1
00:00:00,920 --> 00:00:04,660
Меня просили разобрать

2
00:00:04,660 --> 00:00:05,590
теорему Лагра́нжа о среднем значении, её ещё называют формулой конечных приращений.

3
00:00:05,590 --> 00:00:07,010
Давайте поговорим об этом в этом видео.

4
00:00:07,010 --> 00:00:09,440
Итак, теорема Лагранжа.

5
00:00:13,540 --> 00:00:15,530
Вообще-то мое отношение к ней не однозначно.

6
00:00:15,530 --> 00:00:20,490
С одной стороны она проста, но то, что вы увидите может быть

7
00:00:20,490 --> 00:00:22,820
не очень-то легко доказать, хотя смысл

8
00:00:22,820 --> 00:00:23,860
довольно очевиден.

9
00:00:23,860 --> 00:00:27,010
Причина моего неоднозначного отношения в том, что,

10
00:00:27,010 --> 00:00:34,130
как мы увидим, смысл довольно

11
00:00:34,130 --> 00:00:36,770
очевиден, но ее засунули в учебник математики, когда человек

12
00:00:36,770 --> 00:00:39,890
только пытается постигнуть дифференциальное исчисление и разобраться в его основах,

13
00:00:39,890 --> 00:00:41,710
и тут вдруг появляется эта теорема

14
00:00:41,710 --> 00:00:43,700
со всеми ее нюансами, со всеми

15
00:00:43,700 --> 00:00:45,570
словами, которые просто сбивают с толку.

16
00:00:45,570 --> 00:00:47,890
Надеюсь, мы с этим разберемся в этом видео,

17
00:00:47,890 --> 00:00:51,360
и мне интересно узнать ваше мнение.

18
00:00:51,360 --> 00:00:51,880
Приступим.

19
00:00:51,880 --> 00:00:53,820
Какой же смысл у этой формулы (теоремы)?

20
00:00:53,820 --> 00:00:54,890
Нарисуем оси координат.

21
00:00:54,890 --> 00:00:56,505
Сначала я объясню все графически.

22
00:01:01,340 --> 00:01:03,340
Пожалуй, тут понадобится красный цвет.

23
00:01:03,340 --> 00:01:04,370
Ось Х.

24
00:01:07,050 --> 00:01:11,340
Ось Y.

25
00:01:11,340 --> 00:01:14,000
Предположим, что у меня есть некоторая функция f от x.

26
00:01:17,110 --> 00:01:22,040
Давайте нарисуем f от х.

27
00:01:22,040 --> 00:01:24,100
Примерно так.

28
00:01:24,100 --> 00:01:26,950
Вот некоторая функци f от x, и она должна

29
00:01:26,950 --> 00:01:28,750
отвечать некоторым условиям.

30
00:01:28,750 --> 00:01:38,620
f от x должна быть непрерывной и дифференцируемой.

31
00:01:38,620 --> 00:01:42,380
И я знаю, что некоторые могут испугаться

32
00:01:42,380 --> 00:01:43,270
при этих словах.

33
00:01:43,270 --> 00:01:45,830
Какой-то математический жаргон,

34
00:01:45,830 --> 00:01:47,420
доволено бессмысленно.

35
00:01:47,420 --> 00:01:51,940
"Непрерывная" означает, что кривая не имеет разрывов.

36
00:01:51,940 --> 00:01:54,280
По ней можно пройти от начала до конца.

37
00:01:54,280 --> 00:01:57,300
И здесь условия применимы к отрезку.

38
00:01:57,300 --> 00:01:59,810
И это тоже очень математический термин.

39
00:01:59,810 --> 00:02:03,490
И чаще вы бы сказали, на замкнутом отрезке от a до b.

40
00:02:03,490 --> 00:02:06,750
И все что это значит - интервал, предположим "a" это нижняя точка,

41
00:02:06,750 --> 00:02:09,510
например, это "a", не важно, какое его значение.

42
00:02:09,510 --> 00:02:12,155
Это может быть минус 5, или что-нибудь ещё.

43
00:02:12,155 --> 00:02:17,020
А вот здесь у нас "b", прямо здесь.

44
00:02:17,020 --> 00:02:18,080
Допустим, что "b" у нас здесь.

45
00:02:18,080 --> 00:02:20,720
Мы говорим об отрезке,

46
00:02:20,720 --> 00:02:24,360
это значит, что функция должна быть

47
00:02:24,360 --> 00:02:28,460
определена для каждого числа между "a" и "b", а кроме того

48
00:02:28,460 --> 00:02:31,250
она должна быть определена в точках "a" и "b".

49
00:02:31,250 --> 00:02:33,930
Если сказано "над открытым интервалом" между "a" и "b", значит

50
00:02:33,930 --> 00:02:37,180
функция должна быть определена только для каждого числа между "a" и "b",

51
00:02:37,180 --> 00:02:39,160
но не обязательно в точках "a" и "b".

52
00:02:39,160 --> 00:02:42,030
Итак, функция должна быть непрерывной и дифференцируемой и

53
00:02:42,030 --> 00:02:47,790
она определена на отрезке

54
00:02:47,790 --> 00:02:51,480
обозначенном "аb".

55
00:02:51,480 --> 00:02:55,660
Это означает, что она должна быть определена в любой точке x.

56
00:02:55,660 --> 00:03:00,250
от a до b, включая конечные точки a и b..

57
00:03:00,250 --> 00:03:02,660
Если бы это был открытый интервал, мы бы написали это так:

58
00:03:02,660 --> 00:03:04,720
Вы бы написали а и b.

59
00:03:04,720 --> 00:03:07,350
Это означает интервал между а и

60
00:03:07,350 --> 00:03:09,060
b, не включая эти точки.

61
00:03:09,060 --> 00:03:12,580
Можно пока об этом не беспокоиться.

62
00:03:12,580 --> 00:03:14,400
Вернемся к нашей теореме.

63
00:03:14,400 --> 00:03:16,060
Надеюсь, вы знаете, что такое непрерывная функция.

64
00:03:16,060 --> 00:03:18,350
Для примера нарисуем прерывистую функцию.

65
00:03:18,350 --> 00:03:19,620
Таким образом будет функция, которая не является непрерывной будет

66
00:03:19,620 --> 00:03:20,590
выглядеть вот так.

67
00:03:20,590 --> 00:03:22,320
Она начнется тут,

68
00:03:22,320 --> 00:03:24,180
а потом перескочит сюда.

69
00:03:24,180 --> 00:03:24,490
Так?

70
00:03:24,490 --> 00:03:27,430
Так что это будет пример функции, давайте скажем,

71
00:03:27,430 --> 00:03:30,581
одинаковый осей, я нарисую его в другом цвете.

72
00:03:30,581 --> 00:03:35,560
Если это наша y--нет, так не хорошо.

73
00:03:35,560 --> 00:03:39,440
Если это была наша ось y, и это наша ось x, просто

74
00:03:39,440 --> 00:03:40,800
дать вам ссылку на то, что я нарисовал.

75
00:03:40,800 --> 00:03:43,470
Таким образом, если функция является непрерывной, непрерывной,

76
00:03:43,470 --> 00:03:47,560
непрерывной и затем она прыгает, этот разрыв

77
00:03:47,560 --> 00:03:50,240
сделает эту функцию прерывистой, или она

78
00:03:50,240 --> 00:03:51,720
не будет непрерывной.

79
00:03:51,720 --> 00:03:53,670
Поэтому функция просто должна быть непрерывной.

80
00:03:53,670 --> 00:03:55,770
А что же такое дифференцируемая?

81
00:03:55,770 --> 00:03:58,950
Дифференцируемость означает, что в каждой точке рассматриваемого интервала

82
00:03:58,950 --> 00:04:02,940
мы должны быть в состоянии найти производную.

83
00:04:02,940 --> 00:04:04,610
Это означает, что вы можете взять производную.

84
00:04:04,610 --> 00:04:06,030
Это дифференцируемая.

85
00:04:06,030 --> 00:04:07,050
Что еще это означает?

86
00:04:07,050 --> 00:04:09,150
Это значит, что если бы вы нарисовали производную,

87
00:04:09,150 --> 00:04:12,460
то она тоже была бы непрерывной..

88
00:04:12,460 --> 00:04:14,240
Давайте остановимся на секундочку, чтобы это переварить.

89
00:04:14,240 --> 00:04:16,905
Я вам тут покажу пример

90
00:04:16,905 --> 00:04:22,700
функции, которая является непрерывной, но не дифференцируемой и

91
00:04:22,700 --> 00:04:25,020
в результате теорема не работает.

92
00:04:25,020 --> 00:04:26,900
Итак, давайте вернемся к нашей теореме.

93
00:04:26,900 --> 00:04:30,120
Большинство функций, с которыми мы имеем дело удовлетворяют всем

94
00:04:30,120 --> 00:04:32,210
трем из этих вещей.

95
00:04:32,210 --> 00:04:34,290
Если вы не знаете, вы делаете предел проблемы, и они пытаются

96
00:04:34,290 --> 00:04:35,960
сделать эти вещи выходят из строя.

97
00:04:35,960 --> 00:04:36,990
Вернемся обратно к функции.

98
00:04:36,990 --> 00:04:39,560
Итак, эта функция отвечает всем этим требованиям.

99
00:04:39,560 --> 00:04:43,830
Поэтому все, что он говорит это, если я был средний уклон

100
00:04:43,830 --> 00:04:46,120
между точкой и пункт б.

101
00:04:46,120 --> 00:04:48,800
Что же такое угловой коэффициент, средний угловой коэффициент между

102
00:04:48,800 --> 00:04:50,450
точками a и b?

103
00:04:50,450 --> 00:04:54,060
Ну угловой коэффициент является просто углом подъема, правильно?

104
00:04:54,060 --> 00:04:55,610
Что же такое это?

105
00:04:55,610 --> 00:04:58,810
Я хотел бы видеть, если я могу , нарисовать средний угловой коэффициент.

106
00:04:58,810 --> 00:05:04,700
То есть пробег будет расстоянием.

107
00:05:04,700 --> 00:05:07,565
Это было бы пробегом, правильно?, и это будет рост.

108
00:05:10,400 --> 00:05:12,630
Так что это точка, прямо здесь, это

109
00:05:12,630 --> 00:05:17,270
точка a, f от a.

110
00:05:17,270 --> 00:05:23,450
Смотрите сюда, это точка b, f от b.

111
00:05:23,450 --> 00:05:27,270
Что такое средний угловой коэффициент между и b?

112
00:05:27,270 --> 00:05:29,240
Ну это повышение перспективе.

113
00:05:29,240 --> 00:05:30,190
Что же такое повышение?

114
00:05:30,190 --> 00:05:31,510
Что такое это расстояние?

115
00:05:31,510 --> 00:05:35,630
Насколько мы выросли из f(a) к f(b)?

116
00:05:35,630 --> 00:05:40,100
Ну, рост будет f b, это

117
00:05:40,100 --> 00:05:45,640
Высота минус f.

118
00:05:45,640 --> 00:05:50,190
f(b) минус f(a).

119
00:05:50,190 --> 00:05:51,960
И что такое прогон, что это расстояние?

120
00:05:51,960 --> 00:05:53,530
Ну, это просто b минус a.

121
00:05:57,070 --> 00:05:59,430
И если бы я хотел нарисовать линию, имеющий этот средний наклон, она

122
00:05:59,430 --> 00:06:00,890
выглядела бы примерно так.

123
00:06:00,890 --> 00:06:03,690
Мы смогли сделать его пройти через эти две точки, но это

124
00:06:03,690 --> 00:06:06,750
действительно не должен.

125
00:06:06,750 --> 00:06:10,130
Позвольте мне сделать это в голубой.

126
00:06:14,570 --> 00:06:16,640
Так что это средняя склон между теми, кто

127
00:06:16,640 --> 00:06:18,090
две точки, правильно?

128
00:06:18,090 --> 00:06:20,030
Так что среднее значение Теорема говорит нам?

129
00:06:20,030 --> 00:06:24,690
Он говорит, если f x определяется этот интервал закрыто от

130
00:06:24,690 --> 00:06:27,960
b и f x непрерывный, и это

131
00:06:27,960 --> 00:06:29,750
дифференцируемые, что можно было взять производной в любое

132
00:06:29,750 --> 00:06:45,560
Укажите, что должна существовать некоторые точки c f расцвете c-

133
00:06:45,560 --> 00:06:47,350
равный к этой вещи.

134
00:06:47,350 --> 00:06:50,740
Так что равно f расцвете c.

135
00:06:50,740 --> 00:06:52,330
Я не написали его здесь.

136
00:06:52,330 --> 00:06:53,820
Так что это говорит нам?

137
00:06:53,820 --> 00:06:57,140
Таким образом все это говорит нам, является, если мы непрерывно,

138
00:06:57,140 --> 00:07:00,000
дифференцируемые, определенными в закрытый период времени, что

139
00:07:00,000 --> 00:07:03,890
есть некоторые точка c, Ах, и c должно быть между и b,

140
00:07:03,890 --> 00:07:07,550
есть какой-то момент между и b и он может быть в одном

141
00:07:07,550 --> 00:07:11,540
из точек но есть некоторые точка c где производной в

142
00:07:11,540 --> 00:07:16,390
c или склона в c, мгновенно склона в c, является

143
00:07:16,390 --> 00:07:19,700
точно равен средний уклон за этот интервал.

144
00:07:19,700 --> 00:07:21,090
Так что это значит?

145
00:07:21,090 --> 00:07:22,950
Так что мы можем смотреть на него визуально.

146
00:07:22,950 --> 00:07:27,790
Есть любой точке вдоль этой кривой, где наклон выглядит

147
00:07:27,790 --> 00:07:31,850
очень похож на этот средний склон, который мы подсчитали?

148
00:07:31,850 --> 00:07:33,030
Ну конечно, посмотрим.

149
00:07:33,030 --> 00:07:37,010
Он выглядит как, может быть, здесь, прямо здесь?

150
00:07:37,010 --> 00:07:37,650
Именно так, как я обратил его.

151
00:07:37,650 --> 00:07:40,320
Это весьма неточной.

152
00:07:40,320 --> 00:07:43,520
Но это точка выглядит как склона, вы знаете, я мог бы

153
00:07:43,520 --> 00:07:47,060
скажем склона есть что-то вроде этого.

154
00:07:47,060 --> 00:07:49,970
Таким образом мы не знаем какие, аналитически, эта функция является,

155
00:07:49,970 --> 00:07:53,280
но визуально, вы могли бы видеть, что на этом точка c,

156
00:07:53,280 --> 00:07:57,220
производные, так что я просто выбрал этот момент.

157
00:07:57,220 --> 00:08:00,160
Так что это может быть наша точка c.

158
00:08:00,160 --> 00:08:01,220
И как нам как раз сказать, что?

159
00:08:01,220 --> 00:08:05,360
Ну, потому что f расцвете c этот склон, и она равна

160
00:08:05,360 --> 00:08:06,610
Средняя склона.

161
00:08:06,610 --> 00:08:10,190
Так что f расцвете c эту вещь, и это будет равняться

162
00:08:10,190 --> 00:08:12,460
Средняя склон за все это.

163
00:08:12,460 --> 00:08:15,230
И эта кривая, на самом деле, вероятно, имеет другую точку

164
00:08:15,230 --> 00:08:17,950
где наклон равен средний уклон.

165
00:08:17,950 --> 00:08:18,210
Давайте посмотрим.

166
00:08:18,210 --> 00:08:21,360
Это выглядит, как, прямо примерно там.

167
00:08:21,360 --> 00:08:23,710
Именно так, как я обратил его.

168
00:08:23,710 --> 00:08:26,460
Похоже там склона может выглядеть примерно так,

169
00:08:26,460 --> 00:08:28,110
может быть параллельной также.

170
00:08:28,110 --> 00:08:31,000
Эти строки должны быть параллельно.

171
00:08:31,000 --> 00:08:33,040
Касательных линии должна быть параллельной.

172
00:08:33,040 --> 00:08:34,630
Так надеюсь это делает мало смысла для вас.

173
00:08:34,630 --> 00:08:41,170
Еще один способ думать о нем-это ваш средний, на самом деле,

174
00:08:41,170 --> 00:08:45,450
Позвольте мне привлечь граф просто чтобы убедиться, что мы

175
00:08:45,450 --> 00:08:47,620
хит точки дома.

176
00:08:47,620 --> 00:08:50,870
Нарисуем моя позиция как функции времени.

177
00:08:50,870 --> 00:08:53,630
Так что это что-то, это будет сделать его применимым

178
00:08:53,630 --> 00:08:55,000
в реальном мире.

179
00:08:55,000 --> 00:08:57,610
Так вот моя оси x или оси времени, что в

180
00:08:57,610 --> 00:09:00,270
Моя позиция ось.

181
00:09:00,270 --> 00:09:03,140
Это собирается вернуться к нашей первоначальной интуиция о том, что

182
00:09:03,140 --> 00:09:05,470
даже производная есть.

183
00:09:05,470 --> 00:09:09,720
Так что это время, и я призываю эту позицию или расстояния,

184
00:09:09,720 --> 00:09:11,050
или это не имеет значения.

185
00:09:11,050 --> 00:09:12,490
Позиция.

186
00:09:12,490 --> 00:09:15,910
И если я движется с постоянной скоростью, моя позиция

187
00:09:15,910 --> 00:09:19,190
в зависимости от времени бы просто быть прямой линии, правильно?

188
00:09:19,190 --> 00:09:21,050
И скорость является на самом деле вашего склоне.

189
00:09:21,050 --> 00:09:22,590
Но давайте скажем, что я был разной скорости.

190
00:09:22,590 --> 00:09:25,910
И в самом деле, если вы за рулем автомобиля, вы всегда

191
00:09:25,910 --> 00:09:27,640
двигаетесь с переменной скоростью.

192
00:09:27,640 --> 00:09:31,770
Итак, я начинаю с точки, в которой момент времени t равен 0,

193
00:09:31,770 --> 00:09:39,810
и тогда я ускорить, то я чуть-чуть, снизятся

194
00:09:39,810 --> 00:09:43,150
несколько снизятся, я держать замедление, и тогда я

195
00:09:43,150 --> 00:09:45,860
в тупик так что моя позиция остается до сих пор.

196
00:09:45,860 --> 00:09:49,920
Тогда я снова ускорить, замедлятся,

197
00:09:49,920 --> 00:09:52,450
ускорить, и так далее.

198
00:09:52,450 --> 00:09:53,080
Право?

199
00:09:53,080 --> 00:09:57,145
Так что это может быть, вы знаете, у меня есть переменная скорость, и

200
00:09:57,145 --> 00:09:59,500
Это может быть моя позиция как функции времени.

201
00:09:59,500 --> 00:10:04,390
Таким образом, все это говорит, скажем, после этого, это

202
00:10:04,390 --> 00:10:05,900
это время 0, позиции 0.

203
00:10:05,900 --> 00:10:10,920
Скажем через 1 час, давайте скажем то есть 1 час, на этот раз

204
00:10:10,920 --> 00:10:16,685
равен 1 час, давайте скажем я пошел 60 миль.

205
00:10:20,660 --> 00:10:21,710
Так что вы можете сказать?

206
00:10:21,710 --> 00:10:29,160
Можно сказать, что моя средняя скорость равна просто изменить в

207
00:10:29,160 --> 00:10:31,370
расстояние, деленное на изменения в мирное время.

208
00:10:31,370 --> 00:10:33,700
Он равен 60 миль в час.

209
00:10:38,230 --> 00:10:40,950
Что же говорит Теорема средние значения, такое ОК.

210
00:10:40,950 --> 00:10:43,780
Ваш средняя скорость, так что вы почти можно было просматривать его как

211
00:10:43,780 --> 00:10:47,430
Средняя склон между этой точкой и этот момент с 60,

212
00:10:47,430 --> 00:10:51,410
Средняя скорость была 60 миль в час, есть ли некоторые

213
00:10:51,410 --> 00:10:54,950
момент времени, возможно, больше, но было по крайней мере один пункт в

214
00:10:54,950 --> 00:10:58,290
время, когда вы собирались ровно шестьдесят миль в час.

215
00:10:58,290 --> 00:10:59,590
Это смысл, правильно?

216
00:10:59,590 --> 00:11:02,030
Если вы в среднем 60 миль в час, может быть, вы собираетесь 40

217
00:11:02,030 --> 00:11:03,880
миль в час, некоторые точки, но в какой момент вам

218
00:11:03,880 --> 00:11:07,440
пошли 80, и между ними вам пришлось идти 60 миль в час.

219
00:11:07,440 --> 00:11:10,300
Поэтому позвольте мне видеть, если я могу нарисовать, графически.

220
00:11:10,300 --> 00:11:14,683
Так что этот наклон является моя средняя скорость и то, что я обратил

221
00:11:14,683 --> 00:11:17,110
Она, скорее всего два очка, давайте посмотрим, вероятно,

222
00:11:17,110 --> 00:11:21,050
право здесь, я вероятно буду 60 миль на

223
00:11:21,050 --> 00:11:23,380
час, наклон, вероятно, 60 там, мгновенно

224
00:11:23,380 --> 00:11:29,100
скорость вероятно там, как хорошо.

225
00:11:29,100 --> 00:11:32,710
Так что прежде чем я покину, давайте делать это аналитически, а только

226
00:11:32,710 --> 00:11:36,010
для работы с числами.

227
00:11:36,010 --> 00:11:38,280
И причина того, что мне не однозначна эта

228
00:11:38,280 --> 00:11:42,040
теорема, это то, что она наверное будет полезна позже, если вы решите стать математиком,

229
00:11:42,040 --> 00:11:46,670
тогда может быть вы ее используете для доказательства других теорем, или

230
00:11:46,670 --> 00:11:48,290
вы докажете саму эту теорему.

231
00:11:48,290 --> 00:11:50,390
Но если вы просто учите дифференциальное исчисление,

232
00:11:50,390 --> 00:11:51,900
вы не будете особенно использовать эту

233
00:11:51,900 --> 00:11:52,610
теорему.

234
00:11:52,610 --> 00:11:54,200
Но если вам нужно ее знать, то нужно ее знать,

235
00:11:54,200 --> 00:11:56,720
и она рассказывает вам что-то другое о мире, поэтому

236
00:11:56,720 --> 00:11:58,450
она интересна в этом смысле.

237
00:11:58,450 --> 00:12:04,680
Предположим, у нас есть функция f от x и она равна

238
00:12:04,680 --> 00:12:09,210
x квадрате минус 4x, и интервал, который мне нужен

239
00:12:09,210 --> 00:12:12,880
здесь находится между, это закрытый интервал, поэтому я включаю

240
00:12:12,880 --> 00:12:15,880
2, от 2 до 4.

241
00:12:15,880 --> 00:12:19,200
Эта теорема рассказывает нам, что если эта

242
00:12:19,200 --> 00:12:22,050
функция находится на этом интервале, и так оно и есть, не так ли?

243
00:12:22,050 --> 00:12:23,380
Мы могли бы поставить любое число.

244
00:12:23,380 --> 00:12:26,180
Область этого, на самом деле, все действительные числа, я могу поместить

245
00:12:26,180 --> 00:12:29,050
туда любое число, так что, очевидно, это будет определено

246
00:12:29,050 --> 00:12:30,990
по этому промежутку.

247
00:12:30,990 --> 00:12:34,140
Это определено по интервалу, это непрерывно,

248
00:12:34,140 --> 00:12:34,870
это дифференцированно.

249
00:12:34,870 --> 00:12:36,160
Вы могли бы взять производное и производное

250
00:12:36,160 --> 00:12:37,380
непрерывно.

251
00:12:37,380 --> 00:12:39,810
Поэтому наша теорема должна здесь работать.

252
00:12:39,810 --> 00:12:42,960
Давайте посмотрим какая величина "c" равна среднему

253
00:12:42,960 --> 00:12:45,400
наклону между 2 и 4.

254
00:12:45,400 --> 00:12:48,700
Так чтем же является средний наклон между 2 и 4?

255
00:12:48,700 --> 00:12:52,780
Это будет f от 4, поэтому разница функции,

256
00:12:52,780 --> 00:12:59,900
f от 4 минус f от 2 разделить на разницу в x, так что 4 минус 2.

257
00:12:59,900 --> 00:13:01,460
Этим и является средний наклон.

258
00:13:01,460 --> 00:13:06,800
Так что f от 4 это 16 минус 16, так ведь?

259
00:13:06,800 --> 00:13:07,800
И это 0.

260
00:13:07,800 --> 00:13:08,370
Давайте в этом убедимся.

261
00:13:08,370 --> 00:13:12,740
4 умножить на 4, 16, минус 4 умножить на 4, 16, так?

262
00:13:12,740 --> 00:13:14,560
минус f от 2.

263
00:13:14,560 --> 00:13:19,500
f от 2 это 2 в квадрате, это 4, так?, и тогда

264
00:13:19,500 --> 00:13:21,730
минус 4 и умножить на 2.

265
00:13:21,730 --> 00:13:23,630
Так что минус 8.

266
00:13:27,810 --> 00:13:29,390
Все это разделить на 2.

267
00:13:29,390 --> 00:13:31,060
И это минус 4.

268
00:13:31,060 --> 00:13:33,120
Это равно 4 разделить на 2.

269
00:13:33,120 --> 00:13:36,700
Поэтому средний наклон от x равен 2, x

270
00:13:36,700 --> 00:13:39,420
равен 4 и это 2.

271
00:13:39,420 --> 00:13:42,350
И теперь теорема говорит нам, что там должна быть

272
00:13:42,350 --> 00:13:45,670
некоторая точка, которая находится между этих двух, может быть включая одну из

273
00:13:45,670 --> 00:13:50,340
тех, где наклон в этом месте точно равен 2.

274
00:13:50,340 --> 00:13:51,900
Давайте найдем чему равна эта точка.

275
00:13:51,900 --> 00:13:53,390
Эта "c".

276
00:13:53,390 --> 00:13:55,720
Давайте возьмем производное, потому что производное в "c"

277
00:13:55,720 --> 00:13:56,620
будет равно 2.

278
00:13:56,620 --> 00:13:57,690
И мы просто берем производное.

279
00:13:57,690 --> 00:14:04,110
Скажем что первичный f от x равен 2x минус 4.

280
00:14:04,110 --> 00:14:08,990
И мы хотим найти, в каком значении x это будет равно 2.

281
00:14:08,990 --> 00:14:09,600
Мы скажем

282
00:14:09,600 --> 00:14:13,460
2x минус 4 равно 2.

283
00:14:13,460 --> 00:14:16,030
Где наклон равен 2?

284
00:14:16,030 --> 00:14:24,000
Вы получаете 2x равно 6, x равно 3.

285
00:14:24,000 --> 00:14:27,880
Так что если x равно 3, производное точно равно

286
00:14:27,880 --> 00:14:28,630
среднему наклону.

287
00:14:28,630 --> 00:14:30,990
Дайте я сейчас достану свой графический

288
00:14:30,990 --> 00:14:33,540
калькулятор.

289
00:14:33,540 --> 00:14:36,910
Я посмотрю, что я могу сделать.

290
00:14:36,910 --> 00:14:38,980
Ок.

291
00:14:38,980 --> 00:14:43,090
Вот график x в квадрате минус 4x.

292
00:14:43,090 --> 00:14:44,600
Может у меня получиться сделать это чуть по больше.

293
00:14:47,920 --> 00:14:52,050
Интервал, который нам нужен, находиться от сюда до сюда.

294
00:14:52,050 --> 00:14:55,910
Поэтому средний наклон за этот интервал был 2.

295
00:14:55,910 --> 00:14:59,010
Если нам нужно было бы нарисовать наклон, то

296
00:14:59,010 --> 00:15:00,900
наклон бы выглядел вот так.

297
00:15:00,900 --> 00:15:04,930
И точка 3, наклон точно 2.

298
00:15:04,930 --> 00:15:07,540
Давайте я это нарисую.

299
00:15:07,540 --> 00:15:11,320
Это не так уж сложно нарисовать для себя.

300
00:15:11,320 --> 00:15:13,540
Так...

301
00:15:13,540 --> 00:15:21,270
Если это мои оси, то я бы убрал это график в сторону.

302
00:15:21,270 --> 00:15:22,160
Это ось Y

303
00:15:24,960 --> 00:15:28,820
Линия идет через (0,0) как

304
00:15:28,820 --> 00:15:31,010
можно чище.

305
00:15:31,010 --> 00:15:31,990
Не, так не чисто.

306
00:15:35,680 --> 00:15:40,610
Линия идет как-то так, она проваливается вверх, и потом

307
00:15:40,610 --> 00:15:43,610
вот так вот, и идет прямо,

308
00:15:43,610 --> 00:15:45,660
вот так, это парабола.

309
00:15:45,660 --> 00:15:47,620
Это точка 4.

310
00:15:47,620 --> 00:15:51,210
Это 2.

311
00:15:51,210 --> 00:15:56,150
И в точке 2 мы в минус 4, так что вершина

312
00:15:56,150 --> 00:15:57,710
в точке 2, минус 4.

313
00:15:57,710 --> 00:16:01,390
Как мы сказали, средний наклон, так что закрытый интервал,

314
00:16:01,390 --> 00:16:04,280
который нам нужен, между 2 и 4, от 2

315
00:16:04,280 --> 00:16:05,960
здесь до 4 здесь.

316
00:16:05,960 --> 00:16:09,160
Это интервал, 2 до 4.

317
00:16:09,160 --> 00:16:12,850
Средний наклон - 2.

318
00:16:12,850 --> 00:16:14,570
Здесь не похоже, только потому что я немного

319
00:16:14,570 --> 00:16:17,010
сжал ось Y.

320
00:16:17,010 --> 00:16:20,090
И мы говорим, что в точке x =3, наклон

321
00:16:20,090 --> 00:16:22,010
идет вот так.

322
00:16:22,010 --> 00:16:25,180
Так что где x равен 3, наклон равен

323
00:16:25,180 --> 00:16:26,860
точно тому же.

324
00:16:26,860 --> 00:16:28,620
Вот и весь смысл этой теоремы.

325
00:16:28,620 --> 00:16:29,840
Я знаю, это звучит сложно.

326
00:16:29,840 --> 00:16:32,810
Люди говорят о непрерывности и дифференцируемости, и

327
00:16:32,810 --> 00:16:36,520
первичный f от c, не все что это значит, это что там есть

328
00:16:36,520 --> 00:16:41,020
точка между этими двумя точками, где мгновенный наклон,

329
00:16:41,020 --> 00:16:43,690
или наклон точно в этом месте, равен наклону

330
00:16:43,690 --> 00:16:45,510
межде этими двумя точками.

331
00:16:45,510 --> 00:16:47,650
Надеюсь, я вас не запутал.