1
00:00:00,219 --> 00:00:02,391
I denne videoen skal vi se på

2
00:00:02,391 --> 00:00:10,340
paralelle linjer, 
og linjer som krysser

3
00:00:10,340 --> 00:00:14,338
de paralelle linjene.
De kaller vi for transversaler.

4
00:00:14,338 --> 00:00:15,341
La oss se på først

5
00:00:15,341 --> 00:00:18,686
hva en paralell linje er for noe.

6
00:00:18,686 --> 00:00:23,221
En definisjon som kan hjelpe oss
med å forstå hva det er.

7
00:00:23,221 --> 00:00:24,814
Er at de er to linjer

8
00:00:24,814 --> 00:00:26,006
på samme plan.

9
00:00:26,006 --> 00:00:27,474
Når vi snakker om et plan,

10
00:00:27,474 --> 00:00:32,708
snakker om en flat todimensjonell
overflate, som feks denne skjermen.

11
00:00:32,708 --> 00:00:34,340
Denne skjermen er et plan.

12
00:00:34,340 --> 00:00:37,801
Altså to linjer på et plan,
som aldri krysser hverandre.

13
00:00:37,801 --> 00:00:41,740
Vi forestiller oss

14
00:00:41,740 --> 00:00:43,736
at denne linjen 
fortsetter i denne retningen

15
00:00:43,736 --> 00:00:47,673
og denne retningen.
Vi tegner enda en linje, i en annen farge.

16
00:00:47,673 --> 00:00:52,045
Denne linjen 
og denne linjen er paralelle.

17
00:00:52,045 --> 00:00:53,866
De krysser hverandre aldri.

18
00:00:53,866 --> 00:00:56,406
Hvis vi klarer å tegne dem riktig

19
00:00:56,406 --> 00:00:58,133
og de fortsetter i akkurat samme retning,

20
00:00:58,133 --> 00:01:00,073
kommer de aldri til å krysse hverandre.

21
00:01:00,073 --> 00:01:03,675
Hvis vi tenker på linjer
som ikke er paralelle,

22
00:01:03,675 --> 00:01:08,740
er denne grønne,
og denne rosa linjen

23
00:01:08,740 --> 00:01:09,994
ikke paralelle.

24
00:01:09,994 --> 00:01:12,341
De krysser tydligvis hverandre
på et tidspunkt.

25
00:01:12,341 --> 00:01:14,740
Disse to er også paralelle.

26
00:01:14,740 --> 00:01:18,673
Noen ganger er det markert med piler,

27
00:01:18,673 --> 00:01:21,959
som peker samme retning,
for å vise at de er paralelle.

28
00:01:21,959 --> 00:01:23,404
Hvis det er flere paralelle linjer,

29
00:01:23,404 --> 00:01:25,305
kan man tegne to piler.

30
00:01:25,305 --> 00:01:27,216
Vi har altså fastslått

31
00:01:27,216 --> 00:01:30,071
at disse to linjene 
aldri kommer til å krysse hverandre.

32
00:01:30,071 --> 00:01:31,878
Vi vil gjerne undersøke
hva som skjer

33
00:01:31,878 --> 00:01:35,292
når disse to paralelle linjene
blir krysset av en tredje linje.

34
00:01:35,292 --> 00:01:38,003
Vi tegner en tredje linje her.

35
00:01:41,679 --> 00:01:44,140
Vi kaller den tredje linjen

36
00:01:44,140 --> 00:01:49,370
som krysser de paralelle linjer
for en transversal.

37
00:01:52,138 --> 00:01:56,276
Den transverserer - eller krysser
nemlig de to paralelle linjene.

38
00:01:56,276 --> 00:01:57,941
Når vi har en transversal


39
00:01:57,941 --> 00:02:00,006
som krysser paralelle linjer


40
00:02:00,006 --> 00:02:03,386
skapes noen interessante forhold
mellom vinklene.

41
00:02:03,386 --> 00:02:06,070
Det skal vi bruke
i mange oppgaver.

42
00:02:06,070 --> 00:02:09,339
Det en slags kjerneoppgave
innenfor geometri.

43
00:02:09,339 --> 00:02:12,641
Derfor er det en god idé
å bli klok på det.

44
00:02:12,641 --> 00:02:14,145
Det første vi skal være klar over

45
00:02:14,145 --> 00:02:18,717
er hvis disse linjene er paralelle

46
00:02:18,717 --> 00:02:21,874
vil de enliggende vinkler
være like store.

47
00:02:21,874 --> 00:02:27,272
Når vi lar denne lilla linjen

48
00:02:27,272 --> 00:02:29,422
krysse den gule linjen

49
00:02:29,422 --> 00:02:33,071
skapes fire vinkler.

50
00:02:33,071 --> 00:02:38,136
Vi har den grønne vinkelen,

51
00:02:38,136 --> 00:02:46,140
den orange vinkelen,

52
00:02:46,140 --> 00:02:50,138
denne vinkelen
i en annen grønn nyansje,

53
00:02:50,138 --> 00:02:56,899
og den blå vinkelen.

54
00:02:57,096 --> 00:02:58,937
Dette er altså fire vinkler.

55
00:02:58,937 --> 00:03:01,101
Når vi snakker om 
enliggende vinkler,

56
00:03:01,101 --> 00:03:05,266
mener vi at den grønne vinkelen øverst

57
00:03:05,266 --> 00:03:12,076
til høyre, svarer til den vinkelen
øverst til høyre her borte.

58
00:03:12,076 --> 00:03:13,513
Vi tegner den i samme grønn farge.

59
00:03:13,513 --> 00:03:15,204
Disse to vinkelen er ensliggende.

60
00:03:15,204 --> 00:03:18,333
Når de er ensliggende,

61
00:03:18,333 --> 00:03:20,205
er de like store.

62
00:03:20,205 --> 00:03:21,842
De er like hverandre.

63
00:03:21,842 --> 00:03:25,475
Hvis vi sier at denne er 70 grader,

64
00:03:25,475 --> 00:03:27,204
vil denne vinkelen

65
00:03:27,204 --> 00:03:29,540
også være 70 grader.

66
00:03:29,540 --> 00:03:31,434
Hvis vi fortsatte med

67
00:03:31,434 --> 00:03:33,675
å endre retningen

68
00:03:33,675 --> 00:03:37,602
på transversalen,
ville vi kunne se

69
00:03:37,602 --> 00:03:40,871
at de forblir like hverandre.

70
00:03:40,871 --> 00:03:44,267
La oss tegne to
paraleller linjer til

71
00:03:44,267 --> 00:03:46,137
og vise et mer
ekstremt eksempel.

72
00:03:46,137 --> 00:03:47,730
Etter det tegner vi

73
00:03:47,730 --> 00:03:53,807
en transversal,
som skaper enda en

74
00:03:53,807 --> 00:03:58,271
mindre vinkel her,
kan vi se at den er

75
00:03:58,271 --> 00:04:02,141
akkurat lik som denne vinkelen.

76
00:04:02,141 --> 00:04:05,463
De er ensliggende vinkler,
og er derfor ekvivalente,

77
00:04:05,463 --> 00:04:06,897
altså like.

78
00:04:06,897 --> 00:04:08,730
Fra dette perspektivet er det
den øverste høyre vinkel

79
00:04:08,730 --> 00:04:11,072
i hver kryssing som er like.

80
00:04:11,072 --> 00:04:13,641
Det samme gjelder
for andre ensliggende vinkler.

81
00:04:13,641 --> 00:04:16,070
Den øverste vinkel til venstre her,

82
00:04:16,070 --> 00:04:21,404
vil være akkurat så stor,
som den øverste vinkelen til venstre her.

83
00:04:21,404 --> 00:04:27,139
Den nederste vinkelen til venstre,
er like store som den her nede.

84
00:04:27,139 --> 00:04:29,070
Hvis denne er 70 grader,

85
00:04:29,070 --> 00:04:32,339
er også denne 70 grader.

86
00:04:32,339 --> 00:04:34,810
Til slutt vil denne og denne vinkelen

87
00:04:34,810 --> 00:04:38,136
selvfølgelig også være
like store.

88
00:04:38,136 --> 00:04:44,769
Enliggende vinkler
er ekvivalente.

89
00:04:45,005 --> 00:04:52,238
Enliggende vinkler er like hverandre.

90
00:04:55,639 --> 00:04:57,605
Disse to er enliggende,
disse to er det,

91
00:04:57,605 --> 00:04:59,878
disse to, 
og disse to er det.

92
00:04:59,878 --> 00:05:07,609
Enliggende vinkler,
og motstående vinkler

93
00:05:07,609 --> 00:05:11,133
er to sider av samme sak.

94
00:05:11,133 --> 00:05:15,111
Hvis vi ser på denne vinkelen
på 70 grader,

95
00:05:15,111 --> 00:05:17,947
vil den motstående vinkelen,


96
00:05:17,947 --> 00:05:20,605
når man går direkte over kryssingen,
være lik denne vinkelen.

97
00:05:20,605 --> 00:05:25,575
Og de er altså like.

98
00:05:37,555 --> 00:05:41,131
Så hvis denne er 70 grader,
vil denne også være 70 grader,

99
00:05:41,131 --> 00:05:43,005
og hvis denne er 70 grader,

100
00:05:43,005 --> 00:05:46,889
er også denne 70 grader.

101
00:05:46,889 --> 00:05:48,553
Hvis denne er 70 grader,

102
00:05:48,553 --> 00:05:51,275
og denne, og denne er 70 grader.

103
00:05:51,275 --> 00:05:56,304
Det er det samme hva denne er,
den denne vil også være det samme,

104
00:05:56,304 --> 00:05:58,004
fordi den er lik med denne,

105
00:05:58,004 --> 00:06:00,476
og denne er lik denne.

106
00:06:00,476 --> 00:06:04,942
Det siste vi skal se på

107
00:06:04,942 --> 00:06:09,406
er forholdet mellom den orange vinkelen,

108
00:06:09,406 --> 00:06:11,895
og den grønne vinkelen.

109
00:06:11,895 --> 00:06:16,875
Vi kan se at hvis vi legger
disse to vinkelen sammen,

110
00:06:16,875 --> 00:06:20,105
danner vi en halvsirkel.

111
00:06:20,223 --> 00:06:22,407
Hvis vi starter med å se på
den grønne vinkelen,

112
00:06:22,407 --> 00:06:24,004
og etter det den orange vinkelen,

113
00:06:24,004 --> 00:06:26,008
kommer vi halveis rundt en sirkel,

114
00:06:26,008 --> 00:06:28,941
og det er 180 grader.

115
00:06:28,941 --> 00:06:31,886
Den grønne vinkelen,
og den orange vinkelen vil tilsammen

116
00:06:31,886 --> 00:06:35,069
gi 180 grader.
De kalles supplimentere.

117
00:06:35,069 --> 00:06:37,006
Vi har laget andre videoer
om supplimentere vinkler,

118
00:06:37,006 --> 00:06:39,479
men vi skal bare vite
at de danner den samme linjen

119
00:06:39,479 --> 00:06:41,007
eller en halvsirkel.

120
00:06:41,007 --> 00:06:42,803
Så hvis denne er 70 grader,

121
00:06:42,803 --> 00:06:50,803
vil den orange vinkelen være 110 grader,
fordi de sammenlagt gir 180 grader.

122
00:06:50,803 --> 00:06:54,008
Hvis denne vinkelen er 110 grader,

123
00:06:54,008 --> 00:06:57,069
hva vet vi så om denne vinkelen?

124
00:06:57,069 --> 00:06:59,970
Siden den er den motstående vinkelen

125
00:06:59,970 --> 00:07:02,672
til de 110 grader,
må denne også være 110 grader.

126
00:07:02,672 --> 00:07:06,405
Vi vet også at ettersom 
denne vinkelen er enliggende

127
00:07:06,405 --> 00:07:09,406
med denne vinkelen,
vil denne vinkelen også være 110 grader.

128
00:07:09,406 --> 00:07:11,555
Vi kunne også være kommet frem
til det ved å si at dersom

129
00:07:11,555 --> 00:07:13,406
denne vinkelen er 70 grader,
og denne vinkelen er supplementer,

130
00:07:13,406 --> 00:07:15,069
må de sammenlagt gi 180 grader.

131
00:07:15,069 --> 00:07:19,136
Vi kunne også det regnet det ut
ettersom denne er 110 grader,

132
00:07:19,136 --> 00:07:22,408
og dette er en ensliggende vinkel,
må denne også være 110 grader.

133
00:07:22,408 --> 00:07:25,807
Vi kunne også ha sagt 
at denne er motstående denne,

134
00:07:25,807 --> 00:07:26,870
så de er også like.

135
00:07:26,870 --> 00:07:31,611
Vi kunne også ha sagt,
at denne er supplementer til denne vinkelen,

136
00:07:31,611 --> 00:07:34,270
så 70 pluss 110 gir 180 grader.

137
00:07:34,270 --> 00:07:38,738
Vi kunne også ha sagt,
at 70 pluss denne vinkelen er 180 grader.

138
00:07:38,738 --> 00:07:41,736
Det er altså en lang rekke muligheter
for å finne ut av

139
00:07:41,736 --> 00:07:43,870
hvor store vinkelene er.

140
00:07:43,870 --> 00:07:46,470
I den neste videoen 
vil vi vise en masse eksempler på

141
00:07:46,470 --> 00:07:49,023
hvordan man ut ifra én vinkel

142
00:07:49,023 --> 00:07:53,000
kan regne ut hvor store alle
de andre vinkelene er.