:05:51.96,Default,,0000,0000,0000,,И что такое прогон, что это расстояние?
Dialogue: 0,0:05:51.96,0:05:53.53,Default,,0000,0000,0000,,Ну, это просто b минус a.
Dialogue: 0,0:05:57.07,0:05:59.43,Default,,0000,0000,0000,,И если бы я хотел нарисовать линию, имеющий этот средний наклон, она
Dialogue: 0,0:05:59.43,0:06:00.89,Default,,0000,0000,0000,,выглядела бы примерно так.
Dialogue: 0,0:06:00.89,0:06:03.69,Default,,0000,0000,0000,,Мы смогли сделать его пройти через эти две точки, но это
Dialogue: 0,0:06:03.69,0:06:06.75,Default,,0000,0000,0000,,действительно не должен.
Dialogue: 0,0:06:06.75,0:06:10.13,Default,,0000,0000,0000,,Позвольте мне сделать это в голубой.
Dialogue: 0,0:06:14.57,0:06:16.64,Default,,0000,0000,0000,,Так что это средняя склон между теми, кто
Dialogue: 0,0:06:16.64,0:06:18.09,Default,,0000,0000,0000,,две точки, правильно?
Dialogue: 0,0:06:18.09,0:06:20.03,Default,,0000,0000,0000,,Так что среднее значение Теорема говорит нам?
Dialogue: 0,0:06:20.03,0:06:24.69,Default,,0000,0000,0000,,Он говорит, если f x определяется этот интервал закрыто от
Dialogue: 0,0:06:24.69,0:06:27.96,Default,,0000,0000,0000,,b и f x непрерывный, и это
Dialogue: 0,0:06:27.96,0:06:29.75,Default,,0000,0000,0000,,дифференцируемые, что можно было взять производной в любое
Dialogue: 0,0:06:29.75,0:06:45.56,Default,,0000,0000,0000,,Укажите, что должна существовать некоторые точки c f расцвете c-
Dialogue: 0,0:06:45.56,0:06:47.35,Default,,0000,0000,0000,,равный к этой вещи.
Dialogue: 0,0:06:47.35,0:06:50.74,Default,,0000,0000,0000,,Так что равно f расцвете c.
Dialogue: 0,0:06:50.74,0:06:52.33,Default,,0000,0000,0000,,Я не написали его здесь.
Dialogue: 0,0:06:52.33,0:06:53.82,Default,,0000,0000,0000,,Так что это говорит нам?
Dialogue: 0,0:06:53.82,0:06:57.14,Default,,0000,0000,0000,,Таким образом все это говорит нам, является, если мы непрерывно,
Dialogue: 0,0:06:57.14,0:07:00.00,Default,,0000,0000,0000,,дифференцируемые, определенными в закрытый период времени, что
Dialogue: 0,0:07:00.00,0:07:03.89,Default,,0000,0000,0000,,есть некоторые точка c, Ах, и c должно быть между и b,
Dialogue: 0,0:07:03.89,0:07:07.55,Default,,0000,0000,0000,,есть какой-то момент между и b и он может быть в одном
Dialogue: 0,0:07:07.55,0:07:11.54,Default,,0000,0000,0000,,из точек но есть некоторые точка c где производной в
Dialogue: 0,0:07:11.54,0:07:16.39,Default,,0000,0000,0000,,c или склона в c, мгновенно склона в c, является
Dialogue: 0,0:07:16.39,0:07:19.70,Default,,0000,0000,0000,,точно равен средний уклон за этот интервал.
Dialogue: 0,0:07:19.70,0:07:21.09,Default,,0000,0000,0000,,Так что это значит?
Dialogue: 0,0:07:21.09,0:07:22.95,Default,,0000,0000,0000,,Так что мы можем смотреть на него визуально.
Dialogue: 0,0:07:22.95,0:07:27.79,Default,,0000,0000,0000,,Есть любой точке вдоль этой кривой, где наклон выглядит
Dialogue: 0,0:07:27.79,0:07:31.85,Default,,0000,0000,0000,,очень похож на этот средний склон, который мы подсчитали?
Dialogue: 0,0:07:31.85,0:07:33.03,Default,,0000,0000,0000,,Ну конечно, посмотрим.
Dialogue: 0,0:07:33.03,0:07:37.01,Default,,0000,0000,0000,,Он выглядит как, может быть, здесь, прямо здесь?
Dialogue: 0,0:07:37.01,0:07:37.65,Default,,0000,0000,0000,,Именно так, как я обратил его.
Dialogue: 0,0:07:37.65,0:07:40.32,Default,,0000,0000,0000,,Это весьма неточной.
Dialogue: 0,0:07:40.32,0:07:43.52,Default,,0000,0000,0000,,Но это точка выглядит как склона, вы знаете, я мог бы
Dialogue: 0,0:07:43.52,0:07:47.06,Default,,0000,0000,0000,,скажем склона есть что-то вроде этого.
Dialogue: 0,0:07:47.06,0:07:49.97,Default,,0000,0000,0000,,Таким образом мы не знаем какие, аналитически, эта функция является,
Dialogue: 0,0:07:49.97,0:07:53.28,Default,,0000,0000,0000,,но визуально, вы могли бы видеть, что на этом точка c,
Dialogue: 0,0:07:53.28,0:07:57.22,Default,,0000,0000,0000,,производные, так что я просто выбрал этот момент.
Dialogue: 0,0:07:57.22,0:08:00.16,Default,,0000,0000,0000,,Так что это может быть наша точка c.
Dialogue: 0,0:08:00.16,0:08:01.22,Default,,0000,0000,0000,,И как нам как раз сказать, что?
Dialogue: 0,0:08:01.22,0:08:05.36,Default,,0000,0000,0000,,Ну, потому что f расцвете c этот склон, и она равна
Dialogue: 0,0:08:05.36,0:08:06.61,Default,,0000,0000,0000,,Средняя склона.
Dialogue: 0,0:08:06.61,0:08:10.19,Default,,0000,0000,0000,,Так что f расцвете c эту вещь, и это будет равняться
Dialogue: 0,0:08:10.19,0:08:12.46,Default,,0000,0000,0000,,Средняя склон за все это.
Dialogue: 0,0:08:12.46,0:08:15.23,Default,,0000,0000,0000,,И эта кривая, на самом деле, вероятно, имеет другую точку
Dialogue: 0,0:08:15.23,0:08:17.95,Default,,0000,0000,0000,,где наклон равен средний уклон.
Dialogue: 0,0:08:17.95,0:08:18.21,Default,,0000,0000,0000,,Давайте посмотрим.
Dialogue: 0,0:08:18.21,0:08:21.36,Default,,0000,0000,0000,,Это выглядит, как, прямо примерно там.
Dialogue: 0,0:08:21.36,0:08:23.71,Default,,0000,0000,0000,,Именно так, как я обратил его.
Dialogue: 0,0:08:23.71,0:08:26.46,Default,,0000,0000,0000,,Похоже там склона может выглядеть примерно так,
Dialogue: 0,0:08:26.46,0:08:28.11,Default,,0000,0000,0000,,может быть параллельной также.
Dialogue: 0,0:08:28.11,0:08:31.00,Default,,0000,0000,0000,,Эти строки должны быть параллельно.
Dialogue: 0,0:08:31.00,0:08:33.04,Default,,0000,0000,0000,,Касательных линии должна быть параллельной.
Dialogue: 0,0:08:33.04,0:08:34.63,Default,,0000,0000,0000,,Так надеюсь это делает мало смысла для вас.
Dialogue: 0,0:08:34.63,0:08:41.17,Default,,0000,0000,0000,,Еще один способ думать о нем-это ваш средний, на самом деле,
Dialogue: 0,0:08:41.17,0:08:45.45,Default,,0000,0000,0000,,Позвольте мне привлечь граф просто чтобы убедиться, что мы
Dialogue: 0,0:08:45.45,0:08:47.62,Default,,0000,0000,0000,,хит точки дома.
Dialogue: 0,0:08:47.62,0:08:50.87,Default,,0000,0000,0000,,Нарисуем моя позиция как функции времени.
Dialogue: 0,0:08:50.87,0:08:53.63,Default,,0000,0000,0000,,Так что это что-то, это будет сделать его применимым
Dialogue: 0,0:08:53.63,0:08:55.00,Default,,0000,0000,0000,,в реальном мире.
Dialogue: 0,0:08:55.00,0:08:57.61,Default,,0000,0000,0000,,Так вот моя оси x или оси времени, что в
Dialogue: 0,0:08:57.61,0:09:00.27,Default,,0000,0000,0000,,Моя позиция ось.
Dialogue: 0,0:09:00.27,0:09:03.14,Default,,0000,0000,0000,,Это собирается вернуться к нашей первоначальной интуиция о том, что
Dialogue: 0,0:09:03.14,0:09:05.47,Default,,0000,0000,0000,,даже производная есть.
Dialogue: 0,0:09:05.47,0:09:09.72,Default,,0000,0000,0000,,Так что это время, и я призываю эту позицию или расстояния,
Dialogue: 0,0:09:09.72,0:09:11.05,Default,,0000,0000,0000,,или это не имеет значения.
Dialogue: 0,0:09:11.05,0:09:12.49,Default,,0000,0000,0000,,Позиция.
Dialogue: 0,0:09:12.49,0:09:15.91,Default,,0000,0000,0000,,И если я движется с постоянной скоростью, моя позиция
Dialogue: 0,0:09:15.91,0:09:19.19,Default,,0000,0000,0000,,в зависимости от времени бы просто быть прямой линии, правильно?
Dialogue: 0,0:09:19.19,0:09:21.05,Default,,0000,0000,0000,,И скорость является на самом деле вашего склоне.
Dialogue: 0,0:09:21.05,0:09:22.59,Default,,0000,0000,0000,,Но давайте скажем, что я был разной скорости.
Dialogue: 0,0:09:22.59,0:09:25.91,Default,,0000,0000,0000,,И в самом деле, если вы за рулем автомобиля, вы всегда
Dialogue: 0,0:09:25.91,0:09:27.64,Default,,0000,0000,0000,,двигаетесь с переменной скоростью.
Dialogue: 0,0:09:27.64,0:09:31.77,Default,,0000,0000,0000,,Итак, я начинаю с точки, в которой момент времени t равен 0,
Dialogue: 0,0:09:31.77,0:09:39.81,Default,,0000,0000,0000,,и тогда я ускорить, то я чуть-чуть, снизятся
Dialogue: 0,0:09:39.81,0:09:43.15,Default,,0000,0000,0000,,несколько снизятся, я держать замедление, и тогда я
Dialogue: 0,0:09:43.15,0:09:45.86,Default,,0000,0000,0000,,в тупик так что моя позиция остается до сих пор.
Dialogue: 0,0:09:45.86,0:09:49.92,Default,,0000,0000,0000,,Тогда я снова ускорить, замедлятся,
Dialogue: 0,0:09:49.92,0:09:52.45,Default,,0000,0000,0000,,ускорить, и так далее.
Dialogue: 0,0:09:52.45,0:09:53.08,Default,,0000,0000,0000,,Право?
Dialogue: 0,0:09:53.08,0:09:57.14,Default,,0000,0000,0000,,Так что это может быть, вы знаете, у меня есть переменная скорость, и
Dialogue: 0,0:09:57.14,0:09:59.50,Default,,0000,0000,0000,,Это может быть моя позиция как функции времени.
Dialogue: 0,0:09:59.50,0:10:04.39,Default,,0000,0000,0000,,Таким образом, все это говорит, скажем, после этого, это
Dialogue: 0,0:10:04.39,0:10:05.90,Default,,0000,0000,0000,,это время 0, позиции 0.
Dialogue: 0,0:10:05.90,0:10:10.92,Default,,0000,0000,0000,,Скажем через 1 час, давайте скажем то есть 1 час, на этот раз
Dialogue: 0,0:10:10.92,0:10:16.68,Default,,0000,0000,0000,,равен 1 час, давайте скажем я пошел 60 миль.
Dialogue: 0,0:10:20.66,0:10:21.71,Default,,0000,0000,0000,,Так что вы можете сказать?
Dialogue: 0,0:10:21.71,0:10:29.16,Default,,0000,0000,0000,,Можно сказать, что моя средняя скорость равна просто изменить в
Dialogue: 0,0:10:29.16,0:10:31.37,Default,,0000,0000,0000,,расстояние, деленное на изменения в мирное время.
Dialogue: 0,0:10:31.37,0:10:33.70,Default,,0000,0000,0000,,Он равен 60 миль в час.
Dialogue: 0,0:10:38.23,0:10:40.95,Default,,0000,0000,0000,,Что же говорит Теорема средние значения, такое ОК.
Dialogue: 0,0:10:40.95,0:10:43.78,Default,,0000,0000,0000,,Ваш средняя скорость, так что вы почти можно было просматривать его как
Dialogue: 0,0:10:43.78,0:10:47.43,Default,,0000,0000,0000,,Средняя склон между этой точкой и этот момент с 60,
Dialogue: 0,0:10:47.43,0:10:51.41,Default,,0000,0000,0000,,Средняя скорость была 60 миль в час, есть ли некоторые
Dialogue: 0,0:10:51.41,0:10:54.95,Default,,0000,0000,0000,,момент времени, возможно, больше, но было по крайней мере один пункт в
Dialogue: 0,0:10:54.95,0:10:58.29,Default,,0000,0000,0000,,время, когда вы собирались ровно шестьдесят миль в час.
Dialogue: 0,0:10:58.29,0:10:59.59,Default,,0000,0000,0000,,Это смысл, правильно?
Dialogue: 0,0:10:59.59,0:11:02.03,Default,,0000,0000,0000,,Если вы в среднем 60 миль в час, может быть, вы собираетесь 40
Dialogue: 0,0:11:02.03,0:11:03.88,Default,,0000,0000,0000,,миль в час, некоторые точки, но в какой момент вам
Dialogue: 0,0:11:03.88,0:11:07.44,Default,,0000,0000,0000,,пошли 80, и между ними вам пришлось идти 60 миль в час.
Dialogue: 0,0:11:07.44,0:11:10.30,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому позвольте мне видеть, если я могу нарисовать, графически.
Dialogue: 0,0:11:10.30,0:11:14.68,Default,,0000,0000,0000,,Так что этот наклон является моя средняя скорость и то, что я обратил
Dialogue: 0,0:11:14.68,0:11:17.11,Default,,0000,0000,0000,,Она, скорее всего два очка, давайте посмотрим, вероятно,
Dialogue: 0,0:11:17.11,0:11:21.05,Default,,0000,0000,0000,,право здесь, я вероятно буду 60 миль на
Dialogue: 0,0:11:21.05,0:11:23.38,Default,,0000,0000,0000,,час, наклон, вероятно, 60 там, мгновенно
Dialogue: 0,0:11:23.38,0:11:29.10,Default,,0000,0000,0000,,скорость вероятно там, как хорошо.
Dialogue: 0,0:11:29.10,0:11:32.71,Default,,0000,0000,0000,,Так что прежде чем я покину, давайте делать это аналитически, а только
Dialogue: 0,0:11:32.71,0:11:36.01,Default,,0000,0000,0000,,для работы с числами.
Dialogue: 0,0:11:36.01,0:11:38.28,Default,,0000,0000,0000,,И причина того, что мне не однозначна эта
Dialogue: 0,0:11:38.28,0:11:42.04,Default,,0000,0000,0000,,теорема, это то, что она наверное будет полезна позже, если вы решите стать математиком,
Dialogue: 0,0:11:42.04,0:11:46.67,Default,,0000,0000,0000,,тогда может быть вы ее используете для доказательства других теорем, или
Dialogue: 0,0:11:46.67,0:11:48.29,Default,,0000,0000,0000,,вы докажете саму эту теорему.
Dialogue: 0,0:11:48.29,0:11:50.39,Default,,0000,0000,0000,,Но если вы просто учите дифференциальное исчисление,
Dialogue: 0,0:11:50.39,0:11:51.90,Default,,0000,0000,0000,,вы не будете особенно использовать эту
Dialogue: 0,0:11:51.90,0:11:52.61,Default,,0000,0000,0000,,теорему.
Dialogue: 0,0:11:52.61,0:11:54.20,Default,,0000,0000,0000,,Но если вам нужно ее знать, то нужно ее знать,
Dialogue: 0,0:11:54.20,0:11:56.72,Default,,0000,0000,0000,,и она рассказывает вам что-то другое о мире, поэтому
Dialogue: 0,0:11:56.72,0:11:58.45,Default,,0000,0000,0000,,она интересна в этом смысле.
Dialogue: 0,0:11:58.45,0:12:04.68,Default,,0000,0000,0000,,Предположим, у нас есть функция f от x и она равна
Dialogue: 0,0:12:04.68,0:12:09.21,Default,,0000,0000,0000,,x квадрате минус 4x, и интервал, который мне нужен
Dialogue: 0,0:12:09.21,0:12:12.88,Default,,0000,0000,0000,,здесь находится между, это закрытый интервал, поэтому я включаю
Dialogue: 0,0:12:12.88,0:12:15.88,Default,,0000,0000,0000,,2, от 2 до 4.
Dialogue: 0,0:12:15.88,0:12:19.20,Default,,0000,0000,0000,,Эта теорема рассказывает нам, что если эта
Dialogue: 0,0:12:19.20,0:12:22.05,Default,,0000,0000,0000,,функция находится на этом интервале, и так оно и есть, не так ли?
Dialogue: 0,0:12:22.05,0:12:23.38,Default,,0000,0000,0000,,Мы могли бы поставить любое число.
Dialogue: 0,0:12:23.38,0:12:26.18,Default,,0000,0000,0000,,Область этого, на самом деле, все действительные числа, я могу поместить
Dialogue: 0,0:12:26.18,0:12:29.05,Default,,0000,0000,0000,,туда любое число, так что, очевидно, это будет определено
Dialogue: 0,0:12:29.05,0:12:30.99,Default,,0000,0000,0000,,по этому промежутку.
Dialogue: 0,0:12:30.99,0:12:34.14,Default,,0000,0000,0000,,Это определено по интервалу, это непрерывно,
Dialogue: 0,0:12:34.14,0:12:34.87,Default,,0000,0000,0000,,это дифференцированно.
Dialogue: 0,0:12:34.87,0:12:36.16,Default,,0000,0000,0000,,Вы могли бы взять производное и производное
Dialogue: 0,0:12:36.16,0:12:37.38,Default,,0000,0000,0000,,непрерывно.
Dialogue: 0,0:12:37.38,0:12:39.81,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому наша теорема должна здесь работать.
Dialogue: 0,0:12:39.81,0:12:42.96,Default,,0000,0000,0000,,Давайте посмотрим какая величина "c" равна среднему
Dialogue: 0,0:12:42.96,0:12:45.40,Default,,0000,0000,0000,,наклону между 2 и 4.
Dialogue: 0,0:12:45.40,0:12:48.70,Default,,0000,0000,0000,,Так чтем же является средний наклон между 2 и 4?
Dialogue: 0,0:12:48.70,0:12:52.78,Default,,0000,0000,0000,,Это будет f от 4, поэтому разница функции,
Dialogue: 0,0:12:52.78,0:12:59.90,Default,,0000,0000,0000,,f от 4 минус f от 2 разделить на разницу в x, так что 4 минус 2.
Dialogue: 0,0:12:59.90,0:13:01.46,Default,,0000,0000,0000,,Этим и является средний наклон.
Dialogue: 0,0:13:01.46,0:13:06.80,Default,,0000,0000,0000,,Так что f от 4 это 16 минус 16, так ведь?
Dialogue: 0,0:13:06.80,0:13:07.80,Default,,0000,0000,0000,,И это 0.
Dialogue: 0,0:13:07.80,0:13:08.37,Default,,0000,0000,0000,,Давайте в этом убедимся.
Dialogue: 0,0:13:08.37,0:13:12.74,Default,,0000,0000,0000,,4 умножить на 4, 16, минус 4 умножить на 4, 16, так?
Dialogue: 0,0:13:12.74,0:13:14.56,Default,,0000,0000,0000,,минус f от 2.
Dialogue: 0,0:13:14.56,0:13:19.50,Default,,0000,0000,0000,,f от 2 это 2 в квадрате, это 4, так?, и тогда
Dialogue: 0,0:13:19.50,0:13:21.73,Default,,0000,0000,0000,,минус 4 и умножить на 2.
Dialogue: 0,0:13:21.73,0:13:23.63,Default,,0000,0000,0000,,Так что минус 8.
Dialogue: 0,0:13:27.81,0:13:29.39,Default,,0000,0000,0000,,Все это разделить на 2.
Dialogue: 0,0:13:29.39,0:13:31.06,Default,,0000,0000,0000,,И это минус 4.
Dialogue: 0,0:13:31.06,0:13:33.12,Default,,0000,0000,0000,,Это равно 4 разделить на 2.
Dialogue: 0,0:13:33.12,0:13:36.70,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому средний наклон от x равен 2, x
Dialogue: 0,0:13:36.70,0:13:39.42,Default,,0000,0000,0000,,равен 4 и это 2.
Dialogue: 0,0:13:39.42,0:13:42.35,Default,,0000,0000,0000,,И теперь теорема говорит нам, что там должна быть
Dialogue: 0,0:13:42.35,0:13:45.67,Default,,0000,0000,0000,,некоторая точка, которая находится между этих двух, может быть включая одну из
Dialogue: 0,0:13:45.67,0:13:50.34,Default,,0000,0000,0000,,тех, где наклон в этом месте точно равен 2.
Dialogue: 0,0:13:50.34,0:13:51.90,Default,,0000,0000,0000,,Давайте найдем чему равна эта точка.
Dialogue: 0,0:13:51.90,0:13:53.39,Default,,0000,0000,0000,,Эта "c".
Dialogue: 0,0:13:53.39,0:13:55.72,Default,,0000,0000,0000,,Давайте возьмем производное, потому что производное в "c"
Dialogue: 0,0:13:55.72,0:13:56.62,Default,,0000,0000,0000,,будет равно 2.
Dialogue: 0,0:13:56.62,0:13:57.69,Default,,0000,0000,0000,,И мы просто берем производное.
Dialogue: 0,0:13:57.69,0:14:04.11,Default,,0000,0000,0000,,Скажем что первичный f от x равен 2x минус 4.
Dialogue: 0,0:14:04.11,0:14:08.99,Default,,0000,0000,0000,,И мы хотим найти, в каком значении x это будет равно 2.
Dialogue: 0,0:14:08.99,0:14:09.60,Default,,0000,0000,0000,,Мы скажем
Dialogue: 0,0:14:09.60,0:14:13.46,Default,,0000,0000,0000,,2x минус 4 равно 2.
Dialogue: 0,0:14:13.46,0:14:16.03,Default,,0000,0000,0000,,Где наклон равен 2?
Dialogue: 0,0:14:16.03,0:14:24.00,Default,,0000,0000,0000,,Вы получаете 2x равно 6, x равно 3.
Dialogue: 0,0:14:24.00,0:14:27.88,Default,,0000,0000,0000,,Так что если x равно 3, производное точно равно
Dialogue: 0,0:14:27.88,0:14:28.63,Default,,0000,0000,0000,,среднему наклону.
Dialogue: 0,0:14:28.63,0:14:30.99,Default,,0000,0000,0000,,Дайте я сейчас достану свой графический
Dialogue: 0,0:14:30.99,0:14:33.54,Default,,0000,0000,0000,,калькулятор.
Dialogue: 0,0:14:33.54,0:14:36.91,Default,,0000,0000,0000,,Я посмотрю, что я могу сделать.
Dialogue: 0,0:14:36.91,0:14:38.98,Default,,0000,0000,0000,,Ок.
Dialogue: 0,0:14:38.98,0:14:43.09,Default,,0000,0000,0000,,Вот график x в квадрате минус 4x.
Dialogue: 0,0:14:43.09,0:14:44.60,Default,,0000,0000,0000,,Может у меня получиться сделать это чуть по больше.
Dialogue: 0,0:14:47.92,0:14:52.05,Default,,0000,0000,0000,,Интервал, который нам нужен, находиться от сюда до сюда.
Dialogue: 0,0:14:52.05,0:14:55.91,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому средний наклон за этот интервал был 2.
Dialogue: 0,0:14:55.91,0:14:59.01,Default,,0000,0000,0000,,Если нам нужно было бы нарисовать наклон, то
Dialogue: 0,0:14:59.01,0:15:00.90,Default,,0000,0000,0000,,наклон бы выглядел вот так.
Dialogue: 0,0:15:00.90,0:15:04.93,Default,,0000,0000,0000,,И точка 3, наклон точно 2.
Dialogue: 0,0:15:04.93,0:15:07.54,Default,,0000,0000,0000,,Давайте я это нарисую.
Dialogue: 0,0:15:07.54,0:15:11.32,Default,,0000,0000,0000,,Это не так уж сложно нарисовать для себя.
Dialogue: 0,0:15:11.32,0:15:13.54,Default,,0000,0000,0000,,Так...
Dialogue: 0,0:15:13.54,0:15:21.27,Default,,0000,0000,0000,,Если это мои оси, то я бы убрал это график в сторону.
Dialogue: 0,0:15:21.27,0:15:22.16,Default,,0000,0000,0000,,Это ось Y
Dialogue: 0,0:15:24.96,0:15:28.82,Default,,0000,0000,0000,,Линия идет через (0,0) как
Dialogue: 0,0:15:28.82,0:15:31.01,Default,,0000,0000,0000,,можно чище.
Dialogue: 0,0:15:31.01,0:15:31.99,Default,,0000,0000,0000,,Не, так не чисто.
Dialogue: 0,0:15:35.68,0:15:40.61,Default,,0000,0000,0000,,Линия идет как-то так, она проваливается вверх, и потом
Dialogue: 0,0:15:40.61,0:15:43.61,Default,,0000,0000,0000,,вот так вот, и идет прямо,
Dialogue: 0,0:15:43.61,0:15:45.66,Default,,0000,0000,0000,,вот так, это парабола.
Dialogue: 0,0:15:45.66,0:15:47.62,Default,,0000,0000,0000,,Это точка 4.
Dialogue: 0,0:15:47.62,0:15:51.21,Default,,0000,0000,0000,,Это 2.
Dialogue: 0,0:15:51.21,0:15:56.15,Default,,0000,0000,0000,,И в точке 2 мы в минус 4, так что вершина
Dialogue: 0,0:15:56.15,0:15:57.71,Default,,0000,0000,0000,,в точке 2, минус 4.
Dialogue: 0,0:15:57.71,0:16:01.39,Default,,0000,0000,0000,,Как мы сказали, средний наклон, так что закрытый интервал,
Dialogue: 0,0:16:01.39,0:16:04.28,Default,,0000,0000,0000,,который нам нужен, между 2 и 4, от 2
Dialogue: 0,0:16:04.28,0:16:05.96,Default,,0000,0000,0000,,здесь до 4 здесь.
Dialogue: 0,0:16:05.96,0:16:09.16,Default,,0000,0000,0000,,Это интервал, 2 до 4.
Dialogue: 0,0:16:09.16,0:16:12.85,Default,,0000,0000,0000,,Средний наклон - 2.
Dialogue: 0,0:16:12.85,0:16:14.57,Default,,0000,0000,0000,,Здесь не похоже, только потому что я немного
Dialogue: 0,0:16:14.57,0:16:17.01,Default,,0000,0000,0000,,сжал ось Y.
Dialogue: 0,0:16:17.01,0:16:20.09,Default,,0000,0000,0000,,И мы говорим, что в точке x =3, наклон
Dialogue: 0,0:16:20.09,0:16:22.01,Default,,0000,0000,0000,,идет вот так.
Dialogue: 0,0:16:22.01,0:16:25.18,Default,,0000,0000,0000,,Так что где x равен 3, наклон равен
Dialogue: 0,0:16:25.18,0:16:26.86,Default,,0000,0000,0000,,точно тому же.
Dialogue: 0,0:16:26.86,0:16:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Вот и весь смысл этой теоремы.
Dialogue: 0,0:16:28.62,0:16:29.84,Default,,0000,0000,0000,,Я знаю, это звучит сложно.
Dialogue: 0,0:16:29.84,0:16:32.81,Default,,0000,0000,0000,,Люди говорят о непрерывности и дифференцируемости, и
Dialogue: 0,0:16:32.81,0:16:36.52,Default,,0000,0000,0000,,первичный f от c, не все что это значит, это что там есть
Dialogue: 0,0:16:36.52,0:16:41.02,Default,,0000,0000,0000,,точка между этими двумя точками, где мгновенный наклон,
Dialogue: 0,0:16:41.02,0:16:43.69,Default,,0000,0000,0000,,или наклон точно в этом месте, равен наклону
Dialogue: 0,0:16:43.69,0:16:45.51,Default,,0000,0000,0000,,межде этими двумя точками.
Dialogue: 0,0:16:45.51,0:16:47.65,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, я вас не запутал.